第1章向量与矩阵ppt课件

1、第第1章章 向量与矩阵向量与矩阵 矩阵实际是线性代数中最重要的一个部分，向量与矩阵是数学中重要且运用广泛的工具。 本章引见向量及相关知识、引见矩阵及其相关的概念。研讨矩阵的运算，着重讨论方阵的运算，方阵的逆矩阵。第第1章章 目录目录 第 1.1 节 向量根本知识 第 1.2 节 矩阵及其运算 第 1.3 节 n阶方阵 第 1.4 节 可逆矩阵第第 1.1 节节 向量根本知识向量根本知识1.二维向量和三维向量二维向量和三维向量二维向量平面向量二维向量平面向量三维向量空间向量三维向量空间向量2. n维向量维向量n维向量的概念维向量的概念n维向量的线性运算维向量的线性运算n维向量空间维向量空间 内积

2、内积 前往前往二维向量二维向量定义定义1 在平面直角坐标系中，取一个固定点在平面直角坐标系中，取一个固定点O为为始点普通称为原点，取另一点始点普通称为原点，取另一点A为终点作为终点作一线段一线段OA，该线段既有大小又有方向，这样，该线段既有大小又有方向，这样的线段称为平面向量，记作的线段称为平面向量，记作 或或. 假设向量的终点假设向量的终点A A与始点与始点O O重合，那么该向量称重合，那么该向量称为零向量，记作为零向量，记作，其大小为零，方向恣意，其大小为零，方向恣意. . OA1.二维向量和三维向量二维向量和三维向量OA 与向量大小相等，方向相反的向量称为与向量大小相等，方向相反的向量称

3、为 的的负向量，即负向量，即- -=- . =- . OA二维向量与三维向量表示二维向量与三维向量表示平面向量平面向量a aMNAB 空间向量A二维二维(平面平面)向量的线性运算向量的线性运算 规定：当两个同起点向量的终点重合时，称这两个向量相等. 定义2平面向量的加法和数乘运算统称线性运算 .定义定义3(1)向量加法向量加法 设设，为两个平面向量，称为两个平面向量，称+为这两个向量的和，为这两个向量的和， -为两个向量的差为两个向量的差. (2)数乘向量数乘向量 称称k为数为数k与向量与向量的数乘的数乘. k是大小为是大小为的的k倍倍 的向量，当的向量，当k0时方向与时方向与一样；当一样；当

4、k0)-ka(k0)二维平面向量及线性运算的坐标表示二维平面向量及线性运算的坐标表示平面解析几何中，引进了坐标或分量的概念平面解析几何中，引进了坐标或分量的概念.即在平即在平面直角坐标系中，一个平面向量独一对应着一个二维面直角坐标系中，一个平面向量独一对应着一个二维有序数组有序数组 a1，a2，称，称a1，a2为该向量的坐标。为该向量的坐标。线性运算可以归结为坐标之间的运算线性运算可以归结为坐标之间的运算 ),(),(),(22112121bababbaa Rkkakaaakk),(),(2121 ),(),(2121bbaa ).,(),(),(),(),(),(),/p>

5、524352 ；则则例例如如二维向量空间二维向量空间.,.)()()()()(,)()(.,.RlkRkkklklkkllkRRRRRRkRkRRR为为二二维维向向量量，其其中中为为二二维维向向量量空空间间则则称称）（）（）（的的负负元元素素），称称为为记记使使，对对）（的的零零元元素素）为为称称有有对对）（）（）（运运算算规规则则，两两种种运运算算满满足足如如下下八八条条对对这这两两种种运运算算封封闭闭，且且记记作作，规规定定一一种种数数乘乘运运算算，又又对对；记记作作，规规定定一一种种加加法法运运算算，对对合合记记作作所所有有二二维维向向量量组组成成的的集集 222222222287615

6、04000321xyzoxayazaA图示三维空间向量三维空间向量三维向量三维向量定义定义4 在空间直角坐标系中，在空间直角坐标系中，取一个固定点取一个固定点O为始点普通为始点普通称为原点，取另一点称为原点，取另一点A为终为终点作一线段点作一线段OA，该线段既有，该线段既有大小又有方向，这样的线段称大小又有方向，这样的线段称为空间向量，记作为空间向量，记作 或或 . OA).,(),(),(,),(zyxzyxzyxzyxaaaaaaaaaOAaaaAO 的的分分量量，记记为为称称为为向向量量；向向量量为为原原点点，空空间间点点设设一一一一对对应应).,(),(),()(zzyyxxzyxzy

7、xbabababbbaaa 设设向向量量加加减减法法：1).,(),(2zyxzyxkakakaaaakk）数乘向量：（ 三维空间向量及线性运算三维空间向量及线性运算.),(模模的的坐坐标标表表示示式式为为若若 222zyxzyxaaaaaa向量模的坐标表示xyzo.|），（），（单单位位向向量量 zyxzyxaaaaaa10三维向量空间向量的模和单位向量三维向量空间向量的模和单位向量0).,(;),(313232331221220222 单单位位向向量量模模则则例例如如例题例题.,的的模模及及单单位位向向量量求求向向量量430 ).54,53, 0(54300222单位向量，的模向量解.,

8、322530221，求求，已已知知向向量量 .,1113215904423244222122711530221，解解 例例1例例2.,cos,的的夹夹角角为为向向量量其其中中）为为向向量量的的数数量量积积（内内积积称称 ., 求求，已已知知向向量量530221 4523201530221)(,解解 三维空间向量的数量积三维空间向量的数量积定义5例3.,),(),(zzyyxxzyxzyxbabababbbaaa 则则有有设设.,02cos,2,正交则称向量时的夹角当向量 .,.5, 3,0,4, 1, 1,3, 5, 1是否正交及判断已知向量 不不正正交交；故故解解 ,)(,084315114

9、11351三维空间向量的正交三维空间向量的正交定义6例4 .,)(,正正交交故故 0533501530351.,.)()()()()(,)()(.,.RlkRkkklklkkllkRRRRRRkRkRRR为为三三维维向向量量，其其中中为为三三维维向向量量空空间间则则称称）（）（）（的的负负元元素素），称称为为记记使使，对对）（的的零零元元素素）为为称称有有对对）（）（）（运运算算规规则则，两两种种运运算算满满足足如如下下八八条条对对这这两两种种运运算算封封闭闭，且且记记作作，规规定定一一种种数数乘乘运运算算，又又对对；记记作作，规规定定一一种种加加法法运运算算，对对合合记记作作所所有有三三维维

10、向向量量组组成成的的集集 33333333338761504000321三维向量空间三维向量空间其中第i个数ai称为向量的第i个分量.向量普通用,等表示.2.n 维向量维向量定义6 n个数a1,a2,an组成的一个有序数组(a1, a2, , an) 称为n维向量.留意: (1)本书中n维向量普通指实数域R上n维向量. (2)当需求区分时，称为列向量，称T为行向量.定义定义7 零向量零向量: 0=(0, 0, , 0) 负向量负向量: -=(-a1, -a2, , -an) 向量相等向量相等: 设设=(a1, a2, , an), =(b1, b2, , bn), 称称=, 假设假设ai=bi

11、 (i=1,2,n)定义定义8 (线性运算线性运算) 设设=(a1, a2, , an), =(b1, b2, , bn), 向量加法向量加法 +=(a1+ b1, a2 +b2, , an+ bn) ; 向量减法向量减法 -=(a1- b1, a2 -b2, , an-bn) ; 向量数乘向量数乘 k= (ka1, ka2, , kan). n 维向量及其运算维向量及其运算设设,0为为n维向量维向量, k,l为数域为数域F中的数中的数,那么那么1.+= + (加法交换律加法交换律)2.+(+)=(+)+(加法结合律加法结合律)3.+0=4.+(-)=05. k (+)= k+k(数乘分配律数

12、乘分配律)6. (k+l) =k+l(数乘分配律数乘分配律)7. (kl)=k(l)(数乘结合律数乘结合律)8. 1=线性运算性质线性运算性质.,.维维向向量量空空间间是是为为则则称称运运算算规规则则，两两种种运运算算满满足足如如上上八八条条对对这这两两种种运运算算封封闭闭，且且记记作作，规规定定一一种种数数乘乘运运算算，又又对对；记记作作，规规定定一一种种加加法法运运算算，对对维维向向量量组组成成的的集集合合记记作作所所有有nRRkRkRRRnnnnnn n维向量空间定义维向量空间定义n=1一维空间一维空间直线空间直线空间n=2二维空间二维空间平面空间平面空间n=3三维空间三维空间立体空间立

13、体空间n4 n 维空间维空间无几何表示无几何表示例例1.1.3 1.1.3 某仓库储存某仓库储存4 4种货物，种货物，A A、B B、C C、D.D.存储情况见下表存储情况见下表. . 负号表示调出货物.设 ABCD第一次第一次调进调进100250500200第二次第二次调进调进200 1000250现存现存货物量货物量)200,500,250,100(1 )250, 0,100,200(2 那么现存货物那么现存货物量量 )450,500,150,300(21 300150500450例例1.1.5 知知n维向量维向量解称向量组1, 2, ， n为根本单位向量组，称向量为根本单位向量组1, 2

14、,， n的线性组合 .普通地，我们称由线性运算组合成的式子普通地，我们称由线性运算组合成的式子s ,21为为s个向量个向量1, 2 ,s的线性组合，的线性组合，i为为n维向量，维向量，ki ( i=1，2，, s)为实数为实数. 例1.1.6 知向量 解注 这里行向量和列向量没有严厉区分。).,(),(),(),(11111111111111114321 ；求线性组合43215)1 ( 求若),(2)()(2)2(4321)4, 4, 8, 4()0, 0, 2, 2()4, 4, 6, 6()0, 0, 2, 2() 1, 1, 1, 1 ()5, 5, 5, 5() 1 (），（由已知可得

15、3353222)2(4321 .),(),(. 73 341280271求求设设练习练习).,(),(),(),(),(32813352128714240621341278027373 解解.43) 12213(,)42315(. 2 求且，设TT.)821773()1269315()488412()42315(3)12213(43443 TTTTT，由解n维向量的内积、长度维向量的内积、长度1.n维向量的内积维向量的内积定义定义.,),(),(201423324112344321 则则例例如如称数设向量,2121nnnRbbbaaa为向量与内积., 记nnbababa2211内积的性质内积的

16、性质2.长度范数长度范数()();, ()();, kk()();, ()(), 0, 当且仅当当且仅当= 0时，时，,=0.称之为向量称之为向量的长度的长度(范数范数).注：长度为注：长度为1的向量的向量,即为单位向量即为单位向量.定义定义,22221naaa 3.正交正交定义定义 假设假设，=0，称向量，称向量与与正交正交.1.判别以下向量组能否正交？判别以下向量组能否正交？(1) (2, 0),(1, 1);(2) (2, 0, 0), (0, 1, -1)；是否正交？是否正交？与与向量向量11111111221 .不正交不正交正交正交正交正交第第1.2节节 矩阵及其运算矩阵及其运算 1

17、. 1.矩阵概念矩阵概念 2. 2.线性运算线性运算 3. 3.矩阵乘法矩阵乘法 4. 4.矩阵转置矩阵转置 5. 5.矩阵的初等变换矩阵的初等变换前往前往1.矩阵概念注注 矩阵普通用大写字母矩阵普通用大写字母A、B， , 表示表示.mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211.,(matrix)(矩阵简称为的矩阵是型称为维nmnm列列数数表表行行构构成成的的个个数数由由nmanmij ., 2 , 1, 2 , 1. ),(,)(njjmiijiaaAAaAijijnmnmij称为列标，称为行标列元素行第为矩阵的第其中或记为由定义知，确定一个矩阵的两个要素由定义知，确定一个矩阵的

18、两个要素是维数是维数mn及元素及元素.,jiaAij254若若其其元元素素矩矩阵阵试试写写出出例例1.34567123451012332101:答答案案解解354202121112451211aaa,由由已已知知所所给给条条件件得得例例2 牛仔裤具有不同的品牌和型号，某专卖店现库存牛仔裤具有不同的品牌和型号，某专卖店现库存W牌牛仔裤牌牛仔裤23条：条： 腰围英寸腰围英寸 数量条数量条28 330 1132 634 3库存的其它牌号可按照牛仔裤的型号从小到大陈列如下：库存的其它牌号可按照牛仔裤的型号从小到大陈列如下：牌子牌子 数量条数量条L 5， 5，3，4CF 1， 7，0，0BO 6， 2，

19、2，2BA 3 ，0，0，3试经过矩阵将上面的信息表示出来试经过矩阵将上面的信息表示出来.W L CF BO BA28 30 32 341a2a1b2b3b.32121如如图图所所示示的的交交通通连连接接情情况况城城市市省省三三个个和和省省两两个个城城市市bbbBaaA, 每条线上的数字表示衔接每条线上的数字表示衔接该两城市的不同通路总数该两城市的不同通路总数.该图该图提供的通路信息提供的通路信息,试用矩阵方式试用矩阵方式表示表示(称之为通路矩阵称之为通路矩阵).41322220314C1a2a1b2b3b.,通通路路数数间间的的与与表表示示省省的的城城市市列列表表示示省省的的城城市市的的行行

20、表表示示这这里里通通路路矩矩阵阵jiijbacbaC例例3通路矩阵通路矩阵1a1b2b3.011101110:答案例4 试写出游戏“石头、剪子、布的二人零和对策中甲的得分矩阵，规定胜者得1分，败者得-1分，平手各得零分.石头剪子布石头剪子布甲方乙方011 1011 10例例5 一个公司有一个公司有5 5家零售店，第一家有家零售店，第一家有1010台电视台电视t t，1515个立体电唱个立体电唱机机s s，9 9个磁带架个磁带架d d，1212个录音机个录音机r r；第二家有；第二家有20t20t，14s14s，8d8d，5r5r；第三家有第三家有16t16t，8s8s，15d15d，6r6r；

21、第四家有；第四家有25t25t，15s15s，7d7d，16r16r；第；第五家有五家有5t5t，12s12s，20d20d，18r.18r.试用矩阵表示各家零售店的存货试用矩阵表示各家零售店的存货. .用行表示商品用行表示商品,用列表示零售店用列表示零售店,那么下面矩阵表示那么下面矩阵表示各家零售店的存货各家零售店的存货. 这是一个这是一个5 54 4矩阵矩阵rdst18201251671525615816581420129151054321零售店2. 2. 矩阵的线性运算矩阵的线性运算 矩阵相等矩阵相等 矩阵加法矩阵加法 矩阵减法矩阵减法 数乘矩阵数乘矩阵那么称矩阵A和B相等. 记作A=B

22、矩阵相等必需满足矩阵相等必需满足:行列对应相等且元素对应相等行列对应相等且元素对应相等. 矩阵的相等矩阵的相等定义定义 设有两个设有两个mn矩阵矩阵mnmmnnmnmmnnbbbbbbbbbBaaaaaaaaaA212222111211212222111211),2, 1;,2, 1(njmibaijij若称为矩阵称为矩阵A与与B的和的和. 记作记作.nmijijbaBAC注：只需同型的两个矩阵才干进展加法运算注：只需同型的两个矩阵才干进展加法运算. 矩阵的加法矩阵的加法mnmnmmmmnnnnbababababababababaC221122222221211112121111矩阵定义定义

23、设有两个设有两个mn矩阵矩阵mnmmnnmnmmnnbbbbbbbbbBaaaaaaaaaA212222111211212222111211.)(,OAAAAAOA显显然然接例接例5 知公司的知公司的5 5家零售店关于商品电视家零售店关于商品电视t t，立体电唱机，立体电唱机s s，磁带架磁带架d d，录音机，录音机r r存货用矩阵表示如下存货用矩阵表示如下: :假设公司又给它的各个零售店发货，数量为假设公司又给它的各个零售店发货，数量为D D，新的，新的存货量分别是多少？存货量分别是多少？ rdst18201251671525615816581420129151054321零售店536984

24、212627516902534D那么现存货量用矩阵表示为 假设该日各个零售店各个商品销售数量为M, 182012516715256158165814201291510DS 536984212627516902534 232318142411173712171521614232014141814 12122300000041232101M 那么各个零售店当天各种商那么各个零售店当天各种商品品 剩余数量如何求出剩余数量如何求出?(思索思索)(i) A+B=B+A(ii) (A+B)+C=A+(B+C)(iii) A+O=O+A=A(iv) A-A=A+(-A)=O其中其中A、B、C和零矩阵和零矩阵

25、O是同型矩阵是同型矩阵.512211213102BA,设设 .,BABA21求求例例1 5122112131021BA?.)()(AB321111521123211012 .7053135122112131025122112131022 BA矩阵的加法满足以下运算规律解 数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法定义定义 数数k与矩阵与矩阵A的乘积记作的乘积记作kA或或 A k，简称数乘，简称数乘，规定为规定为数乘矩阵运算规律：数乘矩阵运算规律：(i) k(A+B)=kA+kB(ii) (k+h)A=kA+h A(iii) k(h A)=(k h)A(iv) 1A=A其中其中A、B为为m n 矩阵；矩阵；k

26、、h为数为数.AkkakakakakakakakakakakAmnmmnnnmij212222111211 (续)假设公司要求各个零售店年底对现存四种商品打折10%处置，设打折前的存货价值矩阵是V,打折后各个零售店四种商品的存货价值是多少呢？ 利用数乘矩阵可得28754025450042003000192542501110015002975375063007502450575060001750245045004200V5258753622405037802700517323825999013505267733755670675220551755400157522054050378090. V5

27、12211213102BA,设设 .,BABA3221求求例例2 2 51221122123212022221BA 1729735153663321310253132323131321310232BA134013512211426204解解例例3 3.,XBAXBAXX求求，其其中中，满满足足如如果果矩矩阵阵022021122BAXXBAX212由由已已知知0220212112X解解.222201102112引例引例 矩阵的乘法由知得 某服装商店一天的销售量如下表：且知某服装商店一天的销售量如下表：且知每条每条W牌牛仔裤的利润是牌牛仔裤的利润是15元；元；每条每条L 牌牛仔裤的利润是牌牛仔裤的

28、利润是17.5元；元；CF牌是牌是20元、元、 BO牌是牌是12.5元、元、 BA牌是牌是20元元. W L CF BO BA28 30 32 34利润矩阵205 .12205 .1715B4321 A这里问题问题 1. 在这一周之内在这一周之内.，最小号牛仔裤的销售利润总和是多少？，最小号牛仔裤的销售利润总和是多少？ 问题问题 2. 30号牛仔裤的利润总和是多少？号牛仔裤的利润总和是多少？W L CF BO BA28 30 32 34问题问题 3. 一切牛仔裤的销售利润总和是多少？一切牛仔裤的销售利润总和是多少？利润矩阵205 .12205 .1715B设为设为A 120210312025.

29、1212005.173151.1205.12205.17151 B 5.387216852025.1212065.178155.2205.12205.17152B 59752575387120205122051715301100653221685210313.AB总利润总利润862.5元元问题问题 2. 30号牛仔裤的利润总和是多少？号牛仔裤的利润总和是多少？问题问题 3. 一切牛仔裤的销售利润总和是多少？一切牛仔裤的销售利润总和是多少？586259752575387120.由由.,nsijsmijbBaA设设矩矩阵阵矩阵矩阵A与与B的乘积是一个的乘积是一个mn矩阵矩阵,nmijcC矩阵乘法定

30、义矩阵乘法定义注注 只需当第一个矩阵左矩阵的列数等于第二只需当第一个矩阵左矩阵的列数等于第二个矩阵右矩阵的行数时，两个矩阵才干相乘个矩阵右矩阵的行数时，两个矩阵才干相乘.其中其中记作记作C =AB.njmibabababacskkjiksjisjijiij,;,212112211注 按此定义，一个1 s矩阵与一个s 1矩阵的乘积是一个1阶方阵，也就是一个数.如前例中求得携手销售各个型号牛仔裤利润总和. 这阐明乘积矩阵AB=C的第i行第j列元素cij是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和. sjisjijisjjjisiibabababbbaaa 22112121即即skijkjikcba1.

31、ABBA的的乘乘积积与与求求矩矩阵阵4311023110142012130143110231101420121301ABC例例4 4 421031023200111212201142411330013103101111231041.1199129解解.BAABBA与与的的乘乘积积与与求求矩矩阵阵63422142;168321663422142AB由该例可知，在普由该例可知，在普通情况下，矩阵的通情况下，矩阵的乘法不满足交换律，乘法不满足交换律，即即 ABBA.且两个非零矩阵的且两个非零矩阵的乘积能够是零矩阵乘积能够是零矩阵.000021426342BA例例5 5解解(AB)C=A(BC);A(

32、B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA;(iii) k(AB)=(kA)B=A(k B), (其中其中k为为数数).矩阵的乘法不满足交换律，矩阵的乘法不满足交换律，.BAAB 假设假设AB = BA 时时, 称称 A, B为可交换矩阵为可交换矩阵.矩阵的乘法运算规律矩阵的乘法运算规律 假设运算都是可行的假设运算都是可行的留意留意328021382201T矩阵的转置矩阵的转置定义定义 把矩阵把矩阵A的行列互换得到一个的行列互换得到一个nm矩阵，称为矩阵，称为A 的转置的转置, 记作记作AT .,42314321T例如例如.931931T,212222111211mnmmnnaaaaaa

33、aaaA设.212221212111mnnnmmTaaaaaaaaaA则(i) (AT)T=A (ii) (A+B)T=AT+BT 证明证明 (iv),nsijsmijbBaA记记,nmijcCAB由矩阵的乘法定义，由矩阵的乘法定义， (AB)T的的 普通项为普通项为运算规律运算规律 假设运算都是可行的假设运算都是可行的(iii) (kA)T=k AT (iv) (AB)T=BTAT 设设,skkijksijsijijjibabababac12211对于多个矩阵相乘，有对于多个矩阵相乘，有TTTtTtAAAAAA1221.,TABBA求求已已知知102324171231102,10131731

34、40102324171231102AB因1031314170213012131027241TTTABAB.1031314170TAB故解法1解法2例例6 6 1121123123443212320531112301421.,.,.XXABBABABA，求求已已知知求求设设求求.49911111:答答案案综合练习综合练习.).(113202X?,.1edecbdba)1yx5.( AB;1231211111111114yxfBA求求设设.0222644:答答案案.feydxcybxyax222522综合练习综合练习 矩阵的初等变换矩阵的初等变换定义定义 对对mn矩阵施以以下变换均称为矩阵的初等变

35、换：矩阵施以以下变换均称为矩阵的初等变换：(ii)以非零数以非零数k乘某行的一切元素；乘某行的一切元素；(iii)把某一行的一切元素的把某一行的一切元素的k倍加倍加到另一行对应的元素上去到另一行对应的元素上去.)(jirr 记记作作)(kri记记作作)(jikrr 记记作作初等行变换：初等行变换：注注将上述定义中将上述定义中 “行改为行改为“列即为初等列变换定义列即为初等列变换定义.(i)对调两行；对调两行；(i)对调两列；对调两列；(ii)以非零数以非零数k乘某列的一切元素；乘某列的一切元素；(iii)把某一列的一切元素的把某一列的一切元素的k倍倍加到另一列对应的元素上去加到另一列对应的元素

36、上去.)(jicc 记作)(kci记作)(jikcc 记作初等列变换初等列变换注 初等行列变换统称初等变换.教材重点讨论初等行变换.32154060060054032131rrA例如例如600108032160054032121rA6005400216005403213121rrA)()(jirr )(kri)(jikrr 等价矩阵等价矩阵 (i)反身性，反身性，AA； (ii)对称性，假设对称性，假设AB那么那么BA； (iii)传送性，假设传送性，假设AB，BC那么那么AC.定义定义 假设矩阵假设矩阵A经有限次初等变换变成矩阵经有限次初等变换变成矩阵B，称，称矩阵矩阵A、B等价等价. 注注

37、 1等价作为一种关系满足以上三个性质等价作为一种关系满足以上三个性质. 2等价也可以运用于线性方程组或向量组，等价也可以运用于线性方程组或向量组，例如线性方程组与其同解方程等价等等例如线性方程组与其同解方程等价等等.矩阵等价关系满足以下性质：矩阵等价关系满足以下性质：行阶梯形矩阵与行最简形矩阵行阶梯形矩阵与行最简形矩阵）（400000310000111041211B)(000003100030110401015B)(00000001000001000001FnmrOOOEF经列初等变换经列初等变换普通地普通地继续行初等变换继续行初等变换称为行阶梯形矩阵称为行阶梯形矩阵特点：特点：横线下方全是横

38、线下方全是0；每阶只需一行，阶数即非零每阶只需一行，阶数即非零行行数；行行数；竖线后面第一个元素为非零竖线后面第一个元素为非零元元.也称为行最简形矩阵也称为行最简形矩阵特点：特点：各阶第一个非零元都是各阶第一个非零元都是1，所在列其他元素均为所在列其他元素均为0.称为规范形矩阵称为规范形矩阵特点：特点：左上角是一个单位矩左上角是一个单位矩阵，其他元素均为阵，其他元素均为0.普通规范形矩阵普通规范形矩阵矩阵矩阵A经过初等变换经过初等变换总可以化为这种规范总可以化为这种规范形；形；该规范形由该规范形由 m、n、r 完全确定完全确定.用例阐明：用例阐明：rrrE100010001矩阵的高斯消元法矩阵

39、的高斯消元法 任何一个任何一个m mn n矩阵矩阵A A都可以经过行初等变换化为行阶梯都可以经过行初等变换化为行阶梯形形. .对行阶梯形继续行初等变换可以化为行最简形对行阶梯形继续行初等变换可以化为行最简形. .化化简时运用以下矩阵的高斯消元法简时运用以下矩阵的高斯消元法. . 矩阵高斯消元法的步骤：矩阵高斯消元法的步骤：3对除去第一行以外的行反复以上作法，那么将矩阵对除去第一行以外的行反复以上作法，那么将矩阵化为行阶梯形；化为行阶梯形；4将最后一个非零行中的首个非零元，经过乘以某常将最后一个非零行中的首个非零元，经过乘以某常数化为数化为1，并将其所在列该非零元上面的元素都消为零，并将其所在列

40、该非零元上面的元素都消为零，依此，由下向上递推，最后将依此，由下向上递推，最后将A化为行最简形化为行最简形. 1取矩阵中元素取矩阵中元素a110为主元，假设为主元，假设a11=0为零，经过为零，经过行交换将第一列上元素不为零的某行换到第一行；行交换将第一列上元素不为零的某行换到第一行；2用主元用主元a11将第一列中将第一列中a11以下的其他元素消为零；以下的其他元素消为零；5500334241219621412133422132rrrrA解.为为最最简简形形利利用用初初等等变变换换化化矩矩阵阵962141213342A0000110030211100550041215151) 1(51)2(2

41、1223312rrrrrrrr.的最简形最后一个矩阵为 A例例1.343431312252321 AA其其中中形形化化为为行行阶阶梯梯形形和和行行最最简简利利用用高高斯斯消消元元法法将将矩矩阵阵施施以以初初等等行行变变换换：对对A解解1226209152052321343431312252321231323rrrrA31915210052032123rr例例2.的的行行阶阶梯梯形形最最后后一一个个矩矩阵阵为为 A继续行初等变换，继续行初等变换，31914110052020121rr316423100020001313225rrrr3132231000100012123)()(rr.的的行行最最

42、简简形形最最后后一一个个矩矩阵阵为为 A.为为行行最最简简形形化化34312232133ijaA.100010001100020001100520201100520321620520321A.最简形也是标准形最简形也是标准形由最后化成的矩阵是行由最后化成的矩阵是行规范形例例3此题建议学生完成此题建议学生完成.解解第第1.3节节 n阶方阵阶方阵 1.1.方阵概念方阵概念 2.2.几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵( (方阵方阵) ) 3.3.线性变换线性变换 4.4.方阵的运算方阵的运算 方阵的其他运算方阵的其他运算 5.5.初等矩阵初等矩阵前往前往定义定义1.3.1 由由n2个数排成的个数排成的nn

43、矩阵矩阵称为称为n阶方阵阶方阵.记作记作A=定义定义1.3.2 由方阵左上角元素到右下角元素表示由方阵左上角元素到右下角元素表示的位置称为方阵的主对角线，主对角线元素的的位置称为方阵的主对角线，主对角线元素的和即称为方阵的迹，记作和即称为方阵的迹，记作:nnija)(i，j=1，2，nnnA或或简简记记作作)(Atr1.方阵概念方阵概念nnaaa2211一切一切n2n2个元素全为零的矩阵称为个元素全为零的矩阵称为n n阶零阵，记作阶零阵，记作000000000O(1)零阵零阵 2.几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵(方阵方阵)在方阵运算中起数字在方阵运算中起数字“0作用，零阵的迹等于作用，零阵的迹等

44、于0.AAO432143210000OAO000043210000例如例如(1)对角矩阵对角矩阵定义定义 一切非主对角线元素全等于零的一切非主对角线元素全等于零的n阶矩阵称为阶矩阵称为 对角矩阵对角矩阵.3000050000900001是一个四阶对角矩阵是一个四阶对角矩阵.2.几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵(方阵方阵)当对角线元素都相等时有：当对角线元素都相等时有：定义定义 假设假设n阶对角矩阵一切主对角线元素都相等，阶对角矩阵一切主对角线元素都相等， 那么称此矩阵为那么称此矩阵为n阶数量矩阵阶数量矩阵,或标量矩阵或标量矩阵.当当a=1时时, 对角元全为对角元全为 1，其他元素都是零其他元素都是

45、零 的的对角阵称为单位矩阵对角阵称为单位矩阵. (2)数量矩阵数量矩阵视作数乘单视作数乘单位阵位阵.000000aEaaa记作.100010001nE记作定义定义 假设假设n阶矩阵主对角线下方的元素都等于零，阶矩阵主对角线下方的元素都等于零， 那么称此矩阵为上三角矩阵那么称此矩阵为上三角矩阵.假设假设n阶矩阵主对角线上方的元素都等于零，阶矩阵主对角线上方的元素都等于零， 那么称此矩阵为下三角矩阵那么称此矩阵为下三角矩阵.A为为n阶上三角矩阵；阶上三角矩阵；B为为n阶下三角矩阵阶下三角矩阵.(3)三角形矩阵三角形矩阵nnnnnnnnbbbbbbBaaaaaaA212221112221121100

46、0000在以下矩阵中在以下矩阵中,指出三角阵、对角阵、数量阵、单位阵：指出三角阵、对角阵、数量阵、单位阵：.,1000100013000300035000100011400320014025EDCBA练习练习定义定义 假设假设n阶矩阵阶矩阵A满足满足A=AT，那么称矩阵，那么称矩阵A为为 对称矩阵对称矩阵.nnnnnnaaaaaaaaaA212221211211形如对称矩阵对称矩阵A=aI j中的元素满足中的元素满足aij=aji，i，j=1，2，n即即A中元素关于主对角线为对称中元素关于主对角线为对称.性质性质1对称矩阵对称矩阵A与与B的和也是对称矩阵的和也是对称矩阵 2数乘对称矩阵仍为对称

47、矩阵数乘对称矩阵仍为对称矩阵.6542533143202101B例例：(4)对称矩阵对称矩阵定义定义 假设假设n阶矩阵阶矩阵A满足满足AAT ATAE ，那么称矩阵，那么称矩阵A为为 正交矩阵正交矩阵.;1001100110011001AAAAATT例例如如性质性质1假设假设A为正交矩阵为正交矩阵,那么那么AT也是正交矩阵也是正交矩阵; 2正交矩阵正交矩阵A与与B的乘积也是正交矩阵的乘积也是正交矩阵.1001ttttttttBBBBttttBTTcossinsincoscossinsincoscossinsincos例例如如(5)正交矩阵3.线性变换线性变换构构成成矩矩阵阵系系数数ija 称此

48、矩阵为线性变换的系数矩阵称此矩阵为线性变换的系数矩阵.线性变换与矩阵线性变换与矩阵存在着一一对应存在着一一对应关系关系. .212222111211mnmmnnnmijaaaaaaaaaaA例如例如.cossinsincostytxytytxxt角角的的旋旋转转变变换换为为：以以原原点点为为中中心心旋旋转转 .cossinsincostttt的的矩矩阵阵为为：那那么么这这个个线线性性变变换换对对应应称此矩阵为上述线性变换的系数矩阵称此矩阵为上述线性变换的系数矩阵. .显然该矩阵即为前面提及正交矩阵显然该矩阵即为前面提及正交矩阵. .其它三种常见的线性变换其它三种常见的线性变换恒等变换恒等变换n

49、nxyxyxy,2211单位阵单位阵线性变换线性变换nnnxyxyxy,222111对角矩阵对角矩阵100010001nEn00000021三角矩阵三角矩阵对应下对应下(上上)三角矩阵的线性变换三角矩阵的线性变换nnnnaaaaaaA21222111000例例2101143212121CCzxzCYyCx，其其中中的的线线性性变变换换到到求求和和已已知知线线性性变变换换.解解2121212110114321zzyyyyxx,这这里里，即即有有,212110114321zzxx73311011432121CCC.7331Czx的的线线性性变变换换矩矩阵阵为为到到故故3.方阵的运算方阵的运算 方阵

50、作为行数与列数相等的一类矩阵，同样方阵作为行数与列数相等的一类矩阵，同样可以进展第可以进展第1.2节中定义的各种运算，并满足节中定义的各种运算，并满足相应的运算律，方阵的和，差，数乘，乘积相应的运算律，方阵的和，差，数乘，乘积及转置矩阵仍为方阵及转置矩阵仍为方阵.例例1.,TTBABABA，求求已已知知43214025，解解834643214025BA.843642314205TTBA例题例题例例2？求求：，已已知知DFEFFDE987654321300030003100010001,:；解解987654321987654321100010001EF.272421181512963987654

51、3213987654321300030003DF.BAABBA与与的的乘乘积积与与求求矩矩阵阵63422142;168321663422142AB注注 普通情况下，两个普通情况下，两个n阶方阵相乘不满足交换律，阶方阵相乘不满足交换律，ABBA。但是。但是 其乘积仍为其乘积仍为n阶方阵。阶方阵。.000021426342BA例例3 3解解定义定义 设设A是一个是一个n阶方阵，阶方阵，k为正整数为正整数, 个kkAAAA称为称为A的的k次幂次幂.注注 A k就是就是k个个A连乘连乘.显然只需方阵的幂才有意义显然只需方阵的幂才有意义. 规定规定:A0=E.(i) A k Al=A k+1 (ii)

52、(A k)l=A k l其中其中k、l为正整数为正整数.1 n阶方阵的幂阶方阵的幂运算律运算律.000000001111111133632AA例如例如方阵的其他运算方阵的其他运算 由于矩阵乘法普通不满足交换律，所以对于两个由于矩阵乘法普通不满足交换律，所以对于两个n 阶方阶方阵阵A与与B， (AB)k 普通不等于普通不等于A k B k.即即假设假设Ak=O，不一定有，不一定有A=O. 例如取例如取01111A0000111111112A.,321101AAA求求设设注例1,1201110111012A.1301110112011101110123A解解?kA例例2 2.nAA，求，求设设10

53、0110011n n为自然数为自然数 解解;1002101211001100111001100112A;10031033110011001110021012123AAA100110112211nnAnnn)(设设10010110011001110011011212121nnnnAAAnnnnnn)(2矩阵多项式矩阵多项式定义定义1.3.3 设设*为为x的多项式，的多项式，A为为n阶矩阵，阶矩阵，E为为n阶阶单位阵，称单位阵，称 *为关于为关于A的矩阵多项式的矩阵多项式.(*)(0111axaxaxaxfmmmm(*)(EaAaAaAaAfmmmm0111).()(AfAxxxf，求求，已已知知

54、3021122解解.)(1401221001604290811001302123021222EAAAf例例1ACABCBACBA)(:,1213,4012,1342.1试检验若.(,.)101232为为正正整整数数求求设设kAAAhAk222222?3BABABABABABABA)()(,.等式能成立等式能成立试问在什么条件下以下试问在什么条件下以下是两个同阶方阵是两个同阶方阵设设.101:khAk答案课堂练习课堂练习).()(,.AfxxxfA求求设设2101142BAAB:. 3 答答案案.2012)(. 4 Af定义定义 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，由单位矩阵经过一次初等变换得

55、到的矩阵， 称为称为 初等矩阵初等方阵初等矩阵初等方阵. .三种初等变换对应着三种初等矩阵，以三种初等变换对应着三种初等矩阵，以3 3阶单位阵为例予以阐明阶单位阵为例予以阐明. . (i)互换互换E的的i、j 两行或两行或i、j两列两列),记记E i,j 0101000013,2E)(jirr 5.初等矩阵初等矩阵)(32rr 例如例如 10111101,jiE(ii)E的第的第i行或第行或第i列乘以不等于零的数列乘以不等于零的数k，得，得)(irk (iii)(iii)把把E E的第的第j j行的行的k k倍加到第倍加到第i i行上行上( (或第或第i i列的列的k k倍加到第倍加到第j j

56、列上列上) )，得得)(jikrr 10003000132)(E100010031312)(E例如例如例如例如1111kkiE1111kkijE矩阵的初等变换与初等矩阵有着非常亲密的关系矩阵的初等变换与初等矩阵有着非常亲密的关系. .初等矩阵性质和有关定理初等矩阵性质和有关定理性质性质 初等矩阵的转置矩阵仍是初等矩阵初等矩阵的转置矩阵仍是初等矩阵. .定理定理1.3.2 设设A是是m行行n列矩阵，那么列矩阵，那么(1)对对A施以一次初等行变换所得到的矩阵，等于用同种施以一次初等行变换所得到的矩阵，等于用同种m阶初等阶初等 矩阵左乘矩阵左乘A.(2)对对A施以一次初等列变换所得到的矩阵，等于用同

57、种施以一次初等列变换所得到的矩阵，等于用同种n阶初等阶初等 矩阵右乘矩阵右乘A.98718151232198765432110003000132AE)(9247615436110003000198765432132)(AE例如例如.为为标标准准形形仅仅应应用用行行初初等等变变换换化化 300621301A 3000200013009203013006213013231123rrrrrrA EAEEEEE )1(21)1(13)3(23)21(2)31(3程程，即即：用用初初等等矩矩阵阵表表示示上上述述过过例例1注注 该矩阵仅经过一系列行变换，即该矩阵仅经过一系列行变换，即 可化为规范形矩阵；可

58、化为规范形矩阵；该化简过程可以用延续左乘初等矩阵进展表示；该化简过程可以用延续左乘初等矩阵进展表示；该化简结果阐明方阵该化简结果阐明方阵A 与单位阵等价与单位阵等价.解解 100010001300010001312132rr.为为标标准准形形仅仅应应用用行行初初等等变变换换化化323513123A10001000110001000320001002320041012332351312387654321PPPPPPPPA,EAPPPPPPPP12345678程程，即即：用用初初等等矩矩阵阵表表示示上上述述过过例例2注注 化简过程阐明，某些矩阵仅经过一系列行变换，即化简过程阐明，某些矩阵仅经过一系

59、列行变换，即 可化为规范形矩阵；可化为规范形矩阵；假设设假设设P8P7P6P5P4P3P2P1=P，那么，那么PA=E.由等价矩阵定义知：由等价矩阵定义知：A与单位阵与单位阵E等价等价,即即AE.解解 这里这里Pi代表施行的代表施行的初等变换初等变换,也代表对也代表对应的初等矩阵应的初等矩阵.第1.4节 可逆矩阵 1. 逆矩阵概念逆矩阵概念 2. 逆矩阵性质逆矩阵性质 3. 求逆矩阵方法求逆矩阵方法 4. 逆矩阵运用逆矩阵运用前往前往1.逆矩阵概念逆矩阵概念定义定义 对于对于n阶方阵阶方阵A，假设有一个，假设有一个n阶方阵阶方阵B，使得，使得 AB=BA=E， 那么方阵那么方阵A称为可逆矩阵，

60、简称称为可逆矩阵，简称A可可 逆逆. 方阵方阵B称为称为A的逆矩阵的逆矩阵.记为记为A-1.证证 (2)设设B、C都是都是A的逆矩阵，那么有的逆矩阵，那么有 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.独一性得证独一性得证.结论结论 (1) 这时矩阵这时矩阵B亦可逆亦可逆,B的逆阵为的逆阵为A.即即B-1=A.注注 可逆矩阵也称为非退化阵可逆矩阵也称为非退化阵,也常被称为非奇特阵也常被称为非奇特阵; 不可逆矩阵称为退化阵不可逆矩阵称为退化阵,也常被称为奇特阵也常被称为奇特阵. (2) 假设方阵假设方阵A可逆，那么可逆，那么A的逆矩阵是独一的逆矩阵是独一的的. 先给出一个例子先给出一个例子.例例