数学物理方法(梁昆淼)总复习

1、ize指数表示法一.复平面上复数的表示方法直角坐标表示法三角表示法zxiy(cossin )zi( )f z( , )u x y( , )v x y( , )u x y( , )v x yuxvyvxuy处处连续uvxyvuxy1uv uv 极坐标直角坐标1( )( )nillif z dzf z dz三三 复变函数的积分复变函数的积分 柯西柯西 定理定理 公式公式定理单通复通( )0lf z dz 解析函数公式( )2( )lf zifdzz1( )( )2( )knkllf zf zifddzz第一类情形第一类情形：沿非闭合曲线的积分沿非闭合曲线的积分a :若 不解析b : 若 在闭单通区

2、域上解析，求原函数来计算积分( )f z( )f z( )( , )( , )( , )( , )lllf z dzu x y dxv x y dyi v x y dxu x y dy2121( )()( )zzfdF zF z求路径积分第二类情形：沿闭合围道的积分第二类情形：沿闭合围道的积分( )0lf z dz （ 在闭单通区域上解析）在闭单通区域上解析）( )f z( )2( )lf zdzifz（ 在闭单通区域上解析且在闭单通区域上解析且 为该区域上的内点）为该区域上的内点）( )f z(1)( )2( )()(1)!nnlf zidzfzn留数定理，单极点留数定理，n阶极点柯西公式和

3、柯西公式和留数定理是留数定理是可以统一起可以统一起来的！来的！四四 留数定理留数定理0( )()kkkf zazz1次方项的系数留数01Re()sf za1. 有限远点的留数有限远点的留数2. 留数定理留数定理1( )2Re()nljjf z dzisf b.b1.b2.bn.全平面的留数定理：函数 在全平面上所有各点的留数之和为零( )f z3 留数的计算（注意判断奇点的类型）（1）可去奇点0Re()0sf z奇点邻域内的洛朗展开无负幂项，有限远点（2）极点单极点000Re()lim() ( )zzsf zzzf zm阶极点010011Re()lim()( )1 !mmmzzdsf zzzf

4、 zmdz如何判断极点的阶：00lim()( )mzzzzf z非零有限值（3）本性奇点：将 在 的去心邻域上作洛朗展开，求1次方的系数，或用全平面留数定理( )f z0z五. 洛朗展开常用初等函数的常用初等函数的Tayler展开式展开式0!kzkzek()z 210sin( 1)(21)!kkkzzk()z 20cos( 1)(2 )!kkkzzk()z 011kkzz(1)z 10ln(1)( 1)1kkkzzk(1)z 1(1).(1)(1)1!mkkmmm kzzk (1)z 六六. 孤立奇点的分类：孤立奇点的分类： （根据孤立奇点的去（根据孤立奇点的去心领域内洛朗级数的性质）心领域内

5、洛朗级数的性质）可去奇点可去奇点： 内的洛朗级数不含有 的负幂项00zzR0zz00( )()kkkf zazz00lim( )zzfza极点极点：00zzR内的洛朗级数仅含有有限个 的负幂项0zz0( )()kkkmf zazz0lim( )zzfz M阶阶极点极点本性奇点本性奇点00zzR内的洛朗级数含有无限个 的负幂项0zz0( )()kkkf zazz0lim( )zzfz不存在不存在如何判断极点的阶如何判断极点的阶00lim()( )mzzzzf z非零有限值七七 利用留数定理计算实变定积分利用留数定理计算实变定积分第一类：20(cos ,sin )Rxx dx11201(cos ,

6、sin )(,)22zzzzzdzRxx dxRiiz( )f x dx第二类：特点：被积函数的积分区间（ ， ）， 在实轴上无无奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的。当 在上半平面 和实轴上 时， 一致地( )f zz( )zf z02 ( )i f z在上半平面所有奇点的留数之和( )f x dx0( )cosF xmxdx0( )sinG xmxdx第三类：0被积函数的积分区间 ， ,偶函数 和奇函数( )F z( )G z在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当 在上半平面或实轴上 时， 和z( )F z( )G z一致地趋于零01( )cos( )2imxF xmxd

7、xF x edx01( )sin( )2imxG xmxdxG x edxi ( )imzi F z e在上半平面所有奇点留数之和 ( )imzG z e在上半平面所有奇点留数之和八八 奇函数和偶函数的傅立叶级数奇函数和偶函数的傅立叶级数奇函数2Tl10( )sin( )sinkklkk xf xblk xbf xdxll2其中 只有正弦项偶函数01000( )cos( )( )coskkllkk xf xaalaf x dxlk xaf xdxll1其中 2只有余弦项九九 函数函数1挑选性挑选性00( ) ()( )ft df t 傅立叶积分傅立叶积分2 函数的函数的1( )2ikxxe d

8、k0()01()2ik x xxxedk十十.数学物理定解问题数学物理定解问题A.几个重要的泛定方程1.弦的横振动方程和杆的纵振动方程弦的横振动方程和杆的纵振动方程(自由振动自由振动)20ttxxua u弦的横振动方程和杆的纵振动方程弦的横振动方程和杆的纵振动方程(受迫振动受迫振动)2( , )ttxxF x tua u( , )F x t每单位长度的弦所受的横向力每单位长度单位横截面积的杆所受的纵向外力2. 一维的无源扩散方程和热传导方程（输运方程）一维的无源扩散方程和热传导方程（输运方程）20txxua u一维的有源热传导方程一维的有源热传导方程2( , )txxF x tua uc( ,

9、 )F x t单位时间在单位长度上产生的热量0u 3 静电场方程有源：有源：泊松方程无源：无源：0u 拉普拉斯方程B 定解条件1.初始条件:热传导方程 1个初始条件 波动方程2个初始条件2. 边界条件第一类边界条件000000,( , , , )(, )xyzu x y z tf xy z t第三类边界条件000000,(, )xyzuf xyz tn第二类边界条件000000,()(, )xyzuuHf xyz tn第二类边界条件:( )()x auf tYsn若为自由振动自由振动( )0f t ( )f txa( )x auf txYs0 x aux例1 作纵振动的杆例2 细杆导热问题(

10、)f txa( )x aukf tx流出( )x aukf tx 流入达朗贝尔公式适用的问题120ttxxua u(,0)xt 无界区间内的自由振动问题无界区间内的自由振动问题11( , ) ()()( )22x atx atu x txatxatda 0( )tux0( )ttux齐次的泛定方程20ttxxua u0( )tux0( )ttux(0,0)xt 00 xu半无界区间内的自由振动问题半无界区间内的自由振动问题一齐2奇延拓0( )tux ( )x0 x ()x0 x 0( )ttux( )x0 x ()x0 x 11( , ) ()()( )22x atx atu x txatxa

11、tda ()xat11( , ) ()()( )22x atat xu x txatatxda ()xat20ttxxua u0( )tux0( )ttux(0,0)xt 00 xxu二齐3偶延拓0( )tux ( )x0 x ()x0 x 0( )ttux( )x0 x ()x0 x 半无界区间内的自由振动问题半无界区间内的自由振动问题11( , ) ()()( )22x atx atu x txatxatda ()xat00111( , ) ()()( )( )222x atat xu x txatatxddaa ()xat十一 分离变数法有界区间I 第一类问题第一类问题: 齐次的泛定方程

12、II 第二类问题第二类问题: 非齐次的泛定方程1. 边界条件为 “一齐”2.边界条件为 “二齐”3.边界条件为 “ 混齐”4 4 极坐标系中拉普拉斯方程带有周期性边界条件II 第三类问题第三类问题: 非齐次的边界条件I 第一类问题第一类问题: 齐次的泛定方程1. 边界条件为“ 一齐”本征值本征值222nl本征函数本征函数( )sinnnn xXxCl(1,2.)n a. 波动问题20ttxxua u00 xu0 x lu0( )tux0( )ttux(0)xl通解通解1( , )(cossin)sinnnnn atn atn xu x tABlll系数02( )sinlnn xAxdxll02

13、( )sinlnn xBxdxn alb. 输运问题20txxua u00 xu0 x lu0( )tux(0)xl通解通解22221( , )sinnatlnnn xu x tC el系数02( )sinlnn xCxdxll2. 边界条件为“ 二齐”本征值本征值222nl本征函数本征函数( )cosnnn xXxCl(0,1,2.)n a. 波动问题20ttxxua u00 xxu0 xx lu0( )tux0( )ttux通解通解001( , )(cossin)cosnnnn atn atn xu x tAB tABlll02( )coslnn xAxdxll02( )coslnn xB

14、xdxn al001( )lAx dxl001( )lBx dxl系数(0)xlb. 输运问题20txxua u00 xxu0 xx lu0( )tux(0)xl222201( , )cosnatlnnn xu x tCC el通解通解系数001( )lCx dxl02( )coslnn xCxdxll3. 边界条件为“ 混齐”本征值本征值2(21)2nl本征函数本征函数(21)( )sin2nnnxXxCl(0,1,2.)n 00 xu0 xx lu12(21)( )cos2nnnxXxCl00 xxu0 x lu2120ttxxua u0( )tux0( )ttuxa. 波动问题12或21

15、(0)xl0sin 212 (21)(21)( , )cossin22cos 212 nnnnxlnatnatu x tABllnxl12210sin 212 2( )cos 212 lnnxlAxdxlnxl0sin(21)2 4( )cos(21)2 (21)lnnxlBxdxnxlna12211221b. 输运问题(0)xl20txxua u12或210( )tux22222140sin 212 ( , )cos 212 natlnnnxlu x tC enxl12210sin 212 2( )cos 212 lnnxlCxdxlnxl通解系数12214 极坐标系中极坐标系中拉普拉斯方程

16、带有周期性边界条件( ,2 )( , )uu 2m本征值(0,1,2.)m 本征函数( )cossinmmmAmBm通解001( , )ln(cossin)mmmmuCDAmBm 1(cossin)mmmmCmDmI 第二类问题第二类问题: 非齐次的泛定方程方法一：傅立叶级数法方法二：冲量定理法冲量定理法适用的定解问题冲量定理法适用的定解问题2( , )ttxxua uf x t00 xxu0 xx lu00tu00ttu初始条件必须为初始条件必须为0齐次边界条件齐次边界条件非齐次的输运方程也适用（齐次边界条件和初始条件为0）波动方程波动方程解题模式解题模式1转化20ttxxva v00 xx

17、v0 xx lv0tv( , )ttvf x2求 的解v( , ; )v x t3 原问题的解0( , )( , ; )tu x tv x td阶勒让德多项式阶勒让德多项式l( )lP xA ：表达式 220(22 )!12!()!(2 )!lklklklkxk lklk查表 2:l不超过 的最大整数2l记忆：0( )1P x 1( )P xx2231( )22P xx3353( )22P xxx221 !(0)12!nnnPn 21(0)0nPcosx十二.球函数B ：勒让德多项式的微分表示和积分表示勒让德多项式的微分表示和积分表示21( )(1)2 !llllldP xxl dx微分表示微

18、分表示201( )1cos llP xxixd积分表示积分表示(1)1lP( 1)1llP C ：勒让德多项式的正交关系勒让德多项式的正交关系11( ) ( )0klP x P x dx()klD：勒让德多项式的模勒让德多项式的模12212 ( )21llNP xdxl221lNlE: 以勒让德多项式为基，将以勒让德多项式为基，将 上的函数上的函数 展展 开为广义傅立叶级数开为广义傅立叶级数 1,1( )f x0( )( )lllf xf P x11021( ) ( )221( ) (cos )sin2llllff x P x dxlfPd 系系数数勒让德多项式的应用拉普拉斯方程的轴对称定解问

19、题拉普拉斯方程的轴对称定解问题边界条件与边界条件与 无关无关0u 通解10( , )() (cos )llllllBu rArPr例：在均匀电场中放入导体球或介质球（作业题和例题）F:勒让德多项式的母函数勒让德多项式的母函数0210(cos )111 2 cos(cos )llllllr PrrPr1r 1r 102210(cos )12cos(cos )llllllllrPRRRrRrPrrRrR例：在点电荷的电场中放入导体球或介质球（例例：在点电荷的电场中放入导体球或介质球（例题）题）阶连带勒让德函数阶连带勒让德函数l( )mlPxA ：表达式 22( )(1)( )mmmllPxxPx记忆：0( )(