2020年10月18日终第2章控制系统的数学模型上课用ppt课件

1、 2008 HFUT自动控制理论1School of Electrical Engineering and Automation2-2 控制系统的微分方程控制系统的微分方程2-3 线性定常系统的传送函数线性定常系统的传送函数 (transfer function)2-4 控制系统的构造图控制系统的构造图2-5 控制系统的信号流图控制系统的信号流图2-6 闭环控制系统中几个常用的传送函数概念闭环控制系统中几个常用的传送函数概念2.1 引言引言 2008 HFUT自动控制理论2School of Electrical Engineering and Automation6.掌握由系统微分方程组建立

2、动态构造图的方法。7.掌握用动态构造图等效变换求传送函数和用梅森公式求传送函数的方法。8.掌握系统的开环传送函数、闭环传送函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传送函数及误差传送函数的概念。 2008 HFUT自动控制理论3School of Electrical Engineering and Automation系统的数学模型是指描画系统输入输出变量以及内部各变量系统的数学模型是指描画系统输入输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。之间关系的数学表达式。 静态数学模型静态数学模型 动态数学模型动态数学模型 动态数学模型有多种方式：动态数学模型有多种方式： 1、时域中的数学模型：、时域中的数

3、学模型： 微分方程、差分方程、形状方程微分方程、差分方程、形状方程 2、复域中的数学模型：、复域中的数学模型： 传送函数、动态构造图、信号流图传送函数、动态构造图、信号流图 3、频域中的数学模型：、频域中的数学模型： 频率特性频率特性 建立控制系统数学模型的方法有分析法和实验法建立控制系统数学模型的方法有分析法和实验法 要求模型尽能够符合实践物理系统的特性，并且准确可靠；要求模型尽能够符合实践物理系统的特性，并且准确可靠；在满足精度要求的情况下，建立的数学模型应尽能够简单。在满足精度要求的情况下，建立的数学模型应尽能够简单。 2008 HFUT自动控制理论4School of Electric

4、al Engineering and Automationu解析法：根据系统及元件各变量之间所遵照的物理、化学定律解析法：根据系统及元件各变量之间所遵照的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。列写出变量间的数学表达式，并实验验证。u实验法：对系统或元件输入一定方式的信号阶跃信号、单位实验法：对系统或元件输入一定方式的信号阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等，根据系统或元件的输出呼应，经过数脉冲信号、正弦信号等，根据系统或元件的输出呼应，经过数据处置而辨识出系统的数学模型。据处置而辨识出系统的数学模型。o分析和设计任何一个控制系统，首要义务是建立系统的数学模型。分析和设计任何一个控制

5、系统，首要义务是建立系统的数学模型。o系统的数学模型是描画系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系系统的数学模型是描画系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。的数学表达式。o建立数学模型的方法分为解析法和实验法建立数学模型的方法分为解析法和实验法总结：总结： 解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实践上经常是把实验方法适用于复杂、非常见的系统。实践上经常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。 2008 HFUT自动控制理论5School of Electric

6、al Engineering and Automation一、建立系统或元件的微分方程的根本步骤：一、建立系统或元件的微分方程的根本步骤：1、根据控制义务要求，确定系统和各组成元件的输入、输出、根据控制义务要求，确定系统和各组成元件的输入、输出变量。变量。2、根据各个变量之间遵照的物理或化学定律，列写出一组描、根据各个变量之间遵照的物理或化学定律，列写出一组描画各变量之间关系的微分方程和代数方程。画各变量之间关系的微分方程和代数方程。3、消去中间变量，得到系统输入变量和输出变量之间的微分、消去中间变量，得到系统输入变量和输出变量之间的微分方程。方程。4、对微分方程进展整理，写成规范方式。即将输

7、出量及其各、对微分方程进展整理，写成规范方式。即将输出量及其各阶导数项放在等号左边，输入量及其各阶导数项放在等号阶导数项放在等号左边，输入量及其各阶导数项放在等号右边，并按降幂陈列。右边，并按降幂陈列。 2008 HFUT自动控制理论6School of Electrical Engineering and Automation解解: 设回路电流为设回路电流为 i(t) , 由基尔霍夫定律可写出回路方程为由基尔霍夫定律可写出回路方程为1)()( )idLRdti ti ttdtiu tC1( )( )ou tdtCi tui(t)uo(t)CRLi(t)图图2-1 RLC2-1 RLC无源网络

8、无源网络例例2-1 图为由电阻图为由电阻R、电感、电感L电容电容C组成的无源网络组成的无源网络,试列写以试列写以 ui(t) 为输入量为输入量, 以以uo(t)为输出量的网络微分方程为输出量的网络微分方程. 2008 HFUT自动控制理论7School of Electrical Engineering and Automation消去中间变量消去中间变量i(t) ,便得到描画网络输入输出关系的微分方程为便得到描画网络输入输出关系的微分方程为)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo(2-1)(2-1)假定假定R、L、C都是常数，这是一个二阶常系数线性微分方程都是常数，这

9、是一个二阶常系数线性微分方程,也就是上图无源网络的时域数学模型。也就是上图无源网络的时域数学模型。 2008 HFUT自动控制理论8School of Electrical Engineering and Automation 例例2-2 图图2-2a)所示为弹簧、质所示为弹簧、质量、阻尼系统。当受外力量、阻尼系统。当受外力F(t)作用时，要求写出系统的微分作用时，要求写出系统的微分方程。方程。F(t)x(t)mF2(t)F1(t)图图2-2 2-2 机械位移系统机械位移系统b)F(t)x(t)mKfa)解：质量解：质量 m m 上受力情况如图示。上受力情况如图示。根据牛顿第二运动定律有：根据

10、牛顿第二运动定律有：1222( )( )( )d x tF tmtF tF td2-22-2 2008 HFUT自动控制理论9School of Electrical Engineering and Automation式中式中:)(1tF阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为与运动方向相反，阻尼系数为f f，即：，即：1()dfFx tttd)(2tF弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：2)()FKxttK弹簧刚度弹簧刚度联立以上三式联立以上三式(消除中间变量将消除中间变量将F1(t

11、)和和F2(t)并整理得：并整理得：)()()()(22tFtKxdttdxfdttxdm2-32-3假定假定m、k、f均为常数，上式就是二阶常系数线性微分方程。均为常数，上式就是二阶常系数线性微分方程。 2008 HFUT自动控制理论10School of Electrical Engineering and Automation例例2-3 列写两级列写两级RC电路的微分方程电路的微分方程 解：根据基尔霍夫定律，可写出以下方程组解：根据基尔霍夫定律，可写出以下方程组 )()()(111tutiRtur)()()(221tutiRtucdtiiCtu)(1)(2111dttiCtuc)(1)(

12、22消去中间变量消去中间变量 1u1i2i 121122112222( )( )()( )( )cccrd u tdu tRC R CRCR Cu tuddRtCtt上式是二阶常系数线性微分方程。上式是二阶常系数线性微分方程。 2008 HFUT自动控制理论11School of Electrical Engineering and Automation留意：该电路是由两个一级留意：该电路是由两个一级RC电路串联而成，后一级电路串联而成，后一级RC电路中的电流影电路中的电流影响着前一级响着前一级RC电路的输出电压电路的输出电压 ，这就是负载效应。，这就是负载效应。 假设要消除负载效应，可在两个

13、假设要消除负载效应，可在两个RC电路之间设置隔离放大器电路之间设置隔离放大器 这时所列写的微分方程为前两个方程消除这时所列写的微分方程为前两个方程消除i1,后两个方程消除后两个方程消除i2,最后消除最后消除u1 )()()()()(2211222211tutudttduCRCRdttudCRCRrccc1i2i1i111( )( )ri tu tRu t212()( )(ci tu tRu t111()t1(iu tdtC22()(1ciutCttd1111du(t)( )d)Ctru tuRt111di (u ( )t)tdtCc22c1du( )(t)C( )dtu tRu t221di

14、(u ( )t)tdtC上式是二阶常系数线性微分方程。上式是二阶常系数线性微分方程。 2008 HFUT自动控制理论12School of Electrical Engineering and Automation有源网络如下图。列写输出与输入之间的微分方程有源网络如下图。列写输出与输入之间的微分方程 解：由运算放大器的根本特性和基尔霍夫定律，列写出以下方程解：由运算放大器的根本特性和基尔霍夫定律，列写出以下方程11( )iiuttR21342( )( )( ) )( )ocu tu tRi ti ti tR21( )( )(cdCittui ttd2213( )()(oitRiutt R消去

15、中间变量消去中间变量i1,后两个方程消除后两个方程消除i2,最后消除最后消除uc，可得：，可得： )()()()uRRRdttduCRRRRRRRtudttduCRiioocu上式是二阶常系数线性微分方程。上式是二阶常系数线性微分方程。 2008 HFUT自动控制理论13School of Electrical Engineering and AutomationaaaaamcmmfuLRiemmfi电枢输入电压电枢电感电枢电阻电枢电流电枢反电势电动机转角负载力矩电磁转矩电动机轴上粘性摩擦系数励磁回路电流列写电枢控制的他励直流电动机的微分方程。列写电枢控制的他励直流电

16、动机的微分方程。ua取为输入量，取为输入量，m为输出量。为输出量。电枢转动惯量，电枢转动惯量，mJ2,4mGDJGDg(其中转动惯量电枢重量电枢直径) 2008 HFUT自动控制理论14School of Electrical Engineering and Automation电枢回路电压平衡方程电枢回路电压平衡方程式中式中 Ea(V) 是电枢反电势是电枢反电势,它是当电枢旋转时产生的电势它是当电枢旋转时产生的电势,其大其大小与激磁磁通及转速成正比小与激磁磁通及转速成正比,方向与电枢电压方向与电枢电压 ua(t) 相反相反,即即 是反电势系数是反电势系数.)/(, )(sradVCtCEem

17、eaaaaaaaEtiRdttdiLtu)()()(解：电枢控制直流电动机的任务本质是将输入的电能转换为机械解：电枢控制直流电动机的任务本质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压能，也就是由输入的电枢电压 在电枢回路中产生电枢电流在电枢回路中产生电枢电流 ，再由电流再由电流 与激磁磁通相互作用产生电磁转矩与激磁磁通相互作用产生电磁转矩 ，从而拖动，从而拖动负载运动。直流电动机的运动方程可由以下三部分组成：负载运动。直流电动机的运动方程可由以下三部分组成：( )au ti ( )ati ( )atmM ( ) t(2-5)(2-5) 2008 HFUT自动控制理论15School o

18、f Electrical Engineering and Automation 电磁转矩方程电磁转矩方程)()(tiCtMamm(2-3)(2-3) 电动机轴上的转矩平衡方程电动机轴上的转矩平衡方程)()()()(tMtMtfdttdJcmmmmm(2-6)(2-6)式中式中, 是电动机和负载折合到电动机轴上的粘是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数性摩擦系数; 是电动机和负载折合到电动机轴上是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量的转动惯量.)/(sradmNfm)(2smkgJm式中式中 是电动机转矩系数是电动机转矩系数 , 是电枢电流是电枢电流产生的电磁转矩产生的电磁转矩.)/(A

19、mNCm)(MNtMm 2008 HFUT自动控制理论16School of Electrical Engineering and Automation 由式由式(2-3)、式、式(2-5)、式、式(2-6消去中间变量消去中间变量 ia(t) , Ea 及及 Mm(t) , 便可得到以便可得到以 m(t) 为输出量为输出量,以以ua(t)为输入量的直流为输入量的直流电机微分方程为电机微分方程为22( )( )()()( )( )( )( )ammmmmammcmaaeacmaadtdtJfR JtdtdtdR fMtC u tRC CLLMtdtL(2-7)(2-7)工程中电枢电路电感工程中电

20、枢电路电感 La 较小较小, 常忽略不计常忽略不计,因此上式可简化因此上式可简化为为12( )( )( )( )mmmacdttu tMtTKdKt(2-8)(2-8)式中式中 Tm=RaJm/(Rafm+CmCe) 是电动机机电时间常数是电动机机电时间常数(s);K1=Cm/(Rafm+CmCe) , K2=Ra/(Rafm+CmCe)是电动机传送是电动机传送系数系数. 2008 HFUT自动控制理论17School of Electrical Engineering and Automation22( )( )()()( )( )( )( )mmmmmaaaamamemcmacadtdtJ

21、ffC CtdtdtdMLLLtC u tMRtdR JRt(2-7)(2-7)1( )( )( )mmmadttu tdtTK假设假设 Ra 和和 Jm 都很小而忽略不计时都很小而忽略不计时,式式(2-6)还可进一步简化为还可进一步简化为这时这时,m(t)与与ua(t)成正比成正比,于是于是,电动机可作为测速发电机运用电动机可作为测速发电机运用.此外，我们可以得到电动机转角此外，我们可以得到电动机转角 以及电动机的转速以及电动机的转速m(t)与电与电枢电压枢电压ua(t)的关系式的关系式p21：)()(tutCame(2-9)(2-9)m221( )( )( )mmamdtdtu tdtTK

22、dt(2-11)(2-11)(2-(2-12)12) 2008 HFUT自动控制理论18School of Electrical Engineering and Automation直流调速控制系统如下图。以给定电压为系统的参考输直流调速控制系统如下图。以给定电压为系统的参考输入，电动机转速为系统的输出，列写微分方程。入，电动机转速为系统的输出，列写微分方程。 )()()(tututeTr 解： )()(teKtuaa)()()(tuKtdttdTammmm)()(tKtumtT消去中间变量消去中间变量e、ua、uT )()()1 ()(tuKKtKKKdttdTrmamtmamm测速发电机的

23、电压与电动机的角速度成正比：测速发电机的电压与电动机的角速度成正比： 2008 HFUT自动控制理论19School of Electrical Engineering and Automation分别是电动机轴上的转动惯量和粘性摩擦系数分别是电动机轴上的转动惯量和粘性摩擦系数分别是负载轴上的转动惯量和粘性摩擦系数分别是负载轴上的转动惯量和粘性摩擦系数负载轴上的外加阻力矩负载轴上的外加阻力矩分别是减速器大、小齿轮的齿数分别是减速器大、小齿轮的齿数给定转角给定转角 任务机械的转角任务机械的转角桥式电位计输出电压桥式电位计输出电压电枢电压电枢电压电枢电阻电枢电阻电枢电感电枢电感电枢反电势电枢反电势

24、电动机的角位移电动机的角位移rcsuauaRaLae,mJmfm,LJLfLm2,z1zmr位置随动系统如图位置随动系统如图 所示，以手柄给定转角所示，以手柄给定转角 为系统的输入，为系统的输入，任务机械的转角任务机械的转角 为系统的输出，列写系统的微分方程。为系统的输出，列写系统的微分方程。 c 2008 HFUT自动控制理论20School of Electrical Engineering and Automation1、桥式电位计 2、放大器、放大器 m( )( )( )ercttt( )( )sseu tKt( )aasutK u t（）max(/sKE比例系数） 2008 HFUT

25、自动控制理论21School of Electrical Engineering and Automation3、电动机、电动机 电机输入输出方程为电机输入输出方程为 3232()()mmmcaaaamemaaacddddmJLJRfLfRC CC uLR mdtdtdtdtm22( )( )( )mmcmdtdtmtdtdJfmtt( )( )mm amtC i t( )( )maedte tCdt( )( )( )( )aaaa aadi tu tLR i te tdt思索了负载效应 2008 HFUT自动控制理论22School of Electrical Engineering and

26、 Automation4、减速器 mci15、任务机械 21(/izz减速比)均折算到电动机轴上，折算后：均折算到电动机轴上，折算后：,LJ,LfLm2/,mLJJJi2/,mLfffi( )(/)Lcmmtit m 2008 HFUT自动控制理论23School of Electrical Engineering and Automation消去中间变量并将折算公式消去中间变量并将折算公式 带入，得到带入，得到3232()()cccsamaaecamadddK K CJJRffRC CdtdtdtLiLaL0Lm iRCKKKamasaemRCCfF假设忽略假设忽略 的数值，思索的数值，思索

27、令令rcccKKdtdFdtdJ2222aasamrLLLRdmmiiKdtK Ci可简化为可简化为22()ccsamaamecddK K CJRfRC CdtdtisamrK K Ci二阶线性定常系统二阶线性定常系统/cLmmi位置随动系统的数学模型是一个二阶线性常系数微分方程位置随动系统的数学模型是一个二阶线性常系数微分方程 2008 HFUT自动控制理论24School of Electrical Engineering and Automationo 在实践工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非在实践工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，如以下图所示。线性，如以下图所示。 2

28、008 HFUT自动控制理论25School of Electrical Engineering and Automation于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处置确有必要。多困难，因此，对非线性问题做线性化处置确有必要。对弱非线性的线性化对弱非线性的线性化如上图如上图a，当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似，当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对为放大特性。对b和和c，当死区或间隙很小时相对，当死区或间隙很小时相对于输入信号同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中于输入信号

29、同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。虚线所示。平衡位置附近的小偏向线性化平衡位置附近的小偏向线性化输入和输出关系具有如以下图所示的非线性特性。输入和输出关系具有如以下图所示的非线性特性。 2008 HFUT自动控制理论26School of Electrical Engineering and Automation在平衡点在平衡点Ax0，y0处，当系统遭到干扰，处，当系统遭到干扰，y只在只在A附近变化，那么可对附近变化，那么可对A处的输出处的输出输入输入关系函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，关系函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当当 很小时，可用很小时，可用A处的切线方程替代

30、曲线方处的切线方程替代曲线方程非线性，即小偏向线性化。程非线性，即小偏向线性化。x 2008 HFUT自动控制理论27School of Electrical Engineering and Automation可得可得 ，简记为，简记为 y=kx。假设非线性函数由两个自变量，如假设非线性函数由两个自变量，如zfx,y，那么在平衡点处可展成忽略高次项那么在平衡点处可展成忽略高次项 0|xdfyxk xdx0000(,)(,)|xyxyvffzxyxy 经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。但对于如图系，从而使问题大大简化

31、。但对于如图d所示为强所示为强非线性，只能采用第七章的非线性实际来分析。对于线非线性，只能采用第七章的非线性实际来分析。对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。性系统，可采用叠加原理来分析系统。 2008 HFUT自动控制理论28School of Electrical Engineering and Automation运用小偏向法的步骤：运用小偏向法的步骤：1 1将非线性元件线性化将非线性元件线性化 设非线性元件的输入输出特性可用非线性函数表示，且设非线性元件的输入输出特性可用非线性函数表示，且可以在平衡点的邻域内展开成泰勒级数，忽略展开式中的可以在平衡点的邻域内展开成泰勒级数，忽略展开式

32、中的高次项，那么元件的输入输出特性可近似写成线性化增量高次项，那么元件的输入输出特性可近似写成线性化增量方程。方程。2 2将非线性微分方程增量化将非线性微分方程增量化 由于非线性元件的线性化描画是一个增量方程，为方便由于非线性元件的线性化描画是一个增量方程，为方便起见，需求将系统中的变量转换成增量方式，使描画系统起见，需求将系统中的变量转换成增量方式，使描画系统的微分方程增量化。详细做法为：将微分方程中的各个变的微分方程增量化。详细做法为：将微分方程中的各个变量用平衡点处的值和增量值之和的方式表示，并且思索平量用平衡点处的值和增量值之和的方式表示，并且思索平衡点处各变量之间的关系，就可以得到增

33、量化的非线性微衡点处各变量之间的关系，就可以得到增量化的非线性微分方程。分方程。3 3将非线性微分方程线性化将非线性微分方程线性化 将非线性元件的线性增量方程与系统的非线性增量微分将非线性元件的线性增量方程与系统的非线性增量微分方程联立，求得描画系统的线性增量微分方程。方程联立，求得描画系统的线性增量微分方程。 2008 HFUT自动控制理论29School of Electrical Engineering and Automation小偏向法的运用条件：小偏向法的运用条件：1 1要求输入输出变量在平衡点附近作小范围变化，要求输入输出变量在平衡点附近作小范围变化，否那么忽略泰勒展开式的二次方

34、以上各项，会产生大否那么忽略泰勒展开式的二次方以上各项，会产生大的误差。的误差。2 2要求非线性特性曲线在平衡点处延续可导，对某要求非线性特性曲线在平衡点处延续可导，对某些非线性特性，平衡点处的导数不存在，不能运用小些非线性特性，平衡点处的导数不存在，不能运用小偏向法。偏向法。 2008 HFUT自动控制理论30School of Electrical Engineering and Automationu叠加原理叠加原理叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性或叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性或叫齐次性。叫齐次性。例：例： 设线性微分方程式为设线性微分方程式为2( )( )( )(

35、)d c tdc tc tr tdtdt假设 时，方程有解 ，而 时，方程有解 ，分别代入上式且将两式相加，那么显然有，当 时，必存在解为 ，即为可叠加性。1( )( )r tr t1( )c t2( )( )r tr t2( )c t1( )( )r tr t2( )r t12( )( )( )c tc tc t线性系统的根本特性线性系统的根本特性 2008 HFUT自动控制理论31School of Electrical Engineering and Automation 上述结果阐明，两个外作用同时加于系统产生的呼应等于各个外作用单独作用于系统产生的呼应之和，而且外作用加强假设干倍，系

36、统呼应也加强假设干倍，这就是叠加原理。假设 时， 为实数，那么方程解为 ，这就是齐次性。1( )( )r tar t1( )( )c tac ta 2008 HFUT自动控制理论32School of Electrical Engineering and Automation单容水箱液位系统如下图。单容水箱液位系统如下图。 1q为水箱的流入量，为水箱的流入量， 2q为流出量，水箱液面高度为为流出量，水箱液面高度为 h，水箱的截面积为 S列写列写 h1q与与 之间的线性化微分方程。之间的线性化微分方程。 1qh2q解：解： 设流体是不可紧缩的，根据物质守恒定律，有设流体是不可紧缩的，根据物质守恒

37、定律，有 12qqdhdtS经过负载阀节流阀的液体是紊流，根据流膂力学经过负载阀节流阀的液体是紊流，根据流膂力学 2qa h是与负载阀的特性有关的系数，阀的开度一定时为常数。是与负载阀的特性有关的系数，阀的开度一定时为常数。 a1a非线性元件 2008 HFUT自动控制理论33School of Electrical Engineering and Automation11dhahqdtSS这是一个一阶非线性微分方程。这是一个一阶非线性微分方程。 液位系统在平衡点附近小范围内任务时，各变量可以表示为液位系统在平衡点附近小范围内任务时，各变量可以表示为 011012202 hhhqqqqqq00

38、22222200021)()()()2!h hh hdqd qq hq hhhhhdhdh（02220( )h hdqq hq hhdh（0202h hdqadhh2hR q ahR02称为水阻称为水阻 2a非线性微分方程1b非线性元件线性化增量方式 2008 HFUT自动控制理论34School of Electrical Engineering and Automation思索平衡点处思索平衡点处 00hhdtdh1020qq12qqd hdtS1d hRShR qdt 是系统的非线性微分方程的线性化结果，是平衡点附近的线性增量方程。是系统的非线性微分方程的线性化结果，是平衡点附近的线性增

39、量方程。 简记为简记为 1dhRShRqdt2b非线性微分方程增量化3 非线性微分方程 2008 HFUT自动控制理论35School of Electrical Engineering and Automation铁芯线圈及其非线性特性如图铁芯线圈及其非线性特性如图 ru为输入，为输入， i为输出为输出 列写微分方程并进展线性化。列写微分方程并进展线性化。解：解： RiuuLr( )( )Ldidi diudtdidt( )LdiuL idtruRidtid)(是一个非线性微分方程。是一个非线性微分方程。 非线性微分方程为线圈的自感应电势。为线圈的自感应电势。Lu为线圈的磁链为线圈的磁链/通

40、。通。( ) i 2008 HFUT自动控制理论36School of Electrical Engineering and Automation202200)(! 21)()(00iididiididiiiii忽略二次方以上的各项，得到忽略二次方以上的各项，得到 )(000iididiiididii0iL ruuiiRdtd000)()(rd iLR iudt 运用小偏向法进展线性化时，须留意满足它的运用条件：运用小偏向法进展线性化时，须留意满足它的运用条件：1要求输入输要求输入输出变量在平衡点附近作小范围变化，否那么忽略泰勒展开式的二次方以上各出变量在平衡点附近作小范围变化，否那么忽略泰勒

41、展开式的二次方以上各项，会产生大的误差。项，会产生大的误差。2要求非线性特性曲线在平衡点处延续可导，对要求非线性特性曲线在平衡点处延续可导，对某些非线性特性，平衡点处的导数不存在，不能运用小偏向法。某些非线性特性，平衡点处的导数不存在，不能运用小偏向法。 非线性元件线性化增量方式非线性微分方程增量化非线性元件rd iLR iud t非线性微分方程 2008 HFUT自动控制理论37School of Electrical Engineering and Automation线性常系数微分方程的求解可以采用拉氏变换法。求解过程如下：线性常系数微分方程的求解可以采用拉氏变换法。求解过程如下： 1对

42、微分方程进展拉氏变换，得到以对微分方程进展拉氏变换，得到以s为变量的代数为变量的代数方程，又称变换方程。方程，又称变换方程。2将输入量和初始条件代入变换方程进展求解，得到将输入量和初始条件代入变换方程进展求解，得到输出量的拉氏变换函数表达式。输出量的拉氏变换函数表达式。3将输出量的拉氏变换函数表达式化为部分分式。将输出量的拉氏变换函数表达式化为部分分式。4对部分分式进展拉氏反变换，得到输出量的时域表对部分分式进展拉氏反变换，得到输出量的时域表达式，即为微分方程的全解。达式，即为微分方程的全解。 2008 HFUT自动控制理论38School of Electrical Engineering

43、and Automation拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)变换变换 定义：定义：设函数设函数f(t)f(t)当当t 0t 0时时,f(t),f(t)有定义，有定义，且积分且积分 在在s s的某一域内收敛的某一域内收敛, ,那么称那么称F(s)F(s)为为f(t) f(t) 的拉氏变的拉氏变换，记作换，记作F(s)=Lf(t) , F(s)F(s)=Lf(t) , F(s)又称为象函数，又称为象函数， f(t)f(t)称为原函数。称为原函数。0)()(dtetfsFst (2-11)(s(s是一个复参量是一个复参量) ) 假设假设F(s)F(s)是是f(t) f(t) 的拉氏变换，称的拉氏变

44、换，称f(t)f(t)为为F(s)F(s)的拉的拉氏逆变换，记作氏逆变换，记作f(t) =L-1F(s). F(s)f(t) =L-1F(s). F(s)和和f(t)f(t)为为 一个一个拉氏变换对。拉氏变换对。 2008 HFUT自动控制理论39School of Electrical Engineering and Automation 拉氏变换表拉氏变换表表表2 21 1 拉氏变换表拉氏变换表f(t)F(s) (t)11(t)1 / st1 / 1 / s2s2tn-1/(n-1)!1 /sne-at1/(s+a1/(s+a) )sint /(s2+ 2)costs/(s2+2) 1ba

45、(e-ate-bt)1/(s+a)(s+b1/(s+a)(s+b) ) 2008 HFUT自动控制理论40School of Electrical Engineering and Automation 位移定理：位移定理：)()(sFetfLs)()(asFtfeLat 根本定理根本定理设设F(s)=Lf(t) , F1(s)=Lf1(t), F(s)=Lf(t) , F1(s)=Lf1(t), F2(s)=Lf2(t),F2(s)=Lf2(t),为常数为常数 线性定理：线性定理：)()()()(2121sFsFtftfL)()()()(21211sfsftFtFL 类似定理：类似定理：)()

46、(sFtfL为实常数为实常数 微分定理：微分定理：)0()()(fssFdttdfL)0()0()0()0()()()1()2(21 nnnnnnnfsffsfssFsdttfdL 2008 HFUT自动控制理论41School of Electrical Engineering and Automation当当f(t)及其各阶导数的初始值都为零时：及其各阶导数的初始值都为零时：)()(sFsdttfdLnn 积分定理：积分定理： sfssFdttfL)0()()(1式中：式中： 为在为在 处的值处的值dttff)()0(10tL LL L 2008 HFUT自动控制理论42School of

47、 Electrical Engineering and Automation 终值定理：终值定理：)(lim)(lim)(0sFstffst 拉氏反变换拉氏反变换定义：定义：)0,()(21)(tjsdsesFjtfjjst拉氏反演积分拉氏反演积分求拉氏逆变换的方法求拉氏逆变换的方法 在实践运用时，采用部分分式展开法，即将复杂函在实践运用时，采用部分分式展开法，即将复杂函数展开成简单函数的和数展开成简单函数的和当：当： 时时)()()()(21sFsFsFsFn 初值定理：初值定理： 2008 HFUT自动控制理论43School of Electrical Engineering and A

48、utomation)()()()()()()(21121111tftftfsFLsFLsFLsFLnn 其中：其中： 可查表。可查表。 )()(1sFLtfiini,2 ,1 普通地，象函数普通地，象函数F(s)F(s)是复变数是复变数s s的有理代数分式的有理代数分式 2008 HFUT自动控制理论44School of Electrical Engineering and Automation附例附例1解解(1) A(s)=0无重根时，可有无重根时，可有或或(2-12)根据拉氏变换的线性性质有根据拉氏变换的线性性质有(2-13) 2008 HFUT自动控制理论45School of Ele

49、ctrical Engineering and Automation那么那么有有根据式根据式(2-12)(2-12)根据式根据式(2-13),(2-13),得原函数得原函数 2008 HFUT自动控制理论46School of Electrical Engineering and Automation(2) A(s)=0(2) A(s)=0有重根有重根时时重根项的待定系数重根项的待定系数(2-14)(2-14) 2008 HFUT自动控制理论47School of Electrical Engineering and Automation故有原函数故有原函数(2-15)(2-15) 2008

50、HFUT自动控制理论48School of Electrical Engineering and Automation附例附例2 2根据式根据式(2-14)(2-14)根据式根据式(2-12)(2-12)根据式根据式(2-15)(2-15) 2008 HFUT自动控制理论49School of Electrical Engineering and Automation求得求得RLC无源网络的输入输出微分方程无源网络的输入输出微分方程 )()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo1HL 1FC 1R )( 1)(ttui(0)0.1Vou(0)0.1Ai)(tuo知知求输出电

51、压求输出电压对微分方程两边进展拉氏变换对微分方程两边进展拉氏变换 解：解： 21( )(0)(0) ( )(0)( )oooooos UssuusUsuUss(0)(0)0.1AoiCu(0)0.1Vous) 1(12 . 01 . 0)(22ssssssUo43)21(35. 043)21()21(9 . 0118 . 09 . 01)(222sssssssssUo0 50.5323( )1 0.9cos0.35sin223ttou tetet . 2008 HFUT自动控制理论50School of Electrical Engineering and Automation2.2.32.2

52、.3续用拉氏变换求解线性常系数微分方程续用拉氏变换求解线性常系数微分方程 例例2-10 在例在例2-1中，假设知中，假设知L1H，CIF，Rl，且电容上初，且电容上初始电压始电压uo(0)=0.1V，初始电流，初始电流i(0)=0.1A，电源电压，电源电压ui(t)= 1V。试求。试求输出电压输出电压uo(t)。ui(t)uo(t)CRLi(t)解解 在例在例2-12-1中得网络微分方程为中得网络微分方程为 2008 HFUT自动控制理论51School of Electrical Engineering and AutomationssUussUususUsoooooo1)() 0 ()()

53、 0 () 0 ()(2(0)(0)0.1AoiCu(0)0.1Vous)1(12 .01 .0)(22ssssssUo43)21(35. 043)21()21( 9 . 0118 . 09 . 01)(222sssssssssUo050.5323( ) 1 0.9cos0.35sin223ttou tetet . 2008 HFUT自动控制理论52School of Electrical Engineering and Automation 用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程可归结如下：程可归结如下：思索初始条件，对微分方程中的每一项分别进展思索初始条

54、件，对微分方程中的每一项分别进展拉氏变换，将微分方程转换为变量拉氏变换，将微分方程转换为变量s s的代数方程；的代数方程；由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。时域表达式，即为所求微分方程的解。 2008 HFUT自动控制理论53School of Electrical Engineering and Automationu2.3.1传送函数的概念与定义传送函数的概念与定义u 线性定常系统在输入、输出初始条线性定常系统在输入、输出初

55、始条件均为零的条件下，输出的拉氏变换件均为零的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传送函数。的传送函数。 2008 HFUT自动控制理论54School of Electrical Engineering and Automation这里，这里，“初始条件为零有两方面含义：初始条件为零有两方面含义：0u一指输入作用是一指输入作用是t0后才加于系统的，因此输入量后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数及其各阶导数 ， 在在t = 时的值为零。时的值为零。0u二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，即即t=

56、时时 ，系统的输出量及各阶导数为零。，系统的输出量及各阶导数为零。许多情况下传送函数是能完全反映系统的动许多情况下传送函数是能完全反映系统的动态性能的态性能的 。 2008 HFUT自动控制理论55School of Electrical Engineering and AutomationG(s)Ur(s)Uc(s)s(U)s(U)s(Grc 2008 HFUT自动控制理论56School of Electrical Engineering and Automation4传送函数是关于复变量传送函数是关于复变量s的有理真分式，它的的有理真分式，它的分子，分母的阶次是：。分子，分母的阶次是：。

57、nm1传送函数仅适用于线性定常系统，否那么无法用传送函数仅适用于线性定常系统，否那么无法用拉氏变换导出；拉氏变换导出；2传送函数完全取决于系统内部的构造、参数，而传送函数完全取决于系统内部的构造、参数，而与输入、输出无关；与输入、输出无关；3传送函数只阐明一个特定的输入、输出关系，对传送函数只阐明一个特定的输入、输出关系，对于多输入、多输出系统来说没有一致的传送函数；于多输入、多输出系统来说没有一致的传送函数；可定义传送函数矩阵，见第九章可定义传送函数矩阵，见第九章 2008 HFUT自动控制理论57School of Electrical Engineering and Automation

58、6传送函数的拉氏反变换为该系统的脉冲呼应函传送函数的拉氏反变换为该系统的脉冲呼应函数，由于数，由于( )( )( )G sC sR s当当 时，时， ，所以，所以， ( )( )r tt( )1R s 111( )( )( ) ( )( )c tLC sLG s R sLG s5 一定的传送函数有一定的零、极点分布图与一定的传送函数有一定的零、极点分布图与之对应。这将在第四章根轨迹中详述。之对应。这将在第四章根轨迹中详述。传送函数是在零初始条件下建立的，因此，它传送函数是在零初始条件下建立的，因此，它只是系统的零形状模型，有一定的局限性，但它有只是系统的零形状模型，有一定的局限性，但它有现实意

59、义，而且容易实现。现实意义，而且容易实现。 2008 HFUT自动控制理论58School of Electrical Engineering and Automationq 例例1.q 如下图的如下图的RLC无源无源网络，图中电感为网络，图中电感为L亨利，电阻为亨利，电阻为R欧姆，电容为欧姆，电容为C法，试求输入电法，试求输入电压压ui(t)与输出电压与输出电压uo(t)之间的传送函数。之间的传送函数。uiRCucLi 2008 HFUT自动控制理论59School of Electrical Engineering and Automation解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络解

60、：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络作为校正元件。无源网络通常由电阻、电容、电感作为校正元件。无源网络通常由电阻、电容、电感组成，利用电路实际可方便地求出其动态方程，对组成，利用电路实际可方便地求出其动态方程，对其进展拉氏变换即可求出传送函数。这里用直接求其进展拉氏变换即可求出传送函数。这里用直接求的方法。由于电阻、电容、电感的复阻抗分别为的方法。由于电阻、电容、电感的复阻抗分别为R、1Cs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。，它们的串并联运算关系类同电阻。那么传送函数为那么传送函数为2( )1/1( )1/1oiUssCU sLsRsCLCsRCs( )1/( )iU sLsRsCI