放射性物质扩散模型

1、放射性气体扩散的预测摘要此次背景是H本福岛发生的核泄漏事件，主要要求我们对H本孩汛漏发生后 做出预测。事件背景较为复杂，需要考虑到风向，天气，地理环境，泄漏源高度， 气压等很多条件。第一问，是在无风状态的条件下，以时间和地点为自变最，我们首先想到了 传统烟雾扩散模型,但是这个模型有很大理想化，在此基础上我们乂进行了修正， 引进了表示地面反射效率的2放，还有热力抬升的影响因子，进而得到了在无风 状态下使用的传统烟雾模型。第二问，要探究风速对放射性浓度的影响。我们建立了高斯烟羽扩散模型， 烟羽模型以半流-扩散微分方程为依据在风速以及湍流扩散系数为定值的条件下, 平漩-扩散微分方程的解为标准正态分布

2、。因为实际情况复杂，为了更好地模拟 现实，我们针对“云中洗脱”，“放射性物质衰变”等具体情况，通过构建“耗减 因子”、“衰变因子”等方法将耗减和衰变的放射性物质“投影”到泄漏源浓度 中，对模型进行了优化。为了求高斯烟羽模型的扩散参数，我们运用了帕斯奎尔 扩散曲线法。第三问，有了上下风区别。我们发现前而两个模型公式在这个问题上不大适 用，如果对其进行修改，乂会增加误差。我们运用了 ISC3大气污染物扩散孩心 模型，此模型为一种高斯扇面半均模型。虽然该模型参数众多，计算复杂，但是 可以广泛运用。运算中盂要考虑风速和放射性物质扩散的欠量运算。在对上风口 分析时，要分类讨论风速和自然扩散速度之间的大小

3、关系，当风速大于自然扩散 速度时，放射性物质是无法到达上风口的。第四问，要求出的是具体影响。我们先查找了大量地形，天气，新闻等资料。 要求对我国东海岸和美国西海岸影响时，先通过谷歌地图，测算福岛到这两个地 区直线的距离，并且结合季风变化进行分析。经过分析，我们得出此次口本核泄 漏的总体影响不人。在H本由于是偏南风，所以FI本的中部，东京附近有较人影 响。至于中国和美国，由于距离太远，而且经过云中洗脱，放射性物质基本到达不了。关键词：传统烟雾模型髙斯烟羽模型ISC3大气污染物扩散核心模型高斯修正模型20U年3月11 H, FI本近海发生9。0级地震并引发了大海啸，沿海的核电 站受到破坏，开始释放

4、出大量具有放射性的物质。4月12 口，口本将福岛第一 核电站的核泄漏等级由原來的5级提高到与切尔诺贝利核电站同样的等级7级, 屈于最高级。日本核污染扩散问题引起了国际社会的广泛关注。设有一座核电站遇自然灾害发生泄漏，浓度为P。的放射性气体以匀速排出, 速度为m kg/s,在无风的情况下，匀速在大气中向四周扩散，速度为s m/So诸你建立一个描述核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预 测模型。当风速为k m/s时，给出核电站周边放射性物质浓度的变化情况。当风速为k m/s时，分别给出上风和下风L公里处，放射性物质浓度的预测 模型。将你建立的模型应用于福岛核电站的泄漏，计算出福岛核电站

5、的泄漏对FI本 本土、我国东海岸、及美国西海岸的影响。计算所用数据可以在网上搜索或根据具体惰况门己模拟。二、问题分析由于问题一只要求在无风条件下，放射性污染物以s m/s的扩散速度向四周 环境扩散。讨论得出这是一个无界条件下点源连纽泄漏的问题。首先我们建立三 维直角坐标，方便我们对模型的建立。通过查找文献分析，选用传统烟雾扩散模型。 但考虑到仅使用传统烟雾扩散模型带来的误差不少，因此，我们结合地而反射和 热力抬升对污染物扩散问题分析，对传统烟雾扩散模型进行修正。（关于烟气抬升 的计算选用中国国标公式）。对于问题二，由于条件中加入了在风速为km/s的条件，传统烟雾扩散模型己 经不再适用，通过询问

6、地信专业的同学，我们得知统计大气污染扩散浓度常用的 高斯烟羽模型，除了在问题一考虑的地面反射和热力抬升对污染物扩散问题，同 时还考虑放射性衰变和云中洗脱对大气浓度的影响进行修正，使得模型更加切合 实际。为了更加方便求解，我们对高斯烟羽模型进行简化。另外求解高斯烟羽模型必须 对扩散参数进行确定，本文使用扩散曲线（简称P-G曲线）來求得扩散参数对于问题三，要求对上风口和下风口的求出污染物的浓度，若继续使用高斯 烟羽模型即可求解，但是由于高斯不足之处在于其条件过于苛刻，不利于实现中 推广应用。通过查询分析另外一种新模型，选用ISC3大气污染物扩散模型。ISC3 大气污染物扩散模型是美国环保署（EPA

7、）专门为计算大气污染扩散浓度提出的一 种算法模型。能够得出较接近实际的结果。对于问题四，我们要考虑的是一个整体的环境，为了更准确的预估核辐射的 扩散，我们应参考大量气象、地理、新闻资料，选择全球作为研究对象，综合考 虑对应海域平均风速及风向、地理距离、海水对放射性物质扩散的部分反射系数 等因素，预测出放射性核物质与实际情况比较。三、符号说明C表示污染物浓度x,y,z表示在以放射源为原点的直角坐标 系对应坐标H表示放射源实际高度H表示混合层高度AH表示抬升高度Q表示源强，即放射源排放总量K表示扩散速度（问题一中）T表示时间Ta表示环境温度Ts表示放射源温度Pa表示大气压力，hPa,取临近气象 站

8、年平均值Qv表示实际排烟量，m3/s：QH表示烟气的然释放率，kw；表示想,x,y,z轴的扩散参数a表示地面反射系数花5表示放射性核素的半衰期（S）（P表示冲洗系数K表示单位比例系数Q表示第i风速等级，第k稳定度的 源强F表示第i风速等级，第j风向，第k 稳定度级别的联合频率A&表示扇而宽度表示接受点到点源径向距离，（等于RJx'+yf )S表示平滑函数U表示第i风速等级，第k稳定度的 平均风速碍表示垂直扩散参数V表示第i风速等级，第k稳定度的垂直项D表示第i风速等级，第k稳定度的衰减项、模型假设（1）污染物的浓度在y、z轴上的分布是高斯分布（正态分布）的：（2）污染源的源强是

9、连续且均匀的，初始时刻云团内部的浓度、温度呈均匀分布：（3）扩散过程中不考虑云团内部温度的变化，忽略热传递、热对流及热辐射；（4）泄漏气体是理想气体，遵守理想气体状态方程：（5）在水平方向，大气扩散系数呈各向同性；（6）取x轴为平均风速方向，整个扩散过程中风速的大小、方向保持不变，不随 地点、时间变化而变化；（7）地面对泄漏气体起全反射作用，不发生吸收或吸附作用：（8）初始时刻放射性气体云团的内部、温度呈均匀分布：（9）扩散过程中不考虑云团内部温度的变化，忽略热传递、热对流及热辐射。（10）泄漏气体是理想气体，遵守理想气体状态方程。（11）整个扩散过程中风速的大小、方向保持不变。（12）地面对

10、放射性气体不完全反射。（13）放射性气体的传播服从扩散定律，即单位时间通过单位法向面积的流量与 它的浓度梯度成正比。五、模型建立与求解第一个问题: 以核泄漏点正下方的地面为坐标原点，半均风向为X轴、指向下风方向，垂 直地而方向为Z轴，水平垂直于风向轴（X轴）为丫向，建立空间坐标系，则 核电站泄漏点距地而的高度为h,则泄漏点位置坐标为0 （0, 0, h）o风劇传统烟雾模型坐标系示意图经査阅文献得以下公式：C=（Q/（4kt产）占（P+y2+，）/（4kt）符号定义：1、C表示放射性物质浓度2、Q表示放射源总量3、k表示扩散系数从该公式就可得出很多信息，该放射性浓度的等值面是Cx2 + y2+N

11、2）的球 面，这与放射源散发的状况是一致的，为球型散射。同时，当位置和时间趋于 无穷大时，浓度就趋近于0,经过初步验算，该模型是合理的。但是在后而实际运用中，我们发现了问题，该模型适用于在一个无界环境，而 且各种假设太基于理想化。因为实际中，我们知道气体有个热力效应，而且地 球的表面会对气体进行反射，这对放射性气体的浓度都会造成很大的影响。还 有雨水的冲刷，高山大楼的阻挡，都是潜在的影响因素。为了尽可能与现实贴 近，我们又对传统烟雾模型进行补充。1、烟气抬升高度的计算有效源髙H的计算：有效源高H:指是指烟云距地而的实际高度，它等于核电站泄漏源Hs与烟流抬 升高度ZH之和。即：H = Hs-fO

12、H上式只需知道aH即可求全式，而aH主要受泄漏源释放率Qh Jilt漏源温度E, 以及环境人气压力P3和排烟量Q等因索影响。由于影响烟气抬升的因索多而复杂，所 以至今还没有一个通用的计算公式，主要有霍兰德公式，布里格斯公式，以及中国国标推荐 公式，这里我们选用的是中国国标公式(1) 当 QH>2100kw 和 TsTan35K 时 H =iioQ2H?Qh=0.35PaQv式中：nO、n仁n2一一系数，按表1-1,1-2选取Pa一一大气压力，hPa,収临近气象站年平均值;Qv实际排烟量，m3/s；QH一一烟气的然释放率，kw：Ts一烟囱出口处的烟气温度，KoQjj/kw地表状况（平原）n

13、o*n2Qh>=21000农村或城市远郊区1. 4271/32/3城区及近郊区1. 3031/32/3“2100<=<21000 且T -T >=35k s a农村或城市远郊区0. 3323/52/5城区及近郊区0. 2923/52/5表" H TH】+ (CH2 -QHJ(2) 当 1700kw<0H<2100kw 时Qh/ kw地表状况（平原）nonl°2Q 口 >=21000农村或城市远郊区1.4271/32/3n城区及近郊区1. 3031/32/32100<=Qh<21000农村或城市远郊区0.3323/52/5

14、且T -T >=35ks a城区及近郊区0.2923/52/5Qh 1700400表仁22、地面反射造成影响的计算地球是一个球体，周围乂有厚重的大气层保护着，可以把地球想象成一个巨大的镜子，当放射性物质降落地面的时候，该镜面就会对物质进行反射。同时， 放射性物质部分会被地面吸收或者沉降，不会全部反射，为了拟合，我们设立地面反射的有效系数为° O这样进入大气的核辐射物质可以看成是两个部分:一是从泄漏源。直接飘散而來；二是从地面反射进入空间。不管是飘散而來，还是rtr于反射进入空间，都是对浓度一个盜加，我们先分成 两部进行求解，然后再合加。由之前可知，我们确定的放射源0 （0, o

15、, H）o 所要求的是点（X, y, z）所在的浓度。经过查阅资料：实际泄漏源对A点的影响部分为:张52而总阿呵（一5 ®y2）呵（-耳学4CT2t在考虑反射系数Q后，虚泄漏源°对A点的影响部分为:.yz X-y- x Z (Z+H)-、C.(x.y,z4) = a亍严exp(- _ ) exp(-)-(4M)(axcryaz)1- 4axt 4cryt4crzt结合以上式子式，当需要用到该修改模型时，所得模型可以修正为:（4柑咗叨严呵（-盍-詡呵-譽+xp-譽第二个问题：针对在有风矗k m/s的情况下,我们选择高斯烟羽扩散模型（简称烟羽模型）。烟 羽模型是国际原子能机构（

16、IAEA）推荐使用丁重气云扩散的模拟的数学模型。烟羽模型以平流扩散微分方程为依据在风速以及湍流扩散系数为定值的条件 下，平流扩散微分方程的解为标准正态分布。所以通常将烟羽模型用來描述大 气突发性污染事故中污染物质量浓度的分布，其表达式为：CW丽咛式中:t时间,SQ源風污染释放a,mg/su,v,w-风速的矢最V严-水平和垂"向的扩散参数h-事故点高度,mH抬升层的高度,m虽然烟羽模型能够较好地解决在有风状态下浓度的求解，但计算比复杂,我们决 定对烟羽模型进行简化和优化。由于只要风速km/s条件下，把v,w星归零处理，以X轴为风向轴。如下图我们运用的高斯烟羽模型分为两部分。第一部分无界

17、空间连续点源扩散的髙斯模型公式:exp(+2)exp(占色卑)2弓2兀W 2.2像澹法原幵示意图然而在实际中，由丁地而的存在，烟羽的扩散是有界的。根据假设可以把地而 看做一镜而，对泄漏气体起全反射作用，并采用像源法处理，原理如图2« 2 所示。可以把任一点p处的浓度看做两部分的贡献Z和：一部分是不存在地面 时所造成的泄漏物浓度；一部分是由于地面反射作用增加的泄漏物浓度。该处的泄漏物浓度即相当于不存在地面时由位于(0,0,H)的实源和位于(0,0,-H) 的像源在P点处所造成的泄漏物浓度之和。第二部分地面反射作用的高斯烟羽模型公式：兀(x,y,z,H) = exp(-1厶)exp(-1

18、心+孕)2kayaz 2 <7；2 a；由以上我们可得总式是：X(x.y,z,H)= X(x,y,乙H)+ X2(x, y,乙H)二exp(一 卑)x2kcryaz 2 无r ( 1 (z-H)l(z+H)订exp(-s) + exp(-)2 q2 cr符号定义：X (x,y,z)为下风向x米、横向y米、地而上方z米处的扩散的气体浓度，单 位为kg/m；Q为源强(即源释放速率)，单位为kg/s：k为平均风速，单位为m/s;5为水平扩散参数，单位为6为垂直扩散参数，单位为m；H为泄漏源有效髙度，单位为m；y为横向距离，单位为m；n为垂直方向距离，单位为m。题目所要求的是地而的放射性浓度，为

19、了方便计算，我们収值n=0,即得到以 下求解公式：x =1.扩散参数的确定使用高斯烟羽模型,其中要确定扩散参数5和q这里我们使用帕斯奎尔扩 散曲线法來解决扩散参数的求解。(I)气压稳定度是影响污染物在大气中扩散的极貳要因素。当大气层结不稳定，热力湍流 发展旺盛，对流强烈，污染物易扩散，但是全层不稳定时，污染不易扩散远处。当人气层 结稳定时，湍流受到抑制，污染物不易扩散稀释。根堀常现气象资料确定人气稳定度级别，帕斯奎尔划分稳定度级别的标准如表2-1所示。 対该标准的儿点说明如下六点表2/ 不稳定稳定表22稳定度级别划分表表22it面风速距白天太阳辐射阴天的白天或夜有云的夜间坦面1伽处强中间薄云或

20、低云5 10云 1<4/10<2AA-BBD2-3A-BBCDEF3*5BB-CCDDE5*6CC-DDDDD| 6CDDDDD其中A-F是大气稳定度的等级,A表示极不稳定,F表示极稳定(2)利用扩散曲线确定b】和图44利图4一5便是帕斯奎尔和吉福徳给出的不同稳定度时和随下风距离x 变化的经验曲线，简称P-G曲线图。在按表4一3确定了某地某时属于何种 稳定度级别后，便可用这两张图变出相应的和值。此外，英国伦敦气象局还给 出了表4 一 4内插法可求出20km距离内的和值。11I10(E)0卷編悝>100I11下风距离Xkm 10下风距离和水平扩散参数的关系 图44100#100

21、下风距离和铅直扩散参数的关系10km图45(3) 浓度计算当确定了和值之后，扩散方程中其它参数也相应确定下来，利用前述的一系列 扩散模式，就可估算出各种情况下的浓度值。2、放射性物质衰变对浓度的影响衰变指放射性元素放射出粒子而转变为另一种元素的过程。在这次口本核液漏邪故中，很多放射性物质被泄露出来。经査找相关资料，主要物质为铀 (Uranium),佑239,杯238,杯240,碘-131,前面四种物质，衰变周期至少为88年, 久的达到上万乃至上亿年，完全町以忽略衰变对其浓度的影响。碘的衰变周期为8o 3年， 所以我们只考虑放射性碘的衰变影响。放射性物质服从简单的衰变规律，其浓度随时间的变化可由

22、下式计算：(1) 7(护(2) *代两个公式中：T为衰变周期；%为初始浓度；久衰变常数；t经过的时间：%可由无衰变的浓度公式计算 在这里，我们提出了一个衰变耗减因子，对放射源Q进行修正。1 经过理论推导，可以得出：Q = Qo(2)I实际计算中，若需要此修正模型，只需把改式子代入(1)式3、云中洗脱对大气浓度的影响指雨滴将云中的小颗粒物去除的作用。在云形成过程中，云滴首先与艾肯孩颗粒凝结，再长大而成为雨滴，降落地面， 从而使颗粒物在大气中去除。微最气体的云中洗脱収决于气体分子向液滴运动 扩散的传质过程和化学反应过程。放射性物质屈于重性气体，当放射性物质经 过雨水冲刷时，自然会发生云中洗脱，减少

23、的浓度不可忽视。通常以冲洗系数&描述降雨对烟羽中污染物清洗作用的大小。与雨强关系可以表达为： 式中，I为雨强(mm/ h) : p为经验系数。实际中，泄露气体含有很多碘，按释放物质为倉碘进行取值。经查阅相关资料得：对倉碘物质，取p = 8xl0"5,q=0.6.对于湿沉积导致的烟羽耗减，可采用湿沉积耗减因子对源强进行修正，有Q(x) = Qexp(-容)k如果需要用到此修正模型，即把此式代入(1)式中。第三个问题：第三问中，所要求的自变量为“上风L公里”和“下风L公里”，前面的传统烟羽模型和高斯烟羽修正模型并不适用，我们曾经考虑就只对这两个模型进行修 改，但是经过简单模拟，发

24、现误差有点大。所以就寻找到一个新的模型ISC3 大气污染物扩散核心模型，目前该模型在区域大气环境综合评价中综合运用。 使用该模型可以得到与真实环境较为相近的值。此模型为一种高斯扇面平均模型。气象参数重点风速，风向和稳定度三者称为 联合频率,模型输入的联合频率，成为star(Stability array summary),包括月，令 或年的频率分布。长期模型可以计算单个的star数据下的浓度值，以及包含所有有效数据的时间周期内的值。点源排放长期模型中，在一个连续源周围的区域被分为等弧度的扇面，每个扇而都有 相应的风向，风速和稳定度的李和年的频率分布。污染源排出的污染物根据风吹 向扇面的频率进行

25、分配。每个源计算得出的浓度场都置于同一个坐标系中，并将 结果相和，得到的的总的浓度。该模型公式为：式中：Ku为第i风速等级，第k稳定度的平均风速为单位比例系数Q为第i风速等级，第k稳定度的源强f为第i风速等级，第j风向，第k稳定度级别的联介频率8为扇面宽度R为接受点到点源径向距离，（等于Jx'+y'+z，）S为平滑函数q为垂宜扩散参数V为第ilxl速等级，第k稳定度的垂直项D为第i风速等级，第k稳定度的衰减项以下为该公式的具体解释：1. 1风速u为烟流排放口处的风速，1：为参考高度处的风速，h为反应堆的实高度：p为风廊线指数1.2烟气抬升公式浮力通量参数Fb(m4 / s3):

26、 Fb = gvd2()AT = I；-T为烟流出口温度(k)； 1；为环境空气温度(k)：动量通量参数Fm : Fm = Bd"丄I)4T1. 2.1大气处丁不稳定状态或中性状态临界温差(T)°=0. 02971；吒55（AT）C= 0.00575T5J17如果(AT)。大于或等于(&以那么在烟流抬升中，认为浮力抬升占主导地位，否 则动最占主导地位。浮力抬升时的有效源高：0 =h' + 38 71T$一 R '55uF3/41 = 11 +21.425- 耳 V55;动屋抬升时的有效源高：h° = h' + 3dYU1.2.2大气

27、处于稳定状态稳定度参数s=g竺竺缺省情况下，稳定度为E时，阳/业为0.02k/m，稳定度为F时，O&/血为0.035k/m。 临界温差(AT)O = 0.01958,如果大于或等于(!%那么在烟流抬升中，认 为浮力抬升占主导地位，否则动最占主导地位。浮力抬升时的有效源高：+ 生严动量抬升时的有效源高:li. = h +1.51/31. 2.3下风向距离小于最终抬升距离时，当源和受点之间的下风向距离X小于最终抬升 距离时，烟流抬升高度要作相应变化。F 1/3浮力抬升时的有效源高：ho = 11+1.60() u动量抬升时的有效源高：非稳定状态下：1 = 11+ (誓卑严稳定状态下:5+阻

28、号斜1.3大气扩散参数。城市大气扩散参数选用Briggs扩散1. 4垂直项。垂直项表示高斯烟流的垂直分布情况，它包含了源高程，受点高程， 烟流抬升，垂直有限混合层及颗粒物的重力沉降和干沉积等多方面的影响。垂直 项的计算除了需要烟流高度，受点高度和混A层高度外，还需要垂直扩散参数辺。气体和小颗粒物垂直项 v=毎冬大颗粒物的重力沉降可以假定导致一种倾斜烟流，公式中的烟流有效高度虬换 成：Ko U h0 一亠=入一兰VUlk. = (x/u)v为由于重力沉降对原烟流高度的修正。包含干沉积作用的新的垂直项：X(x,z,h)=V(x,z,h)F(x)P(x,z)V (x, z, ho)为没有任何沉积时的

29、垂直项。玖(x)为在下风向距离x处，仍留在烟 柳中物质的质量分数。仍留在烟柳中物质的质量分数。P (x, Z)为垂直剖面修 正系数，可以模拟干沉积对近地而颗粒物浓度的影响。1.5衰减项：衰减项为物理或化学过程导致的污染物的减少：D = exp(-p)p > 0 或 D=1 旷 0u0为衰减系数(不考虑衰减时为零)，X为下风向距离。如果污染物半衰期为T,旷专，©在模型计算中的缺省值为零。1.6平滑函数半滑函数S （0）解决相邻扇面交界处浓度不连续的问题。每个扇面中心线出的 浓度不受相邻扇面的影响，在中线线以外点的浓度为中心线浓度和相邻扇面中心 线浓度的加权函数。平滑函数：q为正北

30、方向到第j个风向扇面中心线的夹角（弧度）；&为正北方到接收点的 夹角（弧度）；&为扇面宽度（弧度）。第四个问题:从地图上可以看出，我国的东海岸与丨I本直线距离最近的为山东半岛，在福O O 秋田岛正西方向。经过谷歌地图测距，得知山东半岛与福岛的直线距离为1578公里。祸禺未来三天天气浪报0期天化状况风白风速CP）50 08叶一6日0&討阴转多云W3圾1996日08时T日0则多云僞宿风L4扱16870 08叶T日2时多云侯南凤4级22H通过网上查找资料又得知在核泄漏事件发生后，主要吹的是南风，而且在春 季，亚洲东岸主要吹的是西北风，这与我们找到的具体气象资料是吻合的。所以

31、我们推出在核泄漏事故发生后，所吹的都是偏东南风向的风。经过査阅当时H本 的天气资料，知道I本大部分地区正处于下雨，有利于放射性物质的沉降，影响 范禺大大降低。定性判断，核辐射影响最大的将是福岛以南地区，如东京等大城市。这也与 在日本东京发现的放射性物质较多的事实相符合。至于我国丨丨本的山东半岛和美国的西海岸，由于距离遥远，丨|本与美国西海 岸更是相距八千公里，影响都是极小的。经过计算，放射性物质约9天后抵达我 国东海岸，浓度值为：0. 0500n)Bq.m-黄桂平，ISC3大气污染物扩散模型核心算法，编号448000 程勇，于林，采用高斯模型分析输气管道泄漏后气体的扩散，编号610500 余光仪,曹在文，放射核素扩散的数学模型和算法一大气核扩散计算机模拟 姚丽评，王远飞,基于MPI的大气污染扩散模型的皋行计算研究，编号200062 王兵团编，数学建模基础，清华大学出版o在13天后抵达美国西海岸，'1浓度值为：0. 0020mBq nr3o皋本接近大自然水平，不会造成有害影响。、模型评价优点：传统烟雾模型计算简单，拟合度高，使用范围广，再引入儿个修正因子后，模拟 程度更高。高斯烟羽模型国际原子能机构(IAEA)推荐使用丁重气云扩散的模拟的 数学模型，在该问题的解决上具有很大的权威性，式子的复杂度也相对适中，虽 然后面乂增加了因子进行修正，增加复杂度，