中小学概率统计教学研究

1、中小学概率统计教学研究概率统计在人教版新课程中所占课时数与百分比小学小学初中初中高中高中必必修修选选修修1 1选选修修2 2课时数课时数38384949242414142222总课时总课时数数7217213543541801807272108108课时百课时百分比分比5 51414131319192020华东师大初中华东师大初中62/414=15%8年级教过数据表示、数据分析和概率的学生百分比1999用统计图表表示用统计图表表示和解释数据和解释数据算术平均数算术平均数简单的概率简单的概率理解和计算理解和计算国家和地区国家和地区美国美国比利时比利时加拿大加拿大中国台湾中国台湾捷克捷克969686

2、86919111114949939393938181121288887979242472724 47 7英国英国中国香港中国香港意大利意大利日本日本韩国韩国99996565848443439595939330306262383878789090101049493 39999荷兰荷兰新加坡新加坡878797977777888846461717国际平均国际平均757570704343测试题：用统计表表达下列信息测试题：用统计表表达下列信息2002年部分地区录像制品出版情况如下：年部分地区录像制品出版情况如下：北京：北京： VCD种数为种数为361种，数量为万盒；种，数量为万盒；DVD种数为种数为3

3、2种，数种，数量为万盒。上海：量为万盒。上海： VCD种数为种数为622种，数量为万盒；种，数量为万盒；DVD种数种数为为33种，数量为万盒。广东：种，数量为万盒。广东： VCD种数为种数为1565种，数量为万盒；种，数量为万盒；DVD种数为种数为159种，数量为万盒。种，数量为万盒。总体总体6677年级年级8年级年级10年级年级11年级年级普通普通107重点重点55普通普通102重点重点100普通普通78重点重点116普通普通54重点重点55119（17.8）7（6.5）8（14.5）13（12.7）14（14.0）11（14.1）32（27.6）12（22.2）22（40.0）学生均未专门

4、学过统计表的知识学生均未专门学过统计表的知识2002年部分地区录像制品出版情况统计表年部分地区录像制品出版情况统计表 录像制品录像制品城市城市VCDDVD种数种数盒数盒数种数种数盒数盒数北京北京3611476万万3254.4万万上海上海622318.3万万3320.8万万广东广东15653244.7万万159312.4万万图表的标题；分类并给栏目起名；选择合适的统计图表图表的标题；分类并给栏目起名；选择合适的统计图表利用概率知识帮助判案利用概率知识帮助判案在瑞典的一次庭审中，管理泊车的警察作证说他记在瑞典的一次庭审中，管理泊车的警察作证说他记录了一辆车某一边的两个轮胎气阀的位置。后来等录了一辆

5、车某一边的两个轮胎气阀的位置。后来等他重新回到该处时，气阀还在原来的位置。（这个他重新回到该处时，气阀还在原来的位置。（这个警察的做法是把气阀的位置记成最接近的警察的做法是把气阀的位置记成最接近的“钟点钟点”位置。例如在下图中，气阀是在位置。例如在下图中，气阀是在“10:00”和和“3:00”。）在这种情况下他开了一张超时泊车的罚。）在这种情况下他开了一张超时泊车的罚单。但是车主却声称他已经在其间用过车子，只不单。但是车主却声称他已经在其间用过车子，只不过停回到了原来的泊车位。过停回到了原来的泊车位。驾车人被判无罪 2004河南省中考题河南省中考题在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续在

6、某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，如下图所示是其中的甲、乙台阶路的示意的台阶，如下图所示是其中的甲、乙台阶路的示意图。请你用所学过的统计知识图。请你用所学过的统计知识(平均数、中位数、方平均数、中位数、方差、标准差等差、标准差等)回答下列问题：回答下列问题：(1) 两段台阶路有哪些相同点和不同点两段台阶路有哪些相同点和不同点?(2) 哪段台阶路走起来更舒服哪段台阶路走起来更舒服?为什么为什么?(3)为方便游客行走，需要重新整修上山的小路，对为方便游客行走，需要重新整修上山的小路，对于这两段台阶路台阶数不变的情况下，请你提出合于这两段台阶路台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建

7、议。理的整修建议。三个问题三个问题（1）求）求20，21，21，22，22，22，22，23，23.这组这组数据的平均数、中位数和众数；数据的平均数、中位数和众数；（2）9位学生的鞋号由小到大是：位学生的鞋号由小到大是： 20，21，21，22，22，22，22，23，23.这组数据的平均数、中位数和这组数据的平均数、中位数和众数中哪个指标是鞋厂最不感兴趣的？哪个指标是鞋众数中哪个指标是鞋厂最不感兴趣的？哪个指标是鞋厂最感兴趣的？厂最感兴趣的？（3）某鞋厂在你们全年级中随机抽取）某鞋厂在你们全年级中随机抽取2个班级，调查个班级，调查并记录每个学生的鞋号，你认为这组数据的平均数、并记录每个学生的

8、鞋号，你认为这组数据的平均数、中位数和众数中哪个指标是鞋厂最不感兴趣的？哪个中位数和众数中哪个指标是鞋厂最不感兴趣的？哪个指标是鞋厂最感兴趣的？鞋厂据此调查数据组织生产指标是鞋厂最感兴趣的？鞋厂据此调查数据组织生产一定与现在你们全年级学生所需各种尺码鞋子的数量一定与现在你们全年级学生所需各种尺码鞋子的数量一致吗？一致吗？全国标准、上海市标准、美国标准全国标准、上海市标准、美国标准 到小学高年级，到小学高年级，3份标准的分化开始显现。开展统计份标准的分化开始显现。开展统计活动，学习统计图表并用于交流，这是活动，学习统计图表并用于交流，这是3份课程标准份课程标准共同的内容。全国课程标准提出了共同的

9、内容。全国课程标准提出了“理解平均数、中理解平均数、中位数、众数的意义位数、众数的意义”，但上海市的标准没有学习中位，但上海市的标准没有学习中位数和众数的要求，把它移后到初中阶段。上述这些是数和众数的要求，把它移后到初中阶段。上述这些是我们都熟悉的安排，但美国标准令我们感到意外。首我们都熟悉的安排，但美国标准令我们感到意外。首先，除了学习各式统计图表之外，它还要求学生注意先，除了学习各式统计图表之外，它还要求学生注意观察数据的分布，最小值、最大值分别是什么，数据观察数据的分布，最小值、最大值分别是什么，数据比较集中在哪一段上，对两组数据的分布进行比较。比较集中在哪一段上，对两组数据的分布进行比

10、较。其次，除了要求学生知道中位数、众数、平均数各反其次，除了要求学生知道中位数、众数、平均数各反映了一组数据的什么特征并恰当选用外，美国标准在映了一组数据的什么特征并恰当选用外，美国标准在这个阶段把重点放在中位数上，因为它认为理解平均这个阶段把重点放在中位数上，因为它认为理解平均数意义是比较困难的，需要用较长时间来学习。数意义是比较困难的，需要用较长时间来学习。 人民教育出版社教材一例人民教育出版社教材一例案例案例77 探索平均数的意义探索平均数的意义假设我们得到了假设我们得到了2个数据。令个数据。令 为平均数，为平均数，证明证明 a是是x与与y这这2个数据差的平方和达到最个数据差的平方和达到

11、最小的实数，即对任意的实数小的实数，即对任意的实数b有有 。说明说明 平均数使误差平方和达到最小。平均数使误差平方和达到最小。2yxa22)()(ayax22)()(bybx初中阶段的统计初中阶段的统计 差异更加明显差异更加明显 初中阶段的统计，在描述数据的工具方面，美国课初中阶段的统计，在描述数据的工具方面，美国课程标准引入了我国初中标准中没有的茎叶图、箱线程标准引入了我国初中标准中没有的茎叶图、箱线图、散点图，并利用这些新的数据表示法继续学习图、散点图，并利用这些新的数据表示法继续学习两个总体特征的比较、不同样本同一特征的比较，两个总体特征的比较、不同样本同一特征的比较，对同一样本内两个变

12、量之间关系做出猜测，等等。对同一样本内两个变量之间关系做出猜测，等等。这里有些内容如茎叶图、散点图、变量之间关系都这里有些内容如茎叶图、散点图、变量之间关系都是我国高中统计教学的内容。我国的两份标准在初是我国高中统计教学的内容。我国的两份标准在初中阶段要求学习加权平均数、方差等统计量，学习中阶段要求学习加权平均数、方差等统计量，学习频数分布直方图。国家标准明确有抽样调查的要求，频数分布直方图。国家标准明确有抽样调查的要求，要求学生体会抽样的必要性和样本估计总体的思想，要求学生体会抽样的必要性和样本估计总体的思想，但上海市标准虽多次提到统计的意义和统计与现实但上海市标准虽多次提到统计的意义和统计

13、与现实生活的联系，却没有提抽样调查，生活的联系，却没有提抽样调查，“总体与样本和总体与样本和随机抽样方法随机抽样方法”等是安排在高中学习的，所以教学等是安排在高中学习的，所以教学重点似乎还是数据整理（如中位数、众数、方差、重点似乎还是数据整理（如中位数、众数、方差、标准差等概念）与统计图表的制作与信息读取。标准差等概念）与统计图表的制作与信息读取。 修改稿案例修改稿案例79 身高比较身高比较比较自己班级与别的班级同学的身高状况。比较自己班级与别的班级同学的身高状况。 说明说明对于两个班级学生身高状况比较，通常可以通对于两个班级学生身高状况比较，通常可以通过平均值来判断，但有时候仅仅通过平均数是

14、不够过平均值来判断，但有时候仅仅通过平均数是不够的，如果一个班同学之间身高差异很大，而另一个的，如果一个班同学之间身高差异很大，而另一个班同学之间身高差异很小，即使前一个班的平均高班同学之间身高差异很小，即使前一个班的平均高一些，也不能说这个班的整体状况很好。因此，在一些，也不能说这个班的整体状况很好。因此，在判断身高状况时，不仅要看平均值，还需要参考方判断身高状况时，不仅要看平均值，还需要参考方差。差。 通过数据之间的比较，可以引导学生逐渐深入地进通过数据之间的比较，可以引导学生逐渐深入地进行数据分析，从而理解数据分析的道理。因为计算行数据分析，从而理解数据分析的道理。因为计算量比较大，可以

15、利用计算器或者计算机。如果学生量比较大，可以利用计算器或者计算机。如果学生基础比较好，可以进一步要求学生把身高分段，画基础比较好，可以进一步要求学生把身高分段，画出频数直方图，并引导学生讨论：通过直方图是否出频数直方图，并引导学生讨论：通过直方图是否能得到更多的信息？能得到更多的信息？ 初中生能够学习散点图并直观地判断变初中生能够学习散点图并直观地判断变量之间的关系吗？量之间的关系吗？ 下图是根据某一小队学生的身高体重所绘制的统计图，下图是根据某一小队学生的身高体重所绘制的统计图，观察图形，回答下列问题：观察图形，回答下列问题：1、这一组中，身高最高的同学体重大、这一组中，身高最高的同学体重大

16、致为致为 公斤；最矮的同学体重大致有公斤；最矮的同学体重大致有 公斤；公斤；2、这一组中，身高最高的同学是体重最重的吗？、这一组中，身高最高的同学是体重最重的吗？ ；身高最矮；身高最矮的同学是最轻的吗？的同学是最轻的吗？ ；3、观察上图，请你描述一下这组同学身高与体重的关系？、观察上图，请你描述一下这组同学身高与体重的关系？ 关琪的研究结果关琪的研究结果 她对上海市区一所初中的她对上海市区一所初中的217名没有学过统计初步的名没有学过统计初步的68年级学生的调查发现，学生并没有因为以前没年级学生的调查发现，学生并没有因为以前没学过这一类型的统计图而感到困难，在一道要求学学过这一类型的统计图而感

17、到困难，在一道要求学生读取一张散点图的数据信息之后再描述一下这组生读取一张散点图的数据信息之后再描述一下这组同学身高与体重的关系的测试题中，除同学身高与体重的关系的测试题中，除6年级普通班年级普通班的学生读取信息正确率在的学生读取信息正确率在52，6年级重点班学生正年级重点班学生正确率在确率在71外，其余外，其余7、8年级学生的正确率均在年级学生的正确率均在80以上，但是，这些学生中的绝大多数都没有给出以上，但是，这些学生中的绝大多数都没有给出 “身高体重成正比例关系身高体重成正比例关系” 或类似的回答，据访谈或类似的回答，据访谈和学生答卷分析得知，有一部分学生认为要成正比和学生答卷分析得知，

18、有一部分学生认为要成正比例关系，那么所有的点就应该都在一条直线上，但例关系，那么所有的点就应该都在一条直线上，但是因为给出的散点图不满足这个要求，所以不能说是因为给出的散点图不满足这个要求，所以不能说身高与体重有什么关系。身高与体重有什么关系。 抽样调查要不要在初中教抽样调查要不要在初中教 美国：美国：1989年的标准是把抽样和推断安排在年的标准是把抽样和推断安排在58年级，年级，2000年的标准是安排在年的标准是安排在68年级。年级。 全国初中新课程教材实验情况全国初中新课程教材实验情况 巴桑卓玛博士论文中的发现巴桑卓玛博士论文中的发现 她对她对1847位来自位来自18年级共八个年级的中小学

19、生年级共八个年级的中小学生进行了测试问卷调查，获得有效问卷进行了测试问卷调查，获得有效问卷1256份。她份。她的其中一个研究内容是学过统计（已进入新课程的其中一个研究内容是学过统计（已进入新课程实验）和没学过统计（尚未进入新课程实验）的实验）和没学过统计（尚未进入新课程实验）的学生对样本和抽样方法的认识情况，具体地，她学生对样本和抽样方法的认识情况，具体地，她考察了学生如何直观地认识样本大小、他们怎么考察了学生如何直观地认识样本大小、他们怎么选择样本和他们如何判断样本的好坏这三个方面。选择样本和他们如何判断样本的好坏这三个方面。 她的发现是她的发现是 样本知识需要教，否则学生不理解。学过和没有

20、学样本知识需要教，否则学生不理解。学过和没有学过统计的过统计的12年级的学生基本不理解样本，他们认年级的学生基本不理解样本，他们认为调查就要问所有人，不理解总体与样本的关系。为调查就要问所有人，不理解总体与样本的关系。学过和没有学过统计的学过和没有学过统计的14年级的学生对样本的理年级的学生对样本的理解水平没有统计意义的差异。解水平没有统计意义的差异。 学生比较容易认识样本要具有代表性，但不太容易学生比较容易认识样本要具有代表性，但不太容易认识样本具有随机性的重要。学过统计的认识样本具有随机性的重要。学过统计的48年级年级的学生认识到样本随机性的学生比例明显高于没有的学生认识到样本随机性的学生

21、比例明显高于没有学过统计的同龄学生，但在此比例最高的学过统计学过统计的同龄学生，但在此比例最高的学过统计的的8年级学生中，也只有年级学生中，也只有16，在没有学过统计的学，在没有学过统计的学生中各年级均不超过生中各年级均不超过2。 非随机的分层抽样思想从非随机的分层抽样思想从3年级起明显增多，在没学年级起明显增多，在没学过统计的初中生中大概占过统计的初中生中大概占50%左右，在学过统计的左右，在学过统计的初中生中，这个比例大约是初中生中，这个比例大约是 80%。 具有随机抽样思想具有随机抽样思想具有分层抽样思想（非随机）具有分层抽样思想（非随机）概率教学要求国家标准国家标准上海市标准上海市标准

22、13年级：年级：初步体验有些事件的发生是确定初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的；能够列出简单试验所的，有些则是不确定的；能够列出简单试验所有可能发生的结果；知道事件发生的可能性是有可能发生的结果；知道事件发生的可能性是有大小的；对一些简单事件发生的可能性作出有大小的；对一些简单事件发生的可能性作出描述，并和同伴交换想法。描述，并和同伴交换想法。12年级：无年级：无46年级：年级：体验事件发生的等可能性以及游体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性，会求一些简单事件发生的可戏规则的公平性，会求一些简单事件发生的可能性；能设计一个方案，符合指定的要求；对能性；能设计一个方案，符合指

23、定的要求；对简单事件发生的可能性作出预测，并阐述自己简单事件发生的可能性作出预测，并阐述自己的理由的理由35年级：初步认识不确定现象体会不确定现年级：初步认识不确定现象体会不确定现象发生的可能性有大小；拓展内容：通过游戏象发生的可能性有大小；拓展内容：通过游戏列出简单事件所有可能发生的结果，渗透排列列出简单事件所有可能发生的结果，渗透排列的感性认识。专题研究：通过大量的实验或计的感性认识。专题研究：通过大量的实验或计算机模拟实验，感知规律。算机模拟实验，感知规律。 79年级：年级：在具体情境中了解概率的意义，在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单运用列举法（包括列

24、表、画树状图）计算简单事件发生的概率；通过实验，获得事件发生的事件发生的概率；通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值；通过实例进一步丰富对概率生概率的估计值；通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题。的认识，并能解决一些实际问题。67年级：在年级：在“分数分数”的学习中，引入的学习中，引入“可能可能性性”问题，在问题，在“代数式代数式”的学习中，进一步研的学习中，进一步研究用字母表示究用字母表示“可能性可能性”的问题。的问题。89年级：用枚举法探求等可能事件的概率，年级：用枚举法探求等可能事件的概率，会

25、用区域面积之比解决简单的几何概型；在具会用区域面积之比解决简单的几何概型；在具体情境中体验等可能事件的概率，解释所得概体情境中体验等可能事件的概率，解释所得概率的意义；能就给出的概率找一个相应的等可率的意义；能就给出的概率找一个相应的等可能事件或设计一个符合要求的方案。能事件或设计一个符合要求的方案。美国标准美国标准 与我国国家课程标准一样，概率教学持续的时间是所有学段。与我国国家课程标准一样，概率教学持续的时间是所有学段。在其在其2000年的那份标准中，它要求学前期至二年级，讨论与年的那份标准中，它要求学前期至二年级，讨论与学生经验相关的可能与不可能的事件。在三至五年级，对事学生经验相关的可能与不可能的事件。在三至五年级，对事件可能或不太可能发生进行描述，并用肯定、等可能和不可件可能或不太可能发生进行描述，并用肯定、等可能和不可能等讨论事件发生的可能程度；预测简单实验结果的概率值