人教版九年级上册二次函数综合复习

1、二次函数综合复习专题一 二次函数的定义形如y=ax2+bx+c(a0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。例1.如果函数是二次函数,那么k的值是_。变式练习1.假设y=(m-1)xm2+1是二次函数，那么m的值为 。2.函数y=a-5xa2+4a+5+2x-1, 当_时, 它是一次函数; 当_时, 它是二次函数。3.当m为何值时，y=(m+1)xm2-3m-2是二次函数专题二 确定二次函数解析式1. 一般式：y=ax2+bx+c 已经抛物线任意三点求解析式2. 顶点式：y=a(x-h)2+k 抛物线顶点和一点或对称轴

2、和另外两点求解析式3. 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) 抛物线与x轴的两交点和另一点1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：ya(xx1)(xx2) (a0),x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比拟简便。典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例1：抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点2，8，求二次函数的解析式。典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例2：二次函数的顶点坐标为3，-2，并且图象与x轴两交点间的距离为4，求

3、二次函数的解析式。2.巧用顶点式：顶点式y=a(xh)2+ka0，其中h，k是抛物线的顶点。当抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例3：抛物线的顶点坐标为-1，-2，且通过点1，10，求此二次函数的解析式。典型例题二：告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例4：二次函数当x4时有最小值3，且它的图象与x轴两交点间的距

4、离为6，求这个二次函数的解析式。典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例5：1二次函数的图象经过点A3，-2和B1，0，且对称轴是直线x3求这个二次函数的解析式.2关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点0，2，且过点-1，0，求这个二次函数的解析式.3抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点1，4和点5，0，求此抛物线的解析式.4二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式3.利用二次函数图象求二次函数的解析式此类问题，需抓住图像给的关键信息，如对称轴，顶点，交点等，根据给定的信息，选择适当的二次函数解析

5、式求解。1抛物线yx2bxc如下图，那么此抛物线的解析式为 (第1题) (第2题) (第3题)2如下图，有一个抛物线形拱桥，其最大高度为10 m，跨度为50 m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，那么抛物线的函数解析式为 3如下图，直线yx2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线yax2bxc的顶点为A，且经过点B.求该抛物线的解析式变式练习1.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于 A8 B14 C8或14 D-8或-142.抛物线在x轴上截得的线段长为6.且顶点坐标为2,3求解析式？ 4.假设抛物线yax2bxc的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，那么

6、抛物线的函数关系式为_专题三 二次函数图象变换一、 二次函数与平移解决二次函数的平移问题时，一般要先将函数解析式化成顶点式，再按“左加右减，上加下减的方法进行求解。经典例题1以下二次函数的图象，不能通过函数y3x2的图象平移得到的是( )Ay3x22 By3(x1)2 Cy3(x1)22 Dy2x22抛物线y(x2)23可以由抛物线yx2平移得到，那么以下平移过程正确的选项是( )A先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D先向右平移2个单位，再向上平移3个单位3如图，把抛物线yx2沿直线yx平移个单位后，其顶点在直

7、线上的A处，那么平移后抛物线的解析式是( )Ay(x1)21 By(x1)21 Cy(x1)21 Dy(x1)214在平面直角坐标系中，将抛物线yx2x6向上(下)或向左(右)平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，那么|m|的最小值为( )A1 B2 C3 D65如图，一条抛物线与x轴相交于A，B两点，其顶点P在折线CDE上移动，假设点C，D，E的坐标分别为(1，4)，(3，4)，(3，1)，点B的横坐标的最小值为1，那么点A的横坐标的最大值为( )A1 B2 C3 D6 第3题 第5题6在平面直角坐标系中，把抛物线yx21向上平移3个单位，再向左平移1个单位，那么所得抛物线的解析式是

8、7二次函数y3x2的图象不动，把x轴向上平移2个单位长度，那么在新的坐标系下此抛物线的解析式是 8在平面直角坐标系中，平移抛物线yx22x8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式： 9如图，抛物线的顶点为P(2，2)，与y轴交于点A(0，3)假设平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P(2，2)，点A的对应点为A，那么抛物线上PA段扫过的区域(阴影局部)的面积为_二、二次函数与轴对称解决这类问题时，可根据原图象与对称后的图像特点，确定新的二次函数各项系数。经典例题1与抛物线yx22x3关于x轴对称的图象解析式为( )Ayx22x3 Byx22x3 Cyx22x3 Dyx22x32在平面直角

9、坐标系中，先将抛物线yx2x2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )Ayx2x2 Byx2x2 Cyx2x2 Dyx2x23在一张纸上作出函数yx22x3的图象，沿x轴把这张纸对折，描出与抛物线yx22x3关于x轴对称的抛物线，那么描出的这条抛物线的解析式为 .三、抛物线与旋转1将二次函数yx22x1的图象绕它的顶点A旋转180，那么旋转后的抛物线的函数解析式为( )Ayx22x1 Byx22x1 Cyx22x1 Dyx22x12在平面直角坐标系中，将抛物线yx22x3绕着它与y轴的交点旋转180，所得抛物线的解析式是( )A

10、y(x1)22 By(x1)24 Cy(x1)22 Dy(x1)243把二次函数y(x1)22的图象绕原点旋转180后得到的图象的解析式为 4抛物线y(x1)25先向左、向上均平移2个单位后，再绕顶点旋转180，得到新的图象对应的函数表达式为 专题三 二次函数图象与系数a,b,c之间的关系1、二次项系数a：a0时，抛物线开口向上；a0时，抛物线开口向下。a的绝对值越大，开口越小;a的绝对值越小，开口越大。2、一次项系数b：在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴，“左同右异。3、常数项c：决定抛物线与y轴交点的位置4、抛物线的特殊位置与系数的关系：1顶点在x轴上：b-4ac=0；2顶

11、点在y轴上：b=0；3顶点在原点：b=c=0；4抛物线经过原点：c=0.例1.y=ax2+bx+c的图象如下，那么：a_0 , b_0, c_0 , a+b+c_0，a-b+c_0, 2a-b_0 b2-4ac_0, 4a+2b+c 0例2二次函数 yax2bxc(a0)的图象如图 32，现有以下结论：b24ac0；a0；b0；c0；9a3bc0，8a+c0；3a+c0。那么其中结论正确的选项是( ) (例2) (例3) 例3二次函数yax2bxc(a0)的图象如下图，假设Mabc，N4a2bc，P2ab，那么M，N，P中，值小于0的数有( )A3个 B2个 C1个 D0个变式练习1、二次函数

12、yax2bxc(a0)的图象如图4所示，给出以下结论：abc0 当x=1时，函数有最大值。当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0. 4a+2b+c0；b0；b2-4ac0；其中正确的结论有 A1个B2个C3个D4个3、二次函数yax2bxc(a0)的图象如下图，那么以下判断不正确的选项是 A、abc0； B、b2-4ac0； C、2a+b0； D、4a+2b+c04、二次函数yax2bxc的图象如图1所示，那么以下结论中，正确的个数是 a+b+c0；abc0；b=2aA、4 B、3 C、2 D、15、二次函数yax2bxc其中a,b,c满足a+b+c=3和9a+3b+c=3，那么该二次函数图

13、象的对称轴是直线6、y=ax2+bx+c中a0，c0 ，0，函数的图象经过 象限。7、在同一平面直角坐标系中，一次函数yaxb和二次函数yax2bx的图象可能为8、如下图，满足a0,b0的函数yax2bx的图像是 9.如图,二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0),以下结论:ab4a;0a+b+c2;0b-1时,y0.其中正确结论有 (第9题) (第11题) (第12题)10、二次函数yax2bx+c,且a0, a-b+c0,那么一定有 A. b2-4ac0 B. b2-4ac0 C. b2-4ac0 D. b2-4ac0 11二次函数y2x

14、2mx8的图象如下图，那么m的值是( )A8 B8 C8 D6122021天门二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，它与x轴的两个交点分别为-1，0，3，0对于以下命题：b-2a=0；abc0；a-2b+4c0；8a+c0其中正确的有A3个 B2个 C1个 D0个专题四 二次函数与一元二次方程及不等式的综合应用1、二次函数与一元二次方程的关系y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根有两个交点有两个不相等的实数根有一个交点有两个相等的实数根没有交点没有实数根遇到抛物线与x轴的交点存在某种关系时，可综合应用一元二次方程根的判别式，根与系数的关系及二次函数的性质进

15、行解答。例1.二次函数y=ax2-2x-2的图象与X轴有两个交点，那么a的取值范围是例2.函数y=ax2-ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的取值和交点坐标分别是什么？例3.抛物线y=x2+1-2ax+a2(a0)与x轴相交于A(x1,0) ,B(x2,0)，且x1x2。1求a的取值范围，并证明A,B两点都在原点左侧；2假设抛物线与y轴相交于C，且OA+OB-OC=-2,求a的值。例4.抛物线y=ax2+bx+c，其顶点在x轴上方，经过点-4,5,它与y轴相交于点C0,3，与x轴交于A，B两点，且方程ax2+bx+c=0的两根的平方和等于40.1求抛物线的解析式。2抛物线上是否

16、存在x轴上方的一点P，使SPAB=2SCAB？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。2、二次函数与不等式的关系1a0：大于0取两边，小于0取中间。2a0的解集；3写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；4假设方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围。例6.函数y1x2与函数y2=-12x+3 的图象大致如图，假设y1y2，那么自变量x的取值范围是 A.-32 x2 Bx2或x-32 C2x 32 D x2或x 32变式练习：1二次函数yax2bxc(a0)的顶点坐标(1，3.2)及局部图象(如下图)，由图象可知关于x的一元二次方程ax2bxc0的两个根分别

17、是x11.3和x2( )A1.3 B2.3 C0.3 D3.32二次函数yx22xk的局部图象如下图，假设关于x的一元二次方程x22xk0的一个解为x13，那么另一个解x2_ (第1题) (第2题) (第3题) 3如下图，一次函数y1kxn(k0)与二次函数y2ax2bxc(a0)的图象相交于A(1，5)，B(9，2)两点，那么关于x的不等式kxnax2bxc的解集为( )A1x9 B1x9 C1x9 Dx1或x94抛物线yax2bxc(a0)如下图，那么关于x的不等式ax2bxc0的解集是( )Ax2 Bx3 C3x1 Dx3或x1 (第4题) (第5题) 5.二次函数y1=ax2+bx+c

18、和一次函数y2=mx+n的图像如图，观察图像写出y2y1时，x的取值范围_6.抛物线yax2-2x1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是 A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 7、y=ax2+bx+c中，a0的解是_; ax2+bx+c0)与x轴交于A，B两点。1求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；2假设1OB-1OA=23O是坐标原点，求抛物线的解析式。专题五 实际问题与二次函数1.几何图形面积的最值问题一般步骤：用含自变量x的代数式表示图形的面积；利用图形面积的表示方法构造关于x的二次函数；求二次函数的最大值或最小值。例1. 如图，四边形的两条对角线AC、BD互相

19、垂直，ACBD10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大。例2.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)假设墙的最大可用长度为8米，那么求围成花圃的最大面积。变式练习1. 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长x的变化而变化，当x是多少时，场地的面积S最大？2.一块三角形废料如下图，A30，C90，AB12用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上要使

20、剪出的长方形CDEF面积最大，点E应造在何处？3.如图，等腰RtABC的直角边AB2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。 (1)设 AP的长为x，PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式； (2)当AP的长为何值时， SPCQ= SABC？4.在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6，现在在四边上分别选取E、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？2.最大利润最小费用问题常用公式：总利润=销售量x单件商品利润；利润率=总利润/总进价x100%。例3.某水

21、果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，假设每箱以50元的价格销售，平均每天能卖出90箱；价格每提高1元，平均每天少卖3箱。1求日均销售量y箱与售价x元/箱之间的关系式；2求该批发商平均每天的销售利润W元与售价x箱/元之间的关系式；3当每箱苹果的售价为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？例2.蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x月份与市场售价P元/千克的关系如下表：上市时间x/月份123456市场售价P元/千克10.597.564.53这种蔬菜每千克的种植本钱y元/千克与上市时间x月份满足一个函数关系，这

22、个函数的图象是抛物线的一段如图1写出上表中表示的市场售价P元/千克关于上市时间x月份的函数关系式；2假设图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；3由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？收益市场售价种植本钱 变式练习1.某商店经营T恤衫，成批购进时单价是2.5元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件。问：何时取得最大利润？2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星

23、期可多卖出20件商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？3.某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空间对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用设每个房间每天的定介增加x元，求：1房间每天入住量y间关于x元的函数关系式；2该宾馆每天的房间收费z元关于x元的函数关系式；3该宾馆客房部每天的利润w元关于x元的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？42021武汉科幻小说?实验室的故事?中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经

24、过一天后，测试出这种植物高度的增长情况如下表：温度x/-4-20244.5每天高度增长量y/mm414949412519.75由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种1请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；2温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？3如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？请直接写出结果3.生活中抛物线形问题在日常生活与生产中，我们经常会遇到与二次函数有关的问题，如抛物线形的涵洞、隧道、桥梁

25、等建筑的设计问题，炮弹的弹道曲线问题，球类被抛出后的运动轨迹等等一般步骤：读懂题意，并建立适当的平面直角坐标系有时不需要，建立的坐标系一般应使各点的坐标和所得函数解析式尽量简单；将题中的条件转化为函数与自变量的对应值或点的坐标；合理地设出所求函数解析式；将对应值或点的坐标代入，求出解析式；利用二次函数的性质解决问题。例3. 如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯。求两盏景观灯之间的水平距离?例4. 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处到达最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?变式练习1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如下图的坐标系，其函