5.1电磁感应定律和全电流定律

1、5 时变电磁场电场、磁场矢量不仅是空间坐标的函数，而且是时间的函数，这样的场称为时电磁变场。在时变电磁场中，电场与磁场互相依存、互相制约，已不可能如前面三 种静态场那样分别进行研究，而必须在一起进行统一研究。在本章中，首先引出并扩展 电磁感应定律 的适用范围，在提出位移电流概念的 基础上，将安培环路定律推广到时变场中，导出普遍适用的全电流定律。从而总结出得出变化的磁场产生电场、变化的电场产生磁场，这种电场与磁场的普遍联系。然后，总结电磁场的基本方程(即麦克斯韦方程组)，媒质的构成方程和它在分界 面的衔接条件。介绍动态位和达朗贝尔方程的解答，提出电磁场的波动性和电磁波 概念。其三，由基本方程出发

2、推导出反映电磁场中能量守恒与能量转换的坡印廷定理 和坡印廷矢量。再进一步介绍正旋稳态时变场中电磁场的基本方程和坡印廷矢量。5.1电磁感应定律和全电流定律电磁感应定律(1)定律的内容1831年法拉弟在大量实验基础上归纳总结，提出了电磁感应定律。磁场中的线圈当一导体回路I所限定的面积S中的磁通 发生变化时，在这个回路中就要产生感应电势， 形成感应电流。感应电势的大小与 S中的磁通 对时间的变化率成正比，感应电势的实际方向 由楞次定律确定。楞次定律指出：感应电动势及其所产生的 感应电流总是企图阻止与导体回路相交链的磁通的变化感应电动势可表示为)'的方向；:t)B d S )dt dt式中“

3、-”号体现楞次定律：当规定感应电势的参考方向与回路交链的磁通 成右手螺旋关系时，“-”号反映感应电势的真实方向。实际上引起磁链变化的因素比较多，上式应写为偏导数形式分析电磁感应现象，是由于在导体中存在有一种 感应电场，其场强E indI为导体线圈回路。于是电磁感应定律又可表位:I E ind d ls B d S（ ）dt要求式中I回路循行 方向与B的方向符合 右螺旋关 系。当二B不为零时， ct- l E ind d S = 0，说明感应电场是有旋场。（2）法拉弟电磁感应定律的推广法拉弟电磁感应定律反映了感应电势与导体回路I限定面积中交链的磁通对时间变化率的关系，它没有涉及到导体的材料特性和

4、周围的媒质特性。MaxweII在研究电磁场基本规律时将电磁感应定律作了推广。当变化的磁场客观存在时，场中某一回路所交链的磁链的变化也是客观存在的。在该处放置一导体回路，就可以产生感应电势，测得感应电流，反映出感应电场的 存在，感应电流的大小与导体的电导率有关。假若在变化磁场中某处设想有一假想 回路存在，它所交链的磁链同样在变化，显然也应当有感应电场存在，也同样具有 感应电势，只不过不能测量到感应电流而已。由此引伸，可以认为感应电场不仅仅 存在于导体内，而且存在于变化磁场所在的场域空间。于是，我们对于感应电场的 看法由一个导体回路扩展到了整个变化的磁场空间 。由上面的分析，应当这样来理解电磁感应

5、定律：在一个变化的磁场中总伴随着一个感应电场，总存在感应场强。这正是Maxwell的重大贡献。(3) 感应电动势与感应场强计算:按回路中磁链的变化可以分为以下三种情况: 导体回路(或其一部分)与恒定磁场之间有相对运动导体棒以速度V运动切割磁力线，其上X X A A Z A XAAA线元dl中的电荷dq沿棒运动,形成元电流段dq v ,受到磁场作用力d f = dq v B由此定义感应电场强E indvE ind)A A X A A A Adq导体与恒定磁场之间有相对运动感应电势为称为发电机电势。在图示均匀场、匀速运动情况下有)Blv 导体回路不动，磁场随时间变化考虑单匝情况，有 l E ind

6、：:t)称为变压器电势。若导体线圈匝数为N情况，每匝上通过相等的磁通，有 兼有上面两种情况感应电势为E ind d 1:tft:l E ind d l：:t)(4) 时变电场是有散有旋场/ E dd Ss;：t考虑到回路I的任意性，它所界定面积 S的任意性，必有dB、'、E 血（）ct即为电磁感应定律的 微分形式。它表明感应电场是有旋场，E ind线与B线互相交链，是无头无尾的闭合矢量线。在研究时变电场时，Maxwell认为时变电荷仍然是产生时变电场的通量场源，高斯通量定理仍然成立。时变电荷q t产生时变电场的守恒分量e °。考虑感应电场也 存在，于是总的电场为对上式做旋度八

7、 E ind-:-7 EE ind求闭合回路的线积分 Ii n d d| E o d| E i n d d 1可得- l E d I = - s d S（ ）称为推广的电磁感应定律。显然有' s D d s 二 s； E ind d s s； E 0 d S 二 qi D =-说明时变电场是有散有旋场。全电流定律研究时变磁场，就必然涉及到产生时变磁场的场源，恒定磁场中的安培环路定律在时变磁场中是否还能适用呢？这是我们十分关心的。（1）运流电流的影响设在真空或空气稀薄的区域中，存在有体密度为亍的运动电荷的V空间中，取含运动电荷的元体积一元体积dV二dS dl，若在dt时间内，dV 中的所

8、有电荷dq以V速度全部流出dS面，应 有dl 二 vdtdq 二；dV =卜dSdl = dS vdt电流密度d dqJv ()ds dtJ v = ? v( )在V空间中任一面积S上通过iv = S J v d S = S ' v d S称为运流电流，单位为安培（A）。它与传导电流一样，按相同的方式产生磁场。要将安培环路定律引进时变磁场中，显然应该考虑J的影响i H d I 二 I iv s J c d S * J v d S（ ）式中应考虑i c仅在导体中，iv仅在空气稀薄区域或真空中。（2）全电流定律 安培环路定律的应用范围恒定磁场中安培环路定律” H 二 J c是建立在传导电流

9、连续性基础上的:S J cd S 二 0v J c 二 0在一般情况下，应满足电荷守恒定律qs J c d S-；JdV亠它的微分形式为cPft可见在一般情况下传导电流不连续这说明安培环路定律已不能直接应用于时变磁场，要解决关于电流连续性问题。 全电流定律时变电磁场中高斯通量定理在电荷守恒定律的微分形式中，若将上式代入cP;:t整理可得将括号内看为一种电流密度，那么在时变场中它是连续的，用它取代传导电流密度J c，有扩展的安培环路定律的微分形式对应积分形式H d、Js Jc d S+ Js如研究的范围内有真空或空气稀薄区域存在，就可能还有运流电流存在，将它对时 变磁场的影响也反映在上式中，而有

10、方程s ；:t)其微分形式)称为全电流定律。式中，称ivs'v d S为运流电流，iDs石d S为位移电d D流，为位移电流密度。 dt 应当特别注意：积分形式反映大范围内时变场的情况，可能包含有传导电流和 运流电流，而微分形式仅涉及时变场中某点处的情况，传导电流密度Jc和运流电流密度J v不可能同时存在。由上的推导可知，当磁场不随时间变化时，时变磁场蜕变为恒定磁场，全电流 定律就蜕变为安培环路定律，安培环路定律是全电流定律的特例。 位移电流和位移电流密度冷D位移电流密度J。二，单位为A/m2。它是Maxwell为满足电荷守恒定律，体 ct现电流的连续性而引入的一个假想概念，它没有通常

11、电流的意义，也不便于测量。关于电容器充电和放电情况：外部电路为传导电流ic ,在电容器内部(理想介质) 已没有ic存在，代之以iD，保持了电流的连续性。位移电流这一假设的提出和引入，是Maxwell对经典电磁场理论的又一重大贡献，它揭示了变化的电场产生磁场这一基本关系。Maxwell将安培环路定律推广成全电部定律，用它和推广的电磁感应定律一道，说明了变化的电场产生磁场，变化的磁场又总是伴随有电场，这种相互依存、互相制约、不可分割的密切关系，就构成 了统一的电磁现象中的两个主要方面 。5.1.3 关于时变电场和时变磁场的计算我们所研究的电磁现象和认识的基本规律在扩展，但从基本规律反映的场的基 本

12、性质不外是散度和旋度。作为分析问题的思路和计算的方法，仍然可以从静态场 已学过的方法中引导出。(1) 仍然十分强调对电磁场分布的定性分析，分析其分布的对称性，确定必要 的计算区域，确定使用的坐标系，画出对应的计算图形。(2) 磁场H的计算。引用全电流定律的积分形式 ：H d = S J c d S S:Dd S完全可以借鉴运用安培环路定律的经验和方法，确定适当的积分回路，以获得计算 的结果。应当注意的是：回路I的巡行方向和它所界定的面积 S的正法线方向应符 合右手螺旋关系。(3) 计算感应电场E ind。由电磁感应定律的积分形式 & B1 E ind d Isd sct其形同安培环路定律，可效法应用安培环路定律的分析思路和计算方法。(4) 计算电场的守恒分量E °