线积分及格林公式2019ppt课件

1、 曲线、曲面积分曲线、曲面积分. 二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系()d ddd()LDQPx yP xQ yLxy沿 的正向格林公式格林公式下一页上一页.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式下一页上一页曲线积分与路径无关的四个等价条件，曲线积分与路径无关的四个等价条件，重要的等价条件是：重要的等价条件是：xQyP 场论初步场论初步, ),(zy

2、xuu , ),(RQPA ,zyx下一页上一页梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度环流量环流量zRyQxPAdiv RdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()( RdzQdyPdx散度散度uAA下一页上一页曲线积分的计算及证明曲线积分的计算及证明. 对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算（用公式直接计算（用公式直接计算例计算例计算 222222:,yxayxLdsyIL 其其中中下一页上一页答案答案 22412a 在一条光滑在一条光滑(或分段光滑或分段光滑)的的是是L上关于上关于x 的奇函数的奇函数 Lsyxfd),(是是L上关于上

3、关于x 的偶函数的偶函数 ,d),(21 LsyxfL1是曲线是曲线L落在落在y 轴一侧的部分轴一侧的部分.在分析问题和算题时常用的在分析问题和算题时常用的L关于关于y轴轴 对称对称,补充补充对称性质对称性质曲线曲线L上连续上连续, ),(yxf设函数设函数那那么么, 0当当),(yxf(或或y)(或或y)当当),(yxf(或或x轴轴)(或或x) 运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时, 应同时考虑被积函数 与积分曲线L的对称性.),(yxf 下一页上一页（用对称性及曲线方程法（用对称性及曲线方程法补充补充例例2 Lsyx.d)(3其中其中L是圆周是圆周.222Ryx 解解 LLsysxdd3

4、Lsyxd)(3,d Lsx对对因积分曲线因积分曲线L关于关于被积函数被积函数x是是L上上0d Lsx Lsy,d3对对被积函数被积函数0d3 Lsy因积分曲线因积分曲线L关于关于3y222Ryx 对称性对称性, ,计算计算得得0 是是L上上y轴对称轴对称,关于关于x的奇函数的奇函数x轴对称轴对称,关于关于y的奇函数的奇函数xyO下一页上一页对称性对称性例例3.0,d22222zyxazyxsxI为圆周其中求解解 由于由于 szsysxddd222 Idsa32323a ),2(球面大圆周长dsa有有szyxd)(22231 的方程中的的方程中的x, y, z的地位完全对称的地位完全对称, 下

5、一页上一页对称性对称性1988年研究生考题年研究生考题,填空填空(3分分)则则其周长为其周长为为椭圆为椭圆设设, 13422ayxL Lsyxxyd)432(22a12解解 Lsxyd20 Lsyxd)43(1211222 Lsyxd)34(1222sLd112 a12 对称性对称性 Lsyxxyd)432(220下一页上一页例例4Lsyxd)43(22例例5计算计算yxazyxdszyI222222:2下一页上一页曲线方程法曲线方程法答案答案 22 a例例6设设 ，证明：，证明：:sin ,0,Lyxx223 22d82Lx s 下一页上一页. .对坐标的曲线积分的计算对坐标的曲线积分的计算

6、（用公式直接计算（用公式直接计算（2用对称性性质用对称性性质下一页上一页L在上半平面部分与在上半平面部分与 LxyxPd),(P(x, y)为为P(x, y)为为 1d),(2LxyxP其中其中L1是曲线是曲线L的上半平面的部分的上半平面的部分.类似地类似地, , LyyxQd),(对称性质对称性质对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分, ,当平面曲线当平面曲线L L是分段是分段光滑的光滑的, ,关于关于下半平面部分的走向相反时下半平面部分的走向相反时, ,x 轴对称轴对称,那那么么0y的偶函数的偶函数y的奇函数的奇函数的讨论也有相应的结论的讨论也有相应的结论. .对对 下一页上一页例例7,1|dd

7、 ABCDAxyyx计计算算直接化为定积分计算直接化为定积分计算, , ABxyyx1dd BCxyyx1dd DAxyyx1dd CDxyyx1dd取逆时针方向取逆时针方向. ., 1| yx解解 法一法一由曲线积分的性质由曲线积分的性质. .那那么么 BC CD DA1 yx1 yx1 yx1 yx)0 , 1(A)1 , 0(B)0 , 1( C)1, 0( D其中其中ABCDA为为 011)1(ddxxxx0 101)1(ddxxxx 011)1(ddxxxx0 ABCDA 101)1(ddxxxx 101)1(d2xxx 101)1(d2xxx0tx 101)1(ddxxxx 101

8、)1(ddxxxxOxy下一页上一页 AB将原式分成两部分将原式分成两部分,即即 ABCDAxyx1|d ABCDAxyy1|d ABCDAxyx1|d对对曲线关于曲线关于的走向与的走向与L在下半部分的走向相反在下半部分的走向相反,1 yx1 yx1 yx1 yx)0 , 1(A)1 , 0(B)0 , 1( C)1, 0( D法二法二被积函数为被积函数为 ABCDAxyx1|d利用对称性质利用对称性质,L在上半部分在上半部分x轴对称轴对称,y的偶函数的偶函数.0 ABCDAxyyx1|dd计算计算原式原式Oxy下一页上一页 ABCDAxyy1|d对对曲线关于曲线关于L在右半部分的走向与在右半

9、部分的走向与L在左半部分的走向相反在左半部分的走向相反,被积函数为被积函数为 ABCDAxyy1|d01|dd ABCDAxyyx所以所以,y轴对称轴对称,x的偶函数的偶函数.0 ABCDAxyyx1|dd计算计算 ABCDAxyx1|d01 yx1 yx1 yx)0 , 1(A)1 , 0(B)0 , 1( C)1, 0( D1 yxOxy下一页上一页（3用格林公式包括补线法），路用格林公式包括补线法），路径无关、全微分条件等径无关、全微分条件等.平面闭曲线上的对坐标曲线积分平面闭曲线上的对坐标曲线积分, ,yPxQ 当当比较简单时比较简单时, ,常常考虑通过格林常常考虑通过格林公式化为二重

10、积分来计算公式化为二重积分来计算. .下一页上一页思路思路: LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI闭合闭合非闭非闭闭合闭合 DdxdyyPxQI)(非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式下一页上一页解解2 ,PQxyx 104102)1(dyydxx故故原原式式.1523 xyo11A dyyxdxxyxI)()2(422由由下一页上一页解解xQyP( (如下图如下图) )下一页上一页 yPxQ非常简单非常简单.m此积分路径此积分路径不是闭曲线不是闭曲线! !分析分析xyo)0 ,(aAMdxdyyPxQDAMOA )( Ddxdy

11、m,82am 0)(00 medxxaAO, 0 082 am.82am AMOAAOAOAOLI AMOAAOI下一页上一页0 利用格林公式可以简化二重积分利用格林公式可以简化二重积分那那么么 yPxQ解解 令令, 0 P2yxeQ 例例10为顶点的三角形闭区域为顶点的三角形闭区域. . Dyyxe,dd2计计算算是是其中其中D)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(BAO以以格林公式格林公式 Dyyxedd2 BOABOAyyxed2 OAyyxed2 AByyxed2 BOyyxed22ye )1(211 e 10d2xxex0 0 0Oxy11ABD下一页上一页解解,2)(2xy

12、xyyyP )()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP )(),(xyyxQ xQyP 积分与路径无关积分与路径无关 1989年研究生考题年研究生考题, 计算计算,5分分设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,yxyxxyLd)(d2 具有连续的导数具有连续的导数, 其中其中, 0)0( 且且 )1 , 1()0,0(2.d)(dyxyxxy 计算计算例例11即即下一页上一页xyxy2)(xyO 10d0 x21 (1,0) 10dyyxyxy2)( 由由Cxx 2)( 0 C知知2)(xx )1 , 1( 法一法一设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,yxyxxyLd)(d2 具有连

13、续的导数具有连续的导数, 其中其中, 0)0( 且且 )1 , 1()0,0(2.d)(dyxyxxy 计算计算 )1 , 1()0,0(2d)(dyxyxxy , 0)0( 由由 )1 , 1()0,0(22ddyyxxxy下一页上一页xyO法二法二)1 , 1( )1 , 1()0,0(2d)(dyxyxxy )1 , 0( 10d0 yy 102d1xx0 1022x 21 设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,yxyxxyLd)(d2 具有连续的导数具有连续的导数, 其中其中, 0)0( 且且 )1 , 1()0,0(2.d)(dyxyxxy 计算计算 )1 , 1()0,0(22

14、ddyyxxxy下一页上一页 2019研究生考题研究生考题(数学一数学一) 8分分),()( 在在设设函函数数xf内具有一阶连续导数内具有一阶连续导数, ,L是上半平面是上半平面 (y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线,其起点为其起点为(a, b),终点为终点为(c, d).,d1)(d)(11222yxyfyyxxxyfyyIL 记记(1) 证明曲线积分证明曲线积分I 与路径与路径L无关无关;(2) 当当ab = cd 时时,求求I 的值的值.证证yP因为因为xQ)(1)(2xyfxyyxyf 所以在上半平面内曲线积分所以在上半平面内曲线积分I 与路径与路径L无关无关.(1)例例

15、12下一页上一页badc 解解(2)由于曲线积分由于曲线积分I 与路径与路径L无关无关,),(dc 所以所以xbxfbbIcad)(112 ycyfyycdbd1)(22 xbxbfbaccad)( bcdcycyfcdb d)(ttfttfbadccdbcbcabd)(d)( 0tt法一法一xyO下一页上一页)(a,b),( bc解解(2)yxyfyyxxxyfyyILd1)(d)(11222 L是上半平面是上半平面 (y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线,起点起点(a, b),终点终点(c, d).(2) 当当ab = cd 时时,求求I 的值的值.法二法二 I,d)(d)(y

16、xyxfxxyyfL 2ddyyxyxLbadc 2ddyyxyxL 设设F(x)为为f(x)的一个原函数的一个原函数,那那么么)d()(d)(d)(xyxyfyxyxfxxyyfLL )()(abFcdF.badcI 由此得由此得 Lyxd),(),(dcbayx, 0下一页上一页例例13 1. 计算曲线积分计算曲线积分 练习练习 .084:202:111222222的正向的正向椭圆椭圆的正向的正向圆周圆周 xyxLyyxLyxdyxdxyIL；下一页上一页答案答案 0;2 22222dd4:1,1Lx yy xIxyLxyRR 2000 2000研究生考题研究生考题求求答案答案 取逆时针方

17、向取逆时针方向. .2.例例14设设 的方向为逆时针的方向为逆时针方向，证明：方向，证明：0:22 yxyxL22sindcosd22Lyxxxyy下一页上一页例例15证明：证明：222222ddlim0RxyRy xx yxxyy下一页上一页Oxy 0sindyeyD 20192019年研考题年研考题( (数学一数学一)(10)(10分分) )已知平面区域已知平面区域,0 ,0),( yxyxDL为为D的正向边界的正向边界. 试证试证:;dddd)1(sinsinsinsin LxyLxyxyeyxexyeyxe.2dd)2(2sinsin Lxyxyeyxe证证左边左边 = =L 0sin

18、dyey,)d(0sinsin xeexx右边右边 = = 0sind xex,)d(0sinsin xeexx法一法一 0sind xexxxxx(1) 2sinsin xxee LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin例例16下一页上一页 0sinsin)d(xeexx证证(2) 由于由于, 2sinsin xxee故由故由(1)得得 Lxyxyeyxeddsinsin .22 下一页上一页证证法二法二 (1) 根据格林公式根据格林公式, ,得得左边左边 = =右边右边 = =,d)(sinsin xDyee ,d)(sinsin xDyee 因为因为D D关于关于xy 对称对称, ,所以所以 d)(sinsinxDyee d)(sinsinxDyee LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsinOxyD L LDyQxPyxyPxQdddd)(下一页上一页证证法二法二由由(1)(