【高中数学】不等式整章复习ppt课件

1、2022年2月4日星期五 6:22:42 不不 等等 式式 复复 习习( (一）一）天马行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：1755696322022年2月4日星期五 6:22:42 不等式知识结构不等式均值不等式不等式证明不等式解法不等式应用不等式性质两实数比较大小 与大小顺序 实数的运算性质2022年2月4日星期五 6:22:42作差比较法的步骤：作差作差比较法的步骤：作差变形（化简）变形（化简）判断判断 （差值（差值 与与0的大小）的大小）得出结论得出结论步骤：作商步骤：作商变形（化简）变形（化简）判断判断 （差值与实数（差值与实数1的大小关系）的大小关系）

2、得出结论得出结论,111abRaabbaabbaabb作商比较法的原理及步骤：作商比较法的原理及步骤：2022年2月4日星期五 6:22:42不等式不等式不等式的性质不等式的性质不等式的解法不等式的解法不等式的证明不等式的证明不等式的应用不等式的应用不等式的基本性质不等式的基本性质绝对值不等式的性质绝对值不等式的性质比较法比较法综合法综合法分析法分析法其他证明方法其他证明方法作差比较法作差比较法作商比较法作商比较法反证法反证法换元法换元法放缩法放缩法一元一次和一元一元一次和一元二次不等式二次不等式分式不等式分式不等式指数和对数不等式指数和对数不等式求最值求最值解实际应用题解实际应用题2022年

3、2月4日星期五 6:22:42实数的运算性质：实数的运算性质：a-b0 ab a-b0 ab bb,bc ac;可加性：可加性： ab a+cb+c;加法法则：加法法则： ab,cd a+cb+d;可乘性：可乘性： ab,c0 acbc; ab,c0 acb0,cd0 acbd;倒数法则：倒数法则：ab,ab0 ;乘方法则：乘方法则：ab0 anbn;开方法则：开方法则：ab0 ;ba11nnba例例1，已知，已知cab0，求证：求证：bcbaca分析：此题要根据不等式的构成特征，从已知条件入手，分析：此题要根据不等式的构成特征，从已知条件入手， 以不等式的性质为依据，应用构造法完成证明。以不

4、等式的性质为依据，应用构造法完成证明。ab0 -a-b0 0c-ac-b0011babcacbcbaca2022年2月4日星期五 6:22:42（4）绝对值的定义）绝对值的定义绝对值不等式的性质：绝对值不等式的性质： (1)|x|a (0)|0 (0) (0)aaaaaa当时当时当时（5）实数乘法与除法绝对值的性质）实数乘法与除法绝对值的性质 |(0)|aabbb-ax0);xa或或x0)(3)|a|-|b|a+b|a|+|b|ab|=|a|b|，重点内容这些性质是推导不等式其他性质的基础，也是证明不等式的依据。 不等式的主要性质有：、对称性： 传递性：_ 、 ，a+cb+c、ab， ， 那么

5、acbc； ab， ，那么acbc、ab0， 那么，acbd、ab0 那么 （条件 ）、|a|b|ab|a|b|nnba abbacacbba ,Rcba ,0c0c0 dc2,nNn8基本性质练习1、对于实数a,b,c，判断下列命题的真假cbca，那么baab0，则ab，则acbcac2bc2，则abab， 则a0，b0ab0，则|a|b| ba11ba11（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）92、判断下列命题是否正确、判断下列命题是否正确:(1) ( ) (6) ( )(2) ( ) (7) ( )(3) ( ) (8) ( )(4) ( ) (9) ( )(5) ( ) (10) ( )

6、cabcba ,baba22bcacba22baba22bcacba22bababdacdcba ,22bababacbca22dbcadcba0, 03、已知已知 求求 的取值范的取值范围围. ., 02, 32cba)(bac10复习二：复习二：a,bR,a2 +b22ab1. 基本不等式基本不等式,均值不等式均值不等式:2.2.上面两个重要不等式有如下变形及上面两个重要不等式有如下变形及推广推广:2(2)() (0,0)2ababab22(1)(,)2ababaR bR(3)2( ,)baa bab同号a,b是正数是正数, 2abab (当且仅当当且仅当a=b时取时取”=“号号)(当且仅

7、当当且仅当a=b时取时取“=”号号)(4)2(0,0)abab ab 当当a1,a2, ,an是正数时是正数时1212nnnaaaa aan (当且仅当当且仅当a=b=c时取时取“=”号号)()12n当且仅当a =a =a 时取号(5)2(0,0)abab ab3:3abcabc推广11一正一正, ,二定二定, ,三相等三相等必须有自变量值能使函数取到必须有自变量值能使函数取到 = 号号.各项必须为各项必须为正正;含变数的各项和或积必须为含变数的各项和或积必须为定值定值;利用均值不等式求函数最值的步骤利用均值不等式求函数最值的步骤:12利用均值不等式求函数最值的步骤利用均值不等式求函数最值的步

8、骤:练习练习1)1)若若x0,f(x)= x0,f(x)= 的最小值为的最小值为_;_;此时此时x=_.x=_.xx31212f(x)3xx 解解: :因为因为x0,x0, 若若x x 0,f(x)= 0,f(x)= 的最大值为的最大值为_;_;此时此时x=_.x=_.xx312即当即当x=2时函数的最小值为时函数的最小值为12.122-12-2当且仅当当且仅当 时取时取等号等号, ,123xx2x即即123122xx一正一正二定二定三相等三相等一正一正, ,二定二定, ,三相等三相等13利用均值不等式求函数最值的步骤利用均值不等式求函数最值的步骤:错解错解! !222255f(x)2log

9、x22 log x22 5log xlog x20 x1log x0 注意注意: :各项必须为正数各项必须为正数正解正解:225f(x)2log x22 5log xmaxf(x)22 5225f(x)2log x(0 x1)log x的范围的范围.例例1、求函数、求函数5225log,2,logxxx当且仅当即时,2(0,0)abab ab 一不正 常用一正一正, ,二定二定, ,三相等三相等典型错解举例：典型错解举例：14问题：是否积或和为定值时，就一定可以求最值？=证证:典型错解举例：典型错解举例：15 ？22三等号取不到典型错解举例：典型错解举例：16下列函数中，最小值为下列函数中，最

10、小值为4的是的是( )(A)(B)(C)(D)xxxy0sin4sin-xxeey 4103loglog3xxyxxxy4C等号能否成立等号能否成立17当且仅当当且仅当 时取时取“=”号号5x1x51x1 即即1yxx1 1x11x1 11xx例例2. 函数函数y= (x 0)的最小值为的最小值为_,此时此时x=_.解解:2-1=11x1x0 x1 即即当且仅当当且仅当 时取时取“=”号号)1(113)(2xxxxxf练习练习 :1.求函数求函数 的最小值的最小值.22x3x1(x1)5(x1)5f(x)x1x1 x1x10 5x15x1 5x15255x1 又又即当即当 时时,函数的最小值为

11、函数的最小值为x51 255 解解:01,二不定 需变形18练习练习 3.已知已知lgx+lgy1， 的最小值是的最小值是_. yx252 4.已知已知x,y为正数为正数,且且2x+8yxy，则则x+y 的最小值是的最小值是_. 18构造积为定值构造积为定值1 2.已知已知x ,则函数则函数y= 的最小值是的最小值是_. 5414245xx 519 ？“一正二定三等一正二定三等”练习：求证 ：当0 x时，xx16的 最小值是 8； 问题 ：当x为何值时，取到最小值？ 求 证：当0 x时，xx16的最大值是8。 已知210 x，求)21 (xxy的最大值。 问题：怎 样构造和为定值？ 20均值不

12、等式的应用均值不等式的应用1.均值不等式可证明简单的不等式均值不等式可证明简单的不等式例例1. 1)已知已知:a,b,c均为正数均为正数,求证求证:3bcacababcabc证明证明:3bcacababcbccaababcaabbcc ()()()3bacacbabacbc2,2,2bacacbabacbc()()()322233bacacbabacbc所以所以, ,原不等式成立原不等式成立当且仅当当且仅当a=b=c时时,取等号取等号.21二、均值不等式的应用二、均值不等式的应用1.均值不等式可证明简单的不等式均值不等式可证明简单的不等式例例1. 1)已知已知:a,b,c均为正数均为正数,求证

13、求证:3bcacababcabc2)已知已知:正数正数a,b,c满足满足a+b+c=1,求证求证:(1)(1)(1)8abcabc3)3)a0,b0a0,b0且且a+b=1,a+b=1,求证求证: :114ab4.2,:log (1) log (1)1aaaaa已知求证22基本不等式复习第基本不等式复习第2 2课时课时 1.已知正数已知正数a,b满足满足ab=a+b+3,求求ab 的取值范围的取值范围. 2.在周长为定值的扇形中在周长为定值的扇形中,圆心角为圆心角为 弧度弧度时，扇形面积最大时，扇形面积最大. 9,+)=2232.应用均值不等式求最值的问题应用均值不等式求最值的问题(1)利用均

14、值不等式求函数最值的步骤利用均值不等式求函数最值的步骤:(2)先变形再利用均值不等式求函数最值先变形再利用均值不等式求函数最值:练习练习2:求函数求函数 的最大值的最大值, 并求出相应并求出相应x的值的值.ayx(a 4x)(0 x,aR )4 (3)取不到等号时用函数单调性求最值取不到等号时用函数单调性求最值:4522xxy例例3.3.求函数求函数 的最小值的最小值. .2222x5x41yx4x4 2 当且仅当当且仅当 时取等号时取等号221x4x4 错解错解: :221x4x4 242.应用均值不等式求最值的问题应用均值不等式求最值的问题(1)利用均值不等式求函数最值的步骤利用均值不等式

15、求函数最值的步骤:(2)先变形再利用均值不等式求函数最值先变形再利用均值不等式求函数最值:(3)取不到等号时用函数单调性求最值取不到等号时用函数单调性求最值:4522xxy例例3.3.求函数求函数 的最小值的最小值. .利用函数利用函数 (t0)的单调性的单调性.1ytt t(0,1 单调递减单调递减t1,)单调递增单调递增依据依据: :正解正解: :2222x5x41yx4x4 221x4x4 2tx4 令令1(2)yttt 则min52,:0,2txy当即时,三不等 常用单调性25例4已知 a、b为常数，且 求证：x+y的最小值为,Ryx1ybxa0011axaxbxyybxa：解axbx

16、xyxbaaxabaxaxabaxbx)()(2)(2babaab)(:2ybxayxyx解2)(2baabbayxbxyaba的最小值求且若练习yxyxRyx11, 12,:26小结：小结：二、均值不等式的应用二、均值不等式的应用1.均值不等式可证明简单的不等式均值不等式可证明简单的不等式2.应用均值不等式求最值的问题应用均值不等式求最值的问题(1)利用均值不等式求函数最值的步骤利用均值不等式求函数最值的步骤:一正一正, ,二定二定, ,三相等三相等,2(0,0)abab ab 一不正 常用(2)先变形再利用均值不等式求函数最值先变形再利用均值不等式求函数最值:(3)取不到等号时用函数单调性

17、求最值取不到等号时用函数单调性求最值:,二不定 需变形,三不等 常用单调性作业：作业： 同步练同步练34页页27补充例题补充例题x 11x1y_x2+、 当- 时 ，=的 最 大 值 为+2x1x111y=1x22(x1)1x1x1提示：512x0,1,x+y.xy、 已 知、且求的 最 小 值19y9x1x+y=(xy)10;xyxy19(2)1x-1)(y-9)=9(x1,y9,xyx-1=y-9=3x=4,y=12x+y=16提 示 ： 三 角 换 元 法 、 判 别 式 法 均 可 ； 另 解 如 下 ：（ ）由得 （定 值 ） 且当 且 仅 当时 ； 即时 ，最 小28证明不等式的主

18、要依据有： a b0 ab， ab0 ab不等式的性质；几个重要不等式： a20（当且仅当 时取等号）； a2b22ab（当且仅当 时取等号，a，b ）； （条件 当且仅当 时取等号。 2ba ab0aba Rba,ba R重点内容29不等式性质的主要应用求最值理论依据不等式性质的应用1、两个正数，和为定值，积有最大值；2、两个正数，积为定值，和有最小值。重点内容30如果如果a、b、cR , 那么有那么有 ( a b ) 0 (1) a+b 2ab (2) a +b +c ab+bc+ca (3)如果如果a、b、c0 , 那么有那么有 a+b ab+ab (4) a+b+c 3abc (5)

19、(当且仅当当且仅当a=b=c时取时取“=”号）号）公式总汇公式总汇)7(3)6(23abccbaabba 312、判断正误：下列问题的解法对吗？如果不对请予以改正。、判断正误：下列问题的解法对吗？如果不对请予以改正。 (1) k /2 (k Z), tg +ctg 2 (2)若若a、bR ,则则a+ab+b3ab 。3、填空：、填空： (1)当当a_时，时，a + a n _; (2)当当x_时，时，x + 16/x ； (3)当当x,y,z 时，时，y/x + x/y ; x/y + y/z + z/x _ (4)sinx cosx_; (5)tg +ctg _.例 题324.0a1,0ba

20、2+b2 2abBa+b a2+b22abCa2+b2 a+b 2abCa2+b2 a+b2ab 5.已知两个正数已知两个正数a、b满足满足a+b 4，则下列各式中，恒，则下列各式中，恒正确的是正确的是( )411211121122 baDabCbaBabA例 题33例题6、已知x1，求x 的最小值以及取得最小值时x的值。 11x解：x1 x10 x （x1） 1 2 1311x) 1(1x) 1(1) 1(xx当且仅当x1 时取“”号。于是x2或者x0（舍去）11x答：最小值是3，取得最小值时x的值为234)(21),(212222ynnyxmmx解)ba(21nymx 上述解法正确吗？为什么？7、若实数 满足 ，则 的最大值是（ ）2)(baAabB)(2)(22baCbaabD)(y,x,n,m)ba(byx,anm2222 nymx 等号成立的充要条件是 mx 且ny ，但由于 ab ，故等号