2.2离散型随机变量ok

1、2.2 离离 散散 型型 随随 机机 变变 量量一、离散型随机变量概率分布的定义一、离散型随机变量概率分布的定义描述X 的概率特性常用概率分布列X kxxx21P kppp21即,kkpxXP,.2,1k 定义定义 ：若随机变量 的可能取值是有限个或可列个, 则称 为离散型随机变量.XX分布列的性质：分布列的性质：或X kxxx21kppp211、非负性,.2 , 1, 0kpk2、规范性11kkp,.,2 , 1 , 0k0例例2. 设随机变量设随机变量X的概率分布为的概率分布为,!kakXPk试确定常数试确定常数 a解解: 依据概率分布列的性质依据概率分布列的性质:0 kXP1kkXP欲使

2、上述函数为概率函数应有欲使上述函数为概率函数应有0a1!0aekakk从中解得从中解得 ea二、表示方法二、表示方法（1）列表法：）列表法：（2）图示法）图示法（3）公式法）公式法例例1任取任取3 个个球球X为取到的白球数为取到的白球数X可能取的值可能取的值是是0,1,20.10.30.6kPK012012.163101010iXP,35233CCCkXPkk2, 1 ,0k1 1） 两点分布（两点分布（0-10-1分布）分布）注：描述一切只有两种可能结果的随机试验注：描述一切只有两种可能结果的随机试验(试验试验) 常见离散随机变量的分布常见离散随机变量的分布或,11 kkppkXP1 ,0k

3、011iXpp p,10 p若随机变量 X的概率分布为则称X服从参数为p的两点分布（或0-1分布）2 2）二项分布）二项分布B(n,p)B(n,p)A设在同一条件下，每次试验E只有两种可能结果：则称A，它们的概率 qpAPpAP1,与此种试验为Bernoulli试验，将E独立的重复n次则称这种独立重复试验系列为Bernoulli试验。n重重独立重独立Bernoulli试验nA设在一次试验中，事件发生的概率为10pp，则在n次独立的试验中，事件A发生k次的概率为knkknppCkXP1nk,.,2 , 1 , 0（1）0 kXPn（2）10nkkXP注：当1n时，1 , 0,11kppkXPkk

4、称X服从两点重独立Bernoulli试验中n分布。 X表示A出现的次数。二项分布二项分布若随机变量X的概率分,pAP验中发生的次数 ,knkknppCkXP1布列为:nk,.,2 , 1 , 01 1）定义：）定义：n重Bernoulli试验中，X是事件A在n次实则称X服从参数为pn,的二项分布pnBX,例2.2 已知一大批产品的废品率为5%，从中随机的抽取20件，求其中恰有2件废品的概率以及废品数不超过2件的概率。解：这里是不放回抽样，但由于产品数量很大，抽取的20件相对于总数来说又很小，因此可以当作放回抽样处理。也就是说可以把本题近似看作是一个20重的伯努利试验。由于每次抽样抽得废品的概率

5、p=0.05，若以X表示20次抽样抽得的废品件数，则有05. 0 ,20 BX即废品件数nu的分布列为 .20,.,2 , 1 , 0,95. 005. 02020kCkXPkkk因此20件中恰有2件废品的为 ,1887. 095. 005. 02182220CXP20件中废品不超过两件的概率为 kkkkCXP20202095. 005. 021822201911202095. 005. 095. 005. 095. 0CC9245. 018868. 037735. 035849. 02 2） p=0.5,p=0.5,二项分布的图形是对称的二项分布的图形是对称的, ,否则否则当当( (n n+

6、1)+1)p p不为整数时不为整数时, ,二项概率二项概率P P( (X X= =k k) )在在k k =(=(n n+1)+1)p p 达到最大值达到最大值( x 表示不超过表示不超过 x 的最大整数的最大整数). . .n=10,p=0.7nPk0最可能出现次数最可能出现次数中心项中心项不对称不对称; ;对于固定对于固定n n及及p p，当，当k k增加时增加时 , ,概率概率P P( (X=kX=k) ) 先是随之增加直至先是随之增加直至 达到最大值达到最大值, , 随后单调减少随后单调减少. .; ;当当( (n n+1)+1)p p为整数时为整数时, ,二项概率二项概率P P( (

7、X X= =k k) )在在k k=(=(n n+1)+1)p p及及k k=(=(n n+1)+1)p-1p-1达到最大值；达到最大值；二项分布的图形特点：二项分布的图形特点：pnBX,例例3 3 独立射击5000次, 命中率为0.001,解解求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；(2) 命中次数不少于1 次的概率. pnk115001. 015000 49955550005000999.0001.05CP1756. 0注： 小概率事件虽不易发生，但重小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件复次数多了，就成大概率事件. (2) 令X表示命中次数,则001. 0 ,5000 BX

8、01111XPXPXP 5000005000999. 0001. 01 C9934.0Possion定理定理 ?问题问题 如何计算 2500XP, 则对固定的 设0nnpk!1limkeppCkknnknknn,.2, 1 ,0kPoisson定理说明若,pnBX则当n较大，p较小, 而np适中, 则可以用近似公式,.2, 1 , 0,!1kkeppCkknkkn证：记 nnnpknnknknppC1 knnknnnkknnn1!1.1knnknnknkn1!11.11enknnn1limnnlim而于是ekeppCknnknkn!1例2.3 设每次射击命中目标的概率为0.02.如果射击400

9、次，试求至少有两次命中目标的概率。解： 可将每次射击看成伯努利试验，因此这是一个400次的伯努利试验。用X表示命中目标的次数，则02.0 ,400 BX。于是至少有两次命中目标的概率为1012XPXPXP399140040098.002.098.01C.997.08188ee(3) Poisson 分布分布若,.2 , 1 , 0,!kkekXPk其中是常数，则称0X 服从参数为的Poisson 分布. 记作 P例2.5 有商店过去的销售记录可知，某种商品每月的销售数可用参数5的泊松分布描述。假定上月无存货，为了有99%以上的把握不脱销，问商店在月初应购进该商品多少件？解 设在月初至少应购进该

10、商品N件。若以X表示该商品每月的销售数，则 .5 PX依题意,99. 0 NXP或等价的,01. 0 NXP即应有01.0!551ekNkk查泊松分布表得N+1=12，故N=11。即在月初至少应购进该商品11件，可以有99%以上把握不脱销。4)几何分布几何分布定义：设定义：设X是一个无穷次伯努利试验序列中事件是一个无穷次伯努利试验序列中事件A首次首次发生时所需的试验次数发生时所需的试验次数, ,则则X的可能取值为的可能取值为1,2,3,因而因而X的分布列为的分布列为,.2, 111kppkXPk此时称此时称X服从几何分布服从几何分布,记记 pGX 例2.6 某国的一个重要军事基地的上空经常会有来犯的敌方侦察机，通常是出动同样数量的战斗机“一对一”地去消灭敌方侦察机。若一架战斗机每次向敌方侦察机发射一枚炮弹时，击落敌机的概率为60%，问每架战斗机应至少携带多少发炮弹，可以保证击落敌机的概率为99%以上？解 以X表示击落敌机所需要的射击次数，则X服从几何分布6 . 0G，即,.2 , 1, 6 . 0 .4 . 01kkXPk设每架战斗机应携带n发炮弹。依题意，要求.99. 0nXP或等价地，.01. 0 nXP由于.4 . 04 . 06 . 06 . 0 .4 . 01111nnkknkknXP即应有.01. 04 . 0n于是026.5