第十章第4节对面积的曲面积分1ppt课件

1、第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分求质量 m .引例引例: 设曲面形构件具有连续面密度设曲面形构件具有连续面密度),(zyx采用“分割, 近似, 求和, 取极限” 的方法，kkkkS),( 可得nk 10 limm),(kkkzyxo一一. 对面积的曲面积分的概念与性质对面积的曲面积分的概念与性质定义定义:设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域上任意取点, “乘积和式极限乘积和式极限” kkkkSf),(nk 10lim都存在,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分曲面积分或第

2、一类曲面积分.dSzyxf),(记作记作其中 f (x, y, z) 叫做被积函数, 叫做积分曲面. 据此定义,曲面形构件的质量为dSm ),(zyx曲面面积为dSSdSzyxf),(,记记为为闭闭曲曲面面若若 假如 f (x, y, z) 在光滑曲面 上连续, 则对面积的曲面积分存在积分存在. 假如 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面,21则有dSzyxf),(1dSzyxf),(2dSzyxf),(对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分有类似的性质对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分有类似的性质.dSzyxgzyxf),(),(（k 为常数)dSzyxfkdSzyxfk),(),(dSzyxgS

3、dzyxf),(),(zyxoyxD定理定理: 设光滑曲面设光滑曲面 由方程由方程 z = z (x, y) 在 xoy 面上的投影区域为,yxDf (x, y, z) 在 上连续 ,存在, 且有Sdzyxf),(yxDyxf),(Sdzyxf),(),(yxzydxdyxzyxzyx),(),(122二二. 对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法给出 ,则曲面积分证明证明: 由定义知由定义知Sdzyxf),(kkkkSf),(nk 10lim而kSdydxyxzyxzyxkyx)(22),(),(1),(kkkSdzyxf),(kSdydxyxzyxzyxkyx)(22),(),(

4、1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122ydxdyxzyxzyxfyxDyx),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfkkkkSf),(nk 10lim计算公式计算公式:;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:. 1yxzz 若曲面若曲面那么那么:类似可得类似可得;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(那么那么.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dS

5、zyxf),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面那那么么。为闭曲面，可分块求之为闭曲面，可分块求之、若、若4),(:. 2zxyy 若若曲曲面面 计算计算 dszyx)(, 其中其中 为平面为平面5 zy被柱面被柱面2522 yx所截得的部分所截得的部分.例例1 1积分曲面积分曲面 ：yz 5 ,解解投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxy dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 例例 2 2 计算计算dSxyz |,其中其中 为抛物面为抛

6、物面 22yxz （10 z）.解解依对称性知：依对称性知：被被积积函函数数| xyz关关于于xoz、yoz 坐标面对称坐标面对称轴轴对对称称，关关于于抛抛物物面面zyxz22 有有 14成立成立，(1 为为第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyzdxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dSxyz |dSxyz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yxxyz 利利用用极极坐坐标标 trxcos , trysin ,rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt210

7、50412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 计计算算 xdS, 其其中中 是是圆圆柱柱面面 122 yx,平平面面2 xz及及0 z所所围围成成的的空空间间立立体体的的表表面面.例例3 3解解 321 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.投投影影域域1D：122 yx显然显然 011 DxdxdyxdS, 01112 DdxdyxxdS讨讨论论3 时时, 将将投投影影域域选选在在xoz上上.（注注意意：21xy 分分为为左左、右右两两片片） 3xdS 31xdS 32xdS（左右两片投影相同）（左右两片投影相同） xzDzxdxd

8、zyyx2212xoz xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xdS 00. 计计算算dSzyx)(222 , 其其中中 为为内内接接于于球球面面2222azyx 的的八八面面体体azyx |表表面面. 例例4 4被被积积函函数数 ),(zyxf222zyx ,解解关关于于坐坐标标面面、原原点点均均对对称称 , 积积分分曲曲面面 也也具具有有对对称称性性 , 故故原原积积分分 18, (其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)1 ：azyx , 即即yxaz dxdyzzdSyx221 dxdy3 dSzyx)(222 1)(8222dSzyxdxdyy

9、xayxxyD 3)(8222.324a 例例5. 计算计算其中 是介于平面之间的圆柱面.222RyxozxyH解解:Hzz,0将 分成 、 前前后后dSzyx222122yRx ：前前22yRx ：后后dydzxxdSzy221dydzyRR22后后前前dSzyx2221dydzyRRzRyzD222212对对称称dzyRRzRdyHRR2202212RHarctan 2zzd例例5. 计算计算,222zyxdSI其中 是介于平面之间的圆柱面.222RyxozxyH另解另解: 取曲面面积元素取曲面面积元素dzRdS2那么HzRzdRI0222RHarctan2Hzz,0例例6. 计算计算,)

10、(22dSyxI其中 是球面)(2222zyxzyx解解: 利用对称性可知利用对称性可知dSzdSydSx222dSzdSydSxdSzyxI)(32222dSzyx)(34dSx4dSx448)3(4142ozyxdSdSxx利用重心公式球心：球心：)1 ,1 ,1(半径：半径：3四、小结2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算域上的二重积分计算.1、 对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念; dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 （按照曲面的不同情况分为三种）（按照曲面的不同情况分为三种）158410P习习题题8

11、7431625314,),)()(),(),)(思考题思考题 在对面积的曲面积分化为二重积分在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中的公式中, 有因子有因子 , 试说明试说明这个因子的几何意义这个因子的几何意义.221yxzz 思考题解答思考题解答是曲面元的面积是曲面元的面积,dS2211),cos(yxzzzn 221yxzz 故故 是曲面法线与是曲面法线与 轴夹角的余弦轴夹角的余弦的倒数的倒数.z一、一、 填空题填空题: :1 1、 已知曲面已知曲面 的面的面a积积为为, , 则则 ds10_；2 2、 dszyxf),(= = yzDzyzyxf),),(_dydz；3 3、 设设 为球面

12、为球面2222azyx 在在xoy平面的上方部平面的上方部分分, ,则则 dszyx)(222_；4 4、 zds3_, ,其中其中 为抛物面为抛物面)(222yxz 在在xoy面上方的部分；面上方的部分；5 5、 dsyx)(22_, ,其中其中 为锥面为锥面22yxz 及平面及平面1 z所围成的区域的整个边界曲面所围成的区域的整个边界曲面. .练练 习习 题题二、计算下列对面积的曲面积分二、计算下列对面积的曲面积分: :1 1、 dszxxxy)22(2, ,其中其中 为平面为平面 622 zyx在第一卦限中的部分；在第一卦限中的部分；2 2、 dszxyzxy)(, ,其中其中 为锥面为锥面22yxz 被被 柱面柱面axyx222 所截得的有限部分所截得的有限部分 . .三、求抛物面壳三、求抛物面壳)10)(2122 zyxz的质量的质量, ,此壳此壳的面密度的大小为的面密度的大小为z