第五章 测量误差基本知识

1、第五章第五章 测量误差基本知识测量误差基本知识 学习要点 建立测量误差的基本概念 观测值的中误差 观测值函数的中误差 误差传播定律 加权平均值及其中误差 5-1 测量误差的概念一、测量误差的来源1、仪器精度的局限性2、观测者感官的局限性3、外界环境的影响二、测量误差的分类与对策（一）分类系统误差系统误差在相同的观测条件下，误差 出现在符号和数值相同，或按一定的规律变化。偶然误差偶然误差在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差有“统计规律”粗差粗差特别大的误差（错误）（二）处理原则粗差粗差细心，多余观测系统误差系统误差找出规律，加以改正偶然误差偶

2、然误差多余观测，制定限差例如：对同一量观测了n次观测值为 l1,l2,l3,.ln如何取值？如何评价数据的精度？例如：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差i为i= i +i+ i-180其结果如表5-1，图5-1,分析三角形内角和的误差I的规律。误差区间 负误差 正误差 误差绝对值d K K/n K K/n K K/n 03 450.126 46 0.128 91 0.254 36 400.112 41 0.115 81 0.226 69 330.092 33 0.092 66 0.184 912 230.064 21 0.059440.123 1215 170

3、.047 16 0.045330.092 1518 130.036 13 0.036260.073 1821 60.017 5 0.014 110.031 2124 40.011 2 0.00660.017 24以上 0 0 0 0 0 0 181 0.505 177 0.495 358 1.000 -24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 X=k/d有限性：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。渐降性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。方差和标准差（中误差

4、）的偶然误差是观测值式中：叫标准差方差：iiniiln,122nnii122iilX 标准差常用m表示，在测绘界称为中误差。第一组观测第二组观测次序观测值 l2观测值 l211800003-3918000000021800002-241595959+1131795958+241800007-74941795956+4161800002-2451800001-111800001-1161800000001795959+1171800004-4161795952+86481795957+3918000000091795958+241795957+39101800003-391800001-11|2

5、47224130中误差 7.221nm 6.322nm某些观测值的误差与其本身大小有关用观测值的中误差与观测值之比的形式描述观测的质量，称为相对误差（全称“相对中误差”）mllmT1 例，用钢卷尺丈量200m和40m两段距离，量距的中误差都是2cm，但不能认为两者的精度是相同的 前者的相对中误差为002200 110000 而后者则为00240l2000 前者的量距精度高于后者。2)(2)(22221)(1, 0021)(xxexfxexf则若正态分布密度以 为对称轴,并在 处达到最大。当 时，f(x) 0，所以f(x)以x轴为渐近线。用求导方法可知，在 处f(x)有两个拐点。对分布密度在某个

6、区间内的积分就等于随机变量在这个区间内取值的概率xxxx9973. 0)33()(9545. 0)22()(6826. 0)()(1)(,),(332222XPxfXPxfXPxfxfXNX的正态分布为服从参数随机变量时当22221)(0 xexf则若9973. 0)(9545. 0)(6826. 0)()(3322xfxfXPxfm2允三、容许误差m3允或：但大多数被观测对象的真值不知，任何评定观测值的精度，即： =？ m=？寻找最接近真值的值x5-3观测值的算术平均值及改正值 中位数：设把n个观测值按大小排列，这时位于最中间的数就是“中位数”。众数：在n个数中，重复出现次数最多的数就是“众

7、数”。切尾平均数：去掉 lmax, lmin以后的平均数。调和平均数：xnlniil 1平均数的倒数il1算术平均数：满足最小二乘原则的最优解满足最小二乘原则的最优解nnlXlXlX2211 将上列等式相加，并除以n,得到 XnlnnnnlXnlim0lim4）特性更据偶然误差第（xnl若被观测对象的真值不知，则取平均数 为最优解xiiilxllvl改正值的特性 0ivv定义改正值标准差可按下式计算112nvmnii1122nvnii中误差将上列左右两式方便相减，得nnlXlXlX2211111111lxvlxvlxv)()()(2211xXvxXvxXvnn 1)(2)()()()()()(

8、22131212222212222nvvnnnnnxXxXnvvnxXnvvnxXxXnxXnvnnnNoImage次序观测值 l改正数 vvv1123.457-5252123.450+243123.453-114123.449+395123.451+11S123.452040毫米16. 3232. 61540452.123ml一、已知真值X，则真误差一、真值不知，则iilXnmilxivnlx1nvvm二、中误差二、中误差已知：mx1,mx2,-mxn求：my=?.),(21xxfy设有函数式：nmyyy 全微分：.),(21xxfy设有函数式：.2211dxfdxfdynidxdxffdx

9、fdxfdxfdynxnx.3 , 2 , 1.212122222221212多次，设每个自变量都观测了式中f有正有负0.)(2lim.)(2.)()(1212112121122221212112ndxdxffnndxdxffndxfndxfndyniiniiniiniinii，当ndxfndxfndxfndyninnniiniinii12122221212112.)()( mn2小结第一步：写出函数式第二步：写出全微分式第三步：写出中误差关系式注意：只有自变量微分之间相互独立才可以进一步写出中误差关系式。22222221212.nnymfmfmfm观测值：斜距S和竖直角v待定值：高差h222

10、22222222sincossincossinsinvShvShmDmvmmvSmvmdvvSdsvdhvSh或，三，二，一，观测值：斜距S和竖直角v待定值：水平距离D22222222222cossincossincoscosvShvSDmhmvmmvSmvmdvvSdsvdDvSD或，三，二，一，算术平均值 已知：m1 =m2 =.=mn=m 求：mxnlllxn21mnmnmnmnmdlndlndlndxnxn1)1()1()1(1112222221221次序观测值 l1180-00-10.3-10.3106.12179-59-57.2+2.87.83179-59-49.0+11.0121

11、4180-00-01.5-1.52.65180-00-02.6-2.66.8S-1.6244.3秒0 .753 .244mCBA223mmmm3秒0 . 43/mm1、测回法观测水平角时盘左、盘右的限差不超、测回法观测水平角时盘左、盘右的限差不超过过40秒；秒；2、用、用DJ6经纬仪对三角形各内角观测一测回的经纬仪对三角形各内角观测一测回的限差；限差；3、两次仪器高法的高差限差。、两次仪器高法的高差限差。现有三组观测值，计算其最或然值A组： 123.34, 123.39, 123.35B组： 123.31, 123.30, 123.39, 123.32C组： 123.34, 123.38, 1

12、23.35, 123.39, 123.32各组的平均值 A组：B组： 123.333 C组： 123.356 AlClBl3CBAlllxx ( ) ( ) ( )各组的平均及其权 A组： 123.360 权PA=3 B组： 123.333 PB=4 C组： 123.356 PC=5AlClBlCPBPAPlPlPlPllllllllllxCCBBAACBA5435431212874321平均数的权pA=3平均数的中误差m单位权中误差权与误差的平方成反比llCBAAApmmmmmmmmmmllll/5/4/3/9/33/ )(2232122llmmp 简单平均值的理论依据为 minvvWxnl

13、lll nllvvvWiiiii0)(0)(2加权平均值的理论依据为 minpvvvWxplpllpplllpvpvpvWiiiiiiiiiiii0)(0)(2nllppii当： SSCSBSAxCSCBSBASAxCSCBSBASASiiiiiPmmPpmPpmPpmmPpmPpmPpmlPplPplPpPlpplpx222222222222222.pmPmmSlppl此式表明iiPmm22如果m可以用真误差j计算，则如果m要用改正数v计算，则nmpmmpnmCBAjmpmjjjjjj222222.),(所以因为npm)(21)(2npvvm次序观测值l权p改正数vpvpvv1123.4573-4.5-13.560.752123.4503.5+2.58.821.883123.4535-0.5-2.51.254123.4491+3.53.512.255123.45