函数的单调性奇偶性幂函数二次函数

1、函数的单调性知能点全解：知能点一： 函数单调性的定义1、图形描述：从函数的图象（图1）看到：图象在轴的右侧部分是从左向右连续上升的，也就是说，当在区间0，+)上取值时，随着的增大,相应的值也随着增大，即如果任取，得到=,=,那么当<时，有<。这时我们就说函数=在0,+ )上是增函数。图象在轴的左侧部分是从左向右连续下降的，也就是说， 当在区间上取值时，随着的增大，相应的值反而随着减小，即如果任取，得到=,=,那么当<时，有>。这时我们就说函数=在(-,0)上是减函数. 2、定量描述对于函数的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，（1）若当<时，都有<,

2、则说在区间D上是增函数；（2）若当<时，都有>,则说在区间D上是减函数。3、单调性与单调区间若函数=在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。特别提醒：1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（图1），当0,+)时是增函数，当(-,0)时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的，如图2。2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、应是该区间内任意的两个实

3、数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。例 1 如图是定义在闭区间-5，5上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数。解：函数的单调区间有-5，-2)，-2，1)，1，3)，3，5，其中在区间-5，-2)，1，3)上是减函数，在区间-2，1)，3，5上是增函数。知能点二：用定义证明函数的单调性例 2 ：证明函数是增函数。证明：设是R上的任意两个实数，且<则 ， 又,即 在R上是增函数。例 3：证明函数在上是减函数证明：设是上的任意两个实数，且<，则 所以函数在上是减函数。特别提醒：定义法证明函数在某个区间上是增（减

4、）函数是最基本方法其步骤是： （1）取值，即设是区间上的任意两个实数，且<； （2）作差变形，即，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形； （3）判断的正负，当正负不确定时，可以分区间进行讨论，判断正负； （4）根据定义得出结论。及时演练：1、判断并证明下列函数的单调性（1） （2） （3） （4）2、讨论下列函数的单调性，指出其单调区间并予以证明（1）（2）（3） （4）3、判断下列各函数在给定的单调区间上是增函数还是减函数（1） （2） （3） （4）4、讨论函数在(-2,2)内的单调性知能点三：判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论1、函数与函数的单调性

5、相反2、当恒为正或恒为负时，函数与函数的单调性相反3、在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数。例 4：求函数的单调区间。解： ，得单调递减区间是和，在上单调递减 函数的单调区间是和。及时演练：1、下列函数中，在区间上为增函数的是（ B ） A、 B、 C、 D、2、在上单调递减的函数是（ A ） A、 B、 C、 D、3、函数的单调递减区间是和。4、已知定义在同一区间上，是增函数，是减函数，且，则（ B ） A、为减函数 B、为增函数 C、为减函数 D、为增函数5、的单调减区间是和。6、二次函数的递增区间为，则二次函数的递减区间为 。7、已知函数，

6、则使函数是减函数的区间是。8、设是定义在区间上的增函数，且，则下列函数：；中，是减函数的有 （把序号填在横线上）。知能点四：复合函数单调性的判断 对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表： 增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。例 5：求函数的单调递增区间.解：由，得或 函数的定义域是令 则 易知函数在上是增函数，函数的单调递增区间是 原函数的定义域为 函数的单调递增区间是所以函数的单调递增区间是拓展知识点：函数的单调性（1）单调增区间： （2）单调减区间：（3）图像的

7、两条渐进线分别为和（4）图像如右：典型题型全解题型一：利用函数单调性比较函数值的大小例 6：如果函数，对任意实数都有，比较的大小。 解：由题意知，得对称轴为，故 在上是增函数 ，即及时演练 1、已知，当时， 为增函数，设，则的大小关系为 。2、若，且，函数，则与的大小关系为。3、函数对任意均有，那么的大小关系为 。题型二：利用函数单调性求参数的范围例 7：已知在上是减函数，求实数的取值范围。解：要是在上是减函数，由二次函数的图像可知，只要对称即可，解得。及时演练：1、若函数在上是增函数，则有（ C ） A、 B、 C、 D、2、若与在区间上都是减函数，则的取值范围是（ D ） A、 B、 C、

8、 D、3、已知函数在上递增，则的取值范围是。4、已知函数，并且的最小值为，则实数的取值范围是。5、函数的最大值是，那么实数的取值范围为。6、函数在区间上是增函数，则的取值范围是。题型三：利用函数单调性求函数的最值例 8：（1）求函数的值域；（2）已知，对于函数，若时，求的值。解：（1）由得，函数的定义域为，而函数和在上都是增函数，则也是增函数，当时，它取得最小值，所以得最小值为1，即它的值域为。（2）函数表示开口向上，顶点坐标，对称轴的抛物线。 因此，当时，是增函数 当时，取最大值，而， ，即。解得或。 ， 。及时演练：1、函数在上的最大值与最小值分别为 3，0 。2、已知函数，则这个函数的值

9、域为。题型四：函数单调性定义逆命题及其应用 逆命题：已知函数在定义域的某个区间上为增函数（减函数），若，则（）例 9：已知函数在上是减函数，试比较与的大小。解：在上是减函数 及时演练：1、函数在上为增函数，在上为减函数，则= -8 。2、在上为增函数，在上为减函数，则= 7 。3、若函数在上单调递减，且，则实数的取值范围是。4、已知函数在区间上具有单调性，且，则方程在区间上（ D ） A、至少有一实根 B、至多有一实根 C、没有实根 D、必有唯一实根5、函数在和上递减，且，则的解集是 。6、是定义在上的增函数，则不等式的解集为题型五：抽象函数单调性的判断例 10：已知函数的定义域为，满足，且（

10、为常数）在区间上是减函数，判断并证明在区间上的单调性。解：设，则在区间上是减函数 即 则又 即在区间上是减函数。及时演练：1、设函数的定义在上的增函数，。若不等式成立，求函数的最小值为 2 。2、已知函数在区间上是增函数，对实数满足。求证：3、已知函数，当时，恒有，当时，试判断在上的单调性，并证明你的结论。 函数的奇偶性知能点全解：知能点一：函数奇偶性定义1、图形描述： 从函数的图像（右图一）和函数的图像（右图二）看到：函数的图像是关于轴对称，函数的图像是关于原点对称的。我们把函数图像关于轴对称的这一类函数叫做偶函数；图像是关于原点对称的这一类函数叫做奇函数。2、定量描述一般地，如果对于函数的

11、定义域内任意一个，都有，则称为偶函数；如果都有，则称为奇函数；如果与同时成立，那么函数既是奇函数又是偶函数；如果与都不能成立，那么函数既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。如果函数是奇函数或偶函数，则称函数具有奇偶性。特别提醒：1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。 2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤： （1）考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步； （2）判断与这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数

12、的奇偶性。例 1：判断下列函数的奇偶性：（1）； （2）； （3）； （4） 解：（1）函数的定义域，对称于原点.是奇函数（2）0，得1x1，其定义域不对称于原点 既不是奇函数也不是偶函数。（3）由得 的定义域为1，0）（0，1，关于原点对称。又 从而有=，这时有=，故为奇函数。（4）函数的定义域是，当时， 当时，-，故函数为奇函数。及时演练：1、已知五个函数：；。其中奇函数的序号为： 。2、判断下列函数的奇偶性： （1） （2）（3） （4）（1）既是奇函数又是偶函数； （2）奇函数； （3）奇函数； （4）奇函数。3、已知函数的定义域为，且满足，是判断奇偶性。知能点二：函数具有奇偶性的几个

13、结论1、是偶函数的图像关于轴对称；是奇函数的图像关于原点对称。 2、奇函数在有定义，必有。3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。4、是定义域为且要关于原点对称，那么就有以下结论：奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇5、复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。6、多项式函数的奇偶性多项式函数是奇函数的偶次项的系数和常数项全为零；多项式函数是偶函数的奇次项的系数全为零。例 2：下面四个结论：偶函数的图像一定与轴相交；奇函数的图像一定通过原点；偶函数的

14、图像关于轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是=0()，其中正确命题的序号为： 。例 3：若函数是奇函数，则0；若函数为偶函数，则0。及时演练：1、在下面的四幅图中，只画出了函数图像的一半，请你画出它们的另一半，并说出画法依据。2、直角坐标系内，函数的图像关于y轴对称 。3、定义在上的奇函数一定满足关系式 (D ) A、 B、 C、 D、 4、函数是奇函数，且在上是增函数，则下列结论正确的是（ D ） A、 B、 C、 D、5、设是上偶函数，且在是减函数，若，且，则（ A ） A、 B、C、 D、与的大小不确定6、已知函数是偶函数，其图像与轴有四个交点，则方程的所有实根之和为 0 。7、已知

15、是定义在上的任意一个增函数，则必定为（ A ） A、增函数且为奇函数 B、增函数且为偶函数 C、减函数且为奇函数 D、减函数且为偶函数8、若为偶函数，则在上函数的单调性为 在区间是增函数，在区间上是减函数 。9、已知函数是奇函数，定义域为，又在上为增函数，且，则满足的的取值范围是 。10、若是偶函数，则的递减区间是。11、已知函数为偶函数，则在上是（ A ） A、增函数 B、减函数 C、非单调函数 D、可能是增函数，也可能是减函数知能点三：抽象函数的奇偶性例 4：已知函数对一切，都有，（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称在中，令，得，令，得，即， 是奇

16、函数（2）由，及是奇函数，得及时演练：1、函数。若对于实数，都有。求证：为偶函数。2、设函数的定义域关于原点对称，且对于定义域内的任意，有，求证：为奇函数。3、定义在实数集上的函数，对任意，都有，且。（1）求证：；（2）判断函数的奇偶性。典型题型全解题型一：利用函数的奇偶性求函数值例 5： （1）若，且，求的值；（2） 若，且，求的值； 解：（1） 函数为偶函数 （2） 故例 6：设是定义在上的奇函数，当时，求的值。 解：由，将其中的用替换，可得： 是定义在上的奇函数， 当时， 及时演练：1、已知则 -26 。2、已知是定义在上的奇函数，且，又，则 -5 。3、若是定义在上的奇函数，且， 0

17、。4、设函数为奇函数，则 。5、函数，则= -3 。6、如果奇函数在区间上是增函数，且最小值是5，那么在上是（ B ） A、增函数且最小值为-5 B、增函数且最大值为-5 C、减函数且最小值为-5 D、减函数且最大值为-57、若、都是奇函数，在上有最大值5，则在上有（ C ） A、最小值-5 B、最大值-5 C、最小值-1 D、最大值-1 题型二：利用函数的奇偶性求函数的解析式例 5： 已知是上的奇函数，且当时，求的解析式。解：设，则 ，用替换中的 得：是上的奇函数 即当时 又是上的奇函数 综上所述：及时演练：1、若函数是偶函数，当时，则时， 。2、已知是定义在奇函数，且当时，则 。3、若奇函

18、数，当时，那么使得的的取值范围是 。4、设为偶函数，是奇函数，且，则 ； 5、已知函数是奇函数，当时，则当时，函数的最大值是 -1 。题型三：利用函数的奇偶性求函数的参数例 6：已知奇函数，求的值。解：函数是奇函数 解得：及时演练：1、已知函数是偶函数，则 1 ； 0 。2、已知奇函数求的值。幂函数知能点全解：一、定义：一般地，我们把形如的函数叫做幂函数，其中为常数。二、性质：1、所有的幂函数在都有定义，并且图像都通过点；2、如果，则幂函数的图像经过原点，并且在区间上为增函数；如果，则幂函数的图像不经过原点，并且在区间上为增函数3、幂函数的图像及其奇偶性：令（p、q互质）（p、q互质）p、q是

19、奇数p是奇数、q是偶数p是偶数、q是奇数三、如右图的大小关系为： 典型题型全解题型一：幂函数的基本概念和性质的辨析及时演练：1、下列函数中，定义域和值域不同的是（ D ）A、 B、 C、 D、2、下列命题中正确的是（ C ）A、当时，函数的图像是一条直线 B、幂函数的图像都经过点C、幂函数的图像不可能出现在第四象限 D、若幂函数是奇函数，则在其定义域上一定是增函数3、下列函数中，不是幂函数的是（ C ） A、 B、 C、 D、4、下列函数中，定义域为的是（ C ） A、 B、 C、 D、5、若有意义，则 。6、的定义域为 。7、值域是的函数是（ B ） A、 B、 C、 D、题型二 ：幂函数的

20、图像例 1：右图中是幂函数在第一象限的图像，已知取四个值，则相应于曲线的依次为（ B ） A、 B、 C、 D、及时演练：1、将填入对应图像下面。2、（为不为零的偶数，为奇数，且），那么它的大致图像是（ D ）（A） （B） （C） （D）3、在同一坐标系内，函数（）和的图像应是（ B ） （A） （B） （C） （D）4、函数的图像大致形状是：（ A ） （A）（B）（C）（D）5、幂函数（、为互质的正整数）图像如图，则、之间的关系为（ C ） A、为奇数， B、为奇数，为偶数，C、为奇数，为偶数， D、为偶数，为奇数，6、函数与的图像关于 对称。7、使成立的的取值范围为 且 。8、如果幂函

21、数的图像，当时，在直线上方，那么的取值范围为 。9、幂函数与的图像都经过定点 ，若它们在第一象限部分关于直线对称，则应满足的条件是 。题型三 ：函数值的大小比较例 2 ：比较下列各组数的大小（1）和；（2）和 ；（3）和； （4）和解：（1）函数在上为减函数，又，所以。（2），函数在上为增函数，又，则，所以。（3），函数在上为增函数，又，则，所以。（4），；所以。及时演练：1、比较下列各组数的大小（1） （）； （2） ； （3） 2、，则它们的大小关系为 。3、，则它们的大小关系为 。4、已知，则 。题型四 ：综合运用及时演练：1、已知幂函数的图像经过，求这个函数的解析式，并判断其奇偶性。解

22、：设幂函数为， 解得： 。所以函数的解析式为 函数的定义域为 函数为偶函数。2、已知幂函数为偶函数且在区间上是减函数。 （1）求的解析式； （2）讨论的奇偶性。解：（1）由幂函数在上是减函数，可知， 解得 由题意知，是偶数 所以 （2）由（1）可知， ， 故若，为非奇非偶函数；若，为奇函数；若，为偶函数； 若，为即奇又偶函数二次函数知能点全解：一、定义：形如的函数叫做二次函数。二、二次函数的三种表达形式： 1、一般式： 2、顶点式： 3、两根式：三、二次函数的图像和性质：1、图像：二次函数的图像是以为对称轴的抛物线，其开口方向由的符号确定，顶点坐标为。2、性质：二次函数的单调性以顶点坐标的横坐

23、标为分界，当时，的单调递减区间是，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是，的单调递减区间是四、二次函数的对称性： 如二次函数恒满足，则其对称轴为；特别地，当二次函数恒满足，则其对称轴为。五、函数的零点：1、定义：一般地，如果函数在实数处的值等于零即，则叫做这个函数的零点。对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）是函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。 2、二次函数的零点： （1）当时，二次函数有两个零点； （2）当时，二次函数有一个二重零点或二阶零点。 （3）当时，二次函数无零点。六、二分法： 1、定义：对于区间上连续

24、的，且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。 2、用二分法求函数零点的近似值 第一步：确定区间，验证：，给定精确度； 第二步：求区间得中点； 第三步：计算；若=0，则就是函数零点；若，则令；若，则令 第四步：判断是否达到精确度，即若，则得到零点近似值，否则重复第二、三、四步。七、对于函数的最值问题，最好用图像法，尤其当“轴变区间定”和“轴定区间变”时，这两种情况利用图像作参考找出讨论时分类的标准。“轴定区间也定”这种情况也可以不利用图像，若，则时有最小值，最大值是中较大者；若，则中较小者为最小者，较大者为最大值，即

25、最值在区间的端点处。八、我们在解一元二次不等式和时，二次项系数都变为正数，具体解法见下表：图像方程的解无解的解九、一元二次方程根的分布，具体情况见下表：根的分布图像充要条件根的分布在内有且仅有一个根图像充要条件或或十、方程在给定区间是否有实数解得判断方法： 1、确定函数的图像在区间上是连续不间断的； 2、计算的值并判断其符号； 3、若，则有实数解；4、有些问题除用上述方法外还需结合函数的图像来作出判断。十一、函数零点个数的确定方法： 1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成； 2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行； 3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间上是连续不间断的，且，还必须结合函数的图像和性质才能确定。函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。随堂演练：一、选择题：1、二次函数，若，则等于（ ） A、 B、 C、 D、2、已知函数在区间上是增函数，则的范围是（ ）A、 B、 C、 D、 3、设是关于m的方程的两个实根，则的最小值是（ ） A、 B、18 C、8 D、4、下列图中与的图像只可能是（ ） 5、已知函数且，则下列不等式中成立的是( )A、 B、 C、 D、 6、已知函数的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值区间是（ ）