北京航空航天大学控制工程综合真题部分答案修正

1、2004（九）系统动态方程如下其中是实常量参数，问 1，判断系统是否渐近稳定？为什么？ 2，参数取何值时系统BIBO稳定？为什么？解答：(1) A阵的特征值。在复平面的右半部，故系统不是渐近稳定。(2) =要BIBO稳定，则极点具有负实部，上式中含有极点1，故应当将其消去，故=此时2001（九） 系统动态方程为若.求及.解答: 由题中所给已知条件知: 其中 , , 故对式两边做拉普拉斯变换得 又已知, 故代入式得 对式两边做拉普拉斯反变换即得 将的表达式代入式得 , 2003(九)由单变量的对象、观测器和状态反馈组合而成的闭环系统。其方块图如题图所示，其中观测器的方程为：试建立闭环系统的动态方

2、程式，并求出闭环系 统的传递函数解答： 1 由题：由图：将代入和得：原来系统方程为几维，而状态观测器也为几维，所以整个闭环控制系统为2n维，为了写出整个闭环系统得动态方程，取状态变量为，由得闭环动态方程为：， 2 对的动态方程进行如下坐标变换： 变换后所得方程为：，利用式可算出闭环的传递函数： =2002（九）对象的动态方程为(1) 设计一个全维状态观测器，观测器的极点要求配置在-3，-4，写出观测器的表达式。(2) 若取状态反馈(其中K=(-2 -3),v是参考输入，为状态估计值)，求由对象，全状态观测器及状态反馈构成的闭环系统的传递函数。解答： （1） 设H阵为 观测器要求的特征多项式为

3、表达式 （2） 整个系统的方程 传递函数为2004（十）系统动态方程如下： 在输入 的作用下，如何选取 和初始状态 可使系统的输出y 恒为零。解答： y恒为零，则 2003（十）系统动态方程如下： 式中为实常数，试写出系统稳定时应满足的取值条件。 解答：(1)由劳斯判据知，当b>0,a>0,2b>a 时，传递函数的极点具有负实部，系统是BIBO稳定的。(2) 当有一个极点s=1时，有 即 ，b>-3 系统BIBO稳定。（3）当有两个极点s=1时，有 此时a,b应满足a=4,b=-7.因此系统BIBO稳定的条件为：2002（十）已知两个系统S1，S2的状态方程和输出方程分

4、别为： 若两个系统如图所示的方式串连，设串联后的系统为S。1 求题图所示串连系统S的状态方程和输出方程。2 分析系统S1、S2和串连后系统S的可控性、可观测性。解答：1由且，则可得，其中令系统S状态，则有2，则可控 可观 可观可控。 ，|S|=0,不可控可观2001（十）系统动态方程如下：（1） 判断系统的可控性、可观性；并求传递函数 。（2） 给定三组闭环极点，分别为 -1 ，-2 、 -3 ，-2 和 -1 ，-3 ；试找出可用状态反馈 u=kx 达到配置的极点组。解答：(1) 系统的可控性矩阵形为b Ab= ,其行列式值为0,故不可控.系统的可观性矩阵为= ,其行列式值为0,故不可观,传

5、递函数 =- (2) 由于系统不可控,则必定可以进行可控性分解,得出其可控子系统和不可控部分,令P= ,则 用,可逆线性变换即可得出可控性分解的标准形式. x+ u 符合 x + u 的形式.对于上三角矩阵, 的根为 和 的根,由于就是传递闭环特征方程,故闭环极点为 1, -1由可得 故的特征根,即极点-1是不能通过h=kx任意配置的,应保留,即可用状态反馈u=kx配置的极点组为 -1, -2 , -1, -3 2004（六）采样系统的闭环特征方程式为 求出闭环系统稳定时的取值范围。分析：采样系统判定稳定性的问题，常规是采用 判据。对于给定 为两个多项式乘积的形式，不要将其展开成一个多项式，分

6、别对两个式子采用 判据更简单，特别是如本题的情况，其中某个式子的根很容易求出，此时直接让根满足在Z域单位圆内就可以得到一个限定条件。 解答：令 其中 对 ，稳定的充要条件 其中 即 解得 对 稳定的充要条件是： 综合以上的，闭环系统稳定时 K 的取值 为 2003(五)采样系统的闭环特征式为判断该闭环系统的稳定性（要说明理由）。解答： 由闭环特征式可知该闭环系统的闭环传递函数有三个极点分别为其中的模为，故至少有两个闭环极点在单位圆外，所以该闭环系统不稳定。2003年（八） 已知系统动态方程如下:1.若初始条件， ,求状态。2.是否可以用状态反馈将A-bK的特征值配置到? 若可以,求出状态反馈增

7、益阵k和闭环传递函数.解答:1.2. 系统可控性判据s=(b Ab) 所以系统可控,则可通过状态反馈将A-bK的特征值配置到设反馈增益K=( )配置后系统特征式: 期望特征式: 闭环传递函数：2004年（八）已知系统动态方程如下： , 1. 判断系统的可控性和可观测性;2. 计算系统的传递函数;3. 给定两组闭环特征值分别为-1,-1,-1和-3,-2,-1,问哪组闭环特征值可以用状态反馈u=kx+v进行配置?为什么?(不要求计算k)解答:1. 可控性:由约当形可控性判据,-2所属约当块最后一行对应b中元素为0,所以系统不可控.(具体判断方法可参考书第395页)可观性: 由约当形可观性判据,

8、1所属约当块第一列对应c中元素为0,所以系统不可观.( 具体判断方法可参考书第406页)2. 传递函数：3. 由题中约当形知，-2所属约当块最后一行对应b中元素为0,特征值-2不可控,应保留,所以-3,-2,-1这组闭环特征值可以进行配置.2000（六）某二阶非线性系统的相平面和一条相轨迹如题图所示，图中原点O为平衡状态，OB段的相轨迹方程为 ，AB段为平行于x 轴的线段。求相点A运动到原点所需要的时间。解答：AB段 ： OB段： 得： 2000年（七）非线性系统如图2所示，其中非线性特性的描述函数： 试用描述函数法判断系统是否发生自振。 解答： 求与坐标轴交点 即： 时 与虚轴交于 对 时

9、实部趋近 虚部恒为 与 无交点，不可能发生自振。2002年（三）单位负反馈系统的开环传递函数为： 试作由零变化到正无穷时，闭环系统的根轨迹图。解答：（1） 由开环传递函数 可知开环零点为 开环极点为 故有三条根轨迹 ，分别起始于开环极点，终止于开环零点。 对于本题，有一条根轨迹终止于零点 另外两条终止于无穷远处 ， 由对称性可知，起始于的根轨迹终止于无穷远处，起始于 的根轨迹，终止于且 实轴上的根轨迹仅此一段，因为它符合其右边开环实数零，极点个数之和为奇数。（2） 画根轨迹的渐近线 （3） 根轨迹的起始角与终止角： 由 0 度根轨迹的定义知：把离开某极点的很靠近该极点的根轨迹上的一点看作闭环极

10、点，则在满足 的相角条件，对于 ，则有 对于 ，则有 （其实由对称性可知） 由于渐进线的限制，终止角为 ，且由实轴上的根轨迹段可知根轨迹在实轴上无会合点（分离点）（4）求根轨迹与虚轴交点 将 代入得 由实部，虚部均为0 可得 即为原点明显不在根轨迹上，故与虚轴交点就是极点。 （5）再由根之和法则就可得出如图所示的根轨迹。2001（八）采样系统如图3所示，求出的表达式。 解答： （1） 又由（1）式 得 2002（五）系统结构图如题五图所示，试选取值使系统具有阻尼比0.707，并选取 使得干扰N对系统输出没有影响。原解如下：任何带负反馈的闭环系统的最简形式均为其传递函数为，其中G（s）为前向通道

11、传递函数，又称开环传递函数，H（s）为反馈通道传递函数。1G（s）H（s）称为闭环特征多项式。二阶欠阻尼振荡的标准形式为转换到s变换域即将闭环特征多项式应具有的标准形式。对本题而言1G（s）H（s）有其中有将干扰N看作输入时，其前向通道传递函数为，闭环特征多项式与以R为输入时一致，故要使N对输出没有影响，只需令0即可，所以第二问的解答有误正确解法如下：用梅森公式:将干扰N看作输入时，其传递函数的分子为，传递函数分母（即闭环特征式）与以R为输入时一致，故要使N对输出没有影响，只需令 0即可，所以注意:在算前向通道时，对于由N直接到C 的前向通道，有一回路与之不接触，（如图回路I），计算时应注意。法二，比较繁琐，但不容易出错：将N的两条分路看作两个输入，类似于叠加定理，分别求传递函数，然后相加。更正2. 总第九期自控第七期的错误原题如下：斜体字正确，之后为修改的解答2003（七）非线性系统如图所示。试用描述函数法说明（要求作图）系统是否存在自振，并确定使系统稳定工作的初始范围（指x处的初始值）。解答： 右平面有一个极点求渐近线终止角为 时，得幅相图如下：求奈奎斯特曲线于实轴交点： 令虚部为0 =0 且，解得 ，代入 得交点描述函数 输入为X时 输出为 求傅立叶级数=