函数性质的综合运用常见题型与解题方法总结

1、函数性质的综合运用1.函数的图像与函数（）的图像所有交点的横坐标之和等于( )A2 B4 C6 D82.已知函数的周期为2，当时函数，那么函数的图像与函数的图像的交点共有( ) A10个 B9个 C8个 D1个【答案】A【解析】考查数形结合思想，在同一直角坐标系中作出两个函数的图像，故下图容易判断出两函数图像的交点个数为10个，故选择3.已知函数若互不相等，且则的取值范围是(A) (B) (C) (D) 【答案】C20【解析】命题意图：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力.作出函数的图象如右图，不妨设，则则.应选C.4. 设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）

2、5. 设函数f(x)=的最大值为M，最小值为m，则M+m=_答案： 2解析： 设为奇函数，由奇函数图像的对称性知考点定位：本题考查函数的性质,奇函数性质的应用，考查学生的转化能力.【最新考纲解读】1函数与方程结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法2函数模型及其应用比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解

3、函数模型的广泛应用3.函数性质主要是单调性、奇偶性的考查，有时也涉及周期性要求考生会利用单调性比较大小，求函数最值与解不等式，并要求会用定义证明函数的单调性新课标对函数的奇偶性要求降低了很多，故应重点掌握其基本概念和奇偶函数的对称性4.函数的图象主要是在选择与填空题中考查用数形结合法解题和识图能力，大题常在应用题中给出图象据图象求解析式5函数与方程、函数的应用主要考查：(1)零点与方程实数解的关系(2)函数的概念、性质、图象和方法的综合问题(3)导数与零点的结合；方程、不等式、数列与函数的综合问题(4)函数与解析几何知识的综合问题(5)常见基本数学模型，如分段函数，增长率、幂、指、对等【回归课

4、本整合】1.函数的奇偶性.（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法；利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）.图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称.（3）函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.若为偶函数，则.若奇函数定义域中含有0，则必有.2. 函数的单调性

5、1.函数单调性的定义：（1）如果函数对区间内的任意，当时都有，则在内是增函数；当时都有，则在内是减函数.（2）设函数在某区间内可导，若，则在D内是增函数；若，则在D内是减函数.单调性的定义（1）的等价形式：设，那么在上是增函数；在上是减函数；证明或判断函数单调性的方法：(1)定义法：设元作差变形判断符号给出结论.其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘积、平方和等形式，再结合变量的范围，假设的两个变量的大小关系及不等式的性质作出判断；(2)复合函数单调性的判断方法：即“同增异减”法，即内层函数和外层函数的单调性相同，则复合函数为增函数；若相反，则复合函数为减函数.解决问题的

6、关键是区分好内外层函数，掌握常用基本函数的单调性；（3）图象法：利用数形结合思想，画出函数的草图，直接得到函数的单调性；（4）导数法：利用导函数的正负来确定原函数的单调性，是最常用的方法.（5）利用常用结论判断：奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；互为反函数的两个函数具有相同的单调性；在公共定义域内，增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数;复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，特别提醒：求单调区间时，勿忘定义域， 3. 函数的周期性.（1）类比“三角函数图像”得：若图像有两条对称轴，则必是周期函数

7、，且一周期为；若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；（2）由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得：函数满足，则是周期为2的周期函数。4. 函数的对称性.满足条件f(a+x)=f(b-x) 的函数的图象关于直线对称. 点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为； 点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为； 点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为；点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为；曲线关于点的对称曲线的方程

8、为；形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点；的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到.5. 常见的图象变换函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的.函数(的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的.函数+的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单位得到的；函数+的图象是把函数助图象沿轴向下平移个单位得到的；函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的.函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原

9、来的倍得到的. 的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到. 特殊函数图象:(1)函数:可由反比例函数图象平移、伸缩得到.图1示例.图1图象是双曲线,两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)；对称中心是点.(2)函数：如图2.xyo图2图象类似“对号”，俗称对号函数.定义域；函数的值域为；函数为奇函数，图象关于原点对称；增区间为,减区间为.6.函数的零点（1）一般地，如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

10、f(a)·f(b)<0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根我们称方程f(x)0的实数根x叫做函数yf(x)(xD)的零点（2）函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，即方程f(x)0有实数根函数yf(x)有零点函数yf(x)的图象与x轴有交点（3）函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的实数根，也就是函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标一般地，对于不能使用公式求根的方程f(x)0，我们可以将它与函数yf(x)联系起

11、来，利用函数的图象、性质来求解【方法技巧提炼】1.研究函数的性质要特别注意定义域优先原则（1）具有奇偶性的函数定义域的特征：定义域关于原点对称.为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.（2）讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集.（3）讨论函数的周期性，一般情况下定义域是无限集.所以判断函数是否为周期函数，要在整个定义域上观察函数的图象.如求函数的周期,如果只观察y轴一侧的图象得到周期为那就错了，因为函数图象关于y轴对称，从整体看它不是周期函数.2. 函数的单调性（1）定义法和导数法的选择在解答题中，只能

12、应用定义法或导数法证明函数的单调性.定义法作为基本方法，但是证明过程有时比较繁琐；而导数法显得操作性比较强，对函数求导后判断导函数的正负即可.因此导数法是我们证明函数单调性的首选方法.（2）函数单调性总结：若，单调区间：增区间，减区间；若，单调区间：减区间，增区间;若，由于，单调性：增区间;若，由于，单调性：减区间.3.抽象函数的对称性和周期性（1）对于函数(),若恒成立,则函数的对称轴是.（2）若已知定义域在R上的函数的对称轴、对称中心，如何确定函数的周期？可类比“三角函数图象”得：若图象有两条对称轴，则是周期函数，且周期为；若图象有两个对称中心，则是周期函数，且周期为；如果函数的图象有一个

13、对称中心和一条对称轴，则函数是周期函数，且周期为.注意这里面提到的周期不一定是函数的最小正周期.这个知识点经常和函数的奇偶性联系到一起，已知函数为奇函数，意味着函数的图象关于原点对称；已知函数为偶函数，意味着函数的图象关于y轴对称.然后再推到函数的周期.(3)若已知类似函数周期定义式的恒等式，如何确定函数的周期？由周期函数的定义，采用迭代法可得结论：函数满足，则是周期为2的函数；若恒成立，则；若，则；，则.4.如何利用函数的解析式判断函数的图象利用函数的解析式判断函数的图象,可从下面几个角度去考虑：（1）讨论函数的定义域及函数的奇偶性和单调性；（2）考虑是否可由基本初等函数的图象变换作出图象；

14、（3）准确描出关键的点线(如图象与x、y轴的交点，极值点(顶点)，对称轴，渐近线，等等).5. 如何转换含有绝对值的函数 对含有绝对值的函数，解题关键是如何处理绝对值，一般有两个思路：一是转化为分段函数：利用分类讨论思想，去掉绝对值，得到分段函数.二是利用基础函数变换：首先得到基础函数，然后利用y=f(x)y=f(|x|)或y=f(x)y=|f(x)|，得到含有绝对值函数的图象.6.平移变换中注意的问题函数图象的平移变换，里面有很多细节，稍不注意就会出现差错.所以要从本质深入理解，才不至于模棱两可.(1)左右平移仅仅是相对而言的，即发生变化的只是本身，利用“左加右减”进行操作.如果的系数不是1

15、，需要把系数提出来，再进行变换;(2)上下平移仅仅是相对而言的，即发生变化的只是本身，利用“上减下加”进行操作.但平时我们是对中操作，满足“上加下减”;7.函数图象的主要应用函数图象的主要应用非常广泛，常见的几个应用总结如下：（1）利用函数图象可判断函数的奇偶性，求函数的单调区间、对称轴、周期等函数的性质；（2）利用函数和图象的交点的个数，可判断方程=根的个数；（3）利用函数和图象上下位置关系，可直观的得到不等式或的解集：当的图象在的图象的上方时，此时自变量的范围便是不等式的解集；当的图象在的图象的下方时，此时自变量的范围便是不等式的解集.8.函数零点的求解与判断判断函数yf(x)在某个区间上

16、是否存在零点，常用以下方法：(1)解方程：当对应方程易解时,可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理进行判断；(3)通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断9.函数零点的综合应用函数零点的应用主要体现了函数与方程的思想,函数与方程虽然是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0，然后通过方程进行研究许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决，函数与方程的思想是中学数学的基本思想【考场经验分享】1判

17、断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(x)f(x)而不能说存在x0使f(x0)f(x0)对于偶函数的判断以此类推3.在解决函数性质有关的问题中，如果结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研究函数的性质，就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了，对问题的解决有很大的帮助.（1）一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大，然后利用函数的奇偶性调整正负号，最后利用函数的单调性判断大小；（2）画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置，然后利用单调性

18、确定一段区间的图象，再利用奇偶性确定对称区间的图象，最后利用周期性确定整个定义域内的图象.4.把握函数的零点应注意的问题(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零(2)函数的零点也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标(3)一般我们只讨论函数的实数零点(4)函数的零点不是点，是方程f(x)0的根5.本热点常常命制成压轴的选择题，故难度较大，需要较强的解题能力和知识综合应用能力.涉及的数学思想丰富多样，故基础性的学生不易花费过多的时间，能力不够可适当放弃.另外，如果以抽象函数为背景，可采用抽象问题具体化得思路进行求解.如果涉及到范围问题的确定，可选择特指进行代入

19、验证的方法求解.【新题预测演练】1.函数的零点的个数为（ ）A0 B1C2D3【答案】B【解析】方法1：，在内必有一个零点又在上为增函数，有且仅有1个零点方法2：由得作出函数与的图象，知两函数的图象有且仅有一个交点，即方程有且仅有一个根，即函数有且仅有一个零点2.方程有解，则的最小值为 A.2 B.1 C. D.3.设a是函数的零点，若，则的值满足（ ）A B C D的符号不确定【答案】B【解析】画出与的图像可知当时，故4.若函数f(x) （）是奇函数，函数g(x) （）是偶函数，则（ ）A函数fg(x)是奇函数 B函数gf(x)是奇函数C函数f(x)g(x)是奇函数 D函数f(x)+g(x)

20、是奇函数【答案】C【解析】令，则故是偶函数；令，则，故是偶函数；令，则，故是奇函数；令，则，故不一定是奇函数.5.方程有解，则的最小值为 A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】方程等价为，即，当且仅当，即，取等号，所以选B.6. 已知函数在上是增函数，若，则的取值范围是 AB CD 7.已知是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数，若当时，则的值为（ ）AB-5CD-6【答案】C【解析】，即是周期为2的奇函数,.8.已知是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数，若当时，则的值为（ ）A B C D【答案】C【解析】，即f(x)是周期为2的奇函数9.若定义在R上的偶函数满足，且当时，则方程的解个数是（ ）A0个B2个C4个D6个10.已知函数是R上的偶函数，若对于，都有，则的值为A.B.C.1D.2【答案】C【解析】由函数是上的偶函数及时得11.已知函数是上的奇函数且满足，则 的值为A.0 B 1 C. 2 D.4【答案】A【解析】 5为函数的一个周期，1为函数的一个周期，12.已知函数，给出下列结论：函数f(x)的值域为；函数g(x)在0，1上是增函数；对任意a>0，方程f(x)=