工程力学电子教案

1、 研究对象研究对象 刚体刚体 研究内容研究内容 平衡平衡 运动运动 （外效应）外效应） 研究对象研究对象 变形固体变形固体研究内容研究内容 变形变形 内力内力 （内效应）（内效应）前三章内容学习指导如何用约束反力等效替换约束 正确画出研究对象的受力分析图牢记力的平移定理牢记合力矩定理什么是约束 约束的种类及画法非常熟练的应用力的平衡方程 刚体和力的概念刚体:在力的作用下，其物体内部任意两点之间的距离始终保持不变刚体是静力学中对物体进行分析所简化的力学模型力是物体间的相互机械作用. 力对物体作用效应外效应：使物体的运动状态发生改变；内效应：使物体的形状发生改变 力的三要素：力的大小、方向、作用线

2、力的单位：牛顿（N）或千牛（kN） 11 力力 力矩力矩 力偶力偶力矩力对物体的运动效应，包括力对物体的移动和转动效应，其中力对物体的转动效应用力矩来度量。力矩是力对物体的转动效应的度量力矩的表示力矩的矩心、力臂大小、转向、作用面正负号规定右手螺旋法则量纲单位：牛顿.米N.m或千牛.米kN.mdFFMo)(力偶定义: 两个大小相等，方向相反，且不共线的平行力组成的力系称为力偶。力偶的表示法力偶矩大小正负规定：逆时针为正单位量纲：牛米N.m或千牛米kN.m力偶的三要素 力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用面dFxFxdFFMoFMoFFMo)() ()() ,(力偶的基本性质力偶的基本性质力偶无

3、合力力偶中两个力对其作用面内任意一点之矩的代数和，等于该力偶的力偶矩力偶的可移动性：（保持转向和力偶矩不变）力偶的可改装性：（保持转向和力偶矩不变）力偶的等效平面力偶系合成平衡 力对点的矩与力偶矩的区别：力对点的矩与力偶矩的区别：相同处：力矩的量纲与力偶矩的相同。相同处：力矩的量纲与力偶矩的相同。不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改 变，但一个力偶的矩是常量。变，但一个力偶的矩是常量。联联 系：力偶中的两个力对任一点的系：力偶中的两个力对任一点的矩矩之和是之和是 常量，等于力偶矩。常量，等于力偶矩。公理一：力的平行四边形公理 作用在物体上同一点的两个

4、力可以合成为一个力，合力的作用点仍作用在这一点，合力的大小和方向由这两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线确定。 矢量表示法：FR=F1+F212 静力学公理静力学公理静力学公理二、三公理二：二力平衡公理公理二：二力平衡公理 作用于刚体上的两个力使刚体平衡的必要和充分条件是：这两个力的大小相等、方向相反、作用线重合。矢量表示法：F1=F2；推论推论 ( (三力汇交定理三力汇交定理) ) 当刚体在三个力作用下当刚体在三个力作用下时，设其中两力时，设其中两力的作用线相交于某点，则第三力的作用线必定也通的作用线相交于某点，则第三力的作用线必定也通过这个点。过这个点。F F1 1F F3 3R R1

5、1F F2 2A A= =证明：证明：A A3 3F F1 1F F2 2F F3 3A A3 3A AA A2 2A A1 1 公理三：加减平衡力系公理 可以在作用于刚体的任何一个力系上加上可以在作用于刚体的任何一个力系上加上或去掉几个互成平衡的力，而不改变原力或去掉几个互成平衡的力，而不改变原力系对刚体的作用。系对刚体的作用。推论推论 ( (力在刚体上的可传性力在刚体上的可传性) ) 作用于刚体的力，其作用点可以沿作用线作用于刚体的力，其作用点可以沿作用线在该刚体内前后任意移动，而不改变它对该刚在该刚体内前后任意移动，而不改变它对该刚体的作用体的作用= = =F FA AF F2 2F F

6、1 1F FA AB BF F1 1A AB B静力学公理四、五 公理四公理四：作用于反作用公理 任何两个物体相互的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一条直线，分别作用在这两个物体公理五公理五：刚化原理 若变形体在某一力系作用下平衡，则可将此受力的变形体视为刚体，其平衡状态仍保持不变。T反力 : 沿着绳索背离物体2 . 光滑支承面 :N反力 : 沿着支承面的公法线指向物体3 . 固定铰链支座：XO YO 反力 : 若被铰物体不是二力杆则正交分解N1 . 柔索 （绳子、皮带、链条等）: 若铰链的两部分都是活动的，则称为中间铰，两部分互为约束。拆开铰链时，一部分对另一部分的约束同固定铰

7、链支座。13 约束和约束反力约束和约束反力 约束反力作用在接触点处作用在接触点处，方向沿公法线沿公法线，指向受力指向受力物体物体是向点而来的力向点而来的力。2.光滑接触面的约束光滑接触面的约束 ( (光滑指摩擦不计光滑指摩擦不计) )PNNPNANB4 . 滚动支座 :N反力 :沿着支承面的公法线方向1)向心颈轴承 :3)球轴承 : 5 . 轴承 :2)止推轴承 :反力:垂直于轴向两正交分力XO ZO 反力:正交三分力XO ZO YO 反力:正交三分力XO ZO YO 滑槽与销钉滑槽与销钉固定铰支座固定铰支座 链杆约束链杆约束RA 光滑向心颈轴承光滑向心颈轴承AAAXAYAA固定铰支座的几种表

8、示固定铰支座的几种表示:滚动铰支座（辊轴支座）的几种表示滚动铰支座（辊轴支座）的几种表示:14 14 受力分析和受力图受力分析和受力图画受力图的方法与步骤：画受力图的方法与步骤：1 1、取分离体（研究对象）、取分离体（研究对象）2 2、画出研究对象所受的全部主动力（使物体产生、画出研究对象所受的全部主动力（使物体产生 运动或运动趋势的力）运动或运动趋势的力）3 3、在存在约束的地方，按约束类型逐一画出约束、在存在约束的地方，按约束类型逐一画出约束 反力（研究对象与周围物体的连接关系）反力（研究对象与周围物体的连接关系）作业要求: 思考题为必做题思考题为必做题第一章 思考题1-11-10 习题

9、1-1(d) 1-3(4)(5)(6) 1-4合成的几何法：合成的几何法：A AF F2 2F F1 1F F4 4F F3 3表达式：表达式：R RF F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DF F4 4E EA AF F1 1、F F2 2、F F3 3、F F4 4 为平面共点力系：为平面共点力系：4321FFFFR21 平面汇交力系合成与平衡平面汇交力系合成与平衡 把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。为力链）。加上一封闭边，就得到一个多边形，称加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。为力多边形。力的多边形规则：力的多

10、边形规则：R RF F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DF F4 4E EA A 空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空间图形。间图形。给实际作图带来困难。给实际作图带来困难。R RF F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DF F4 4E EA A1 1、共点力系的合成结果、共点力系的合成结果 0F 该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。的矢量和等于零。 共点力系可以合成为一个力，合力作

11、用在力系共点力系可以合成为一个力，合力作用在力系的公共作用点，它的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边形的封闭边表示。力系的力多边形的封闭边表示。nii1F矢量的表达式矢量的表达式：R = F1+ F2+ F3+ + Fn2 2、共点力系平衡的充要几何条件：、共点力系平衡的充要几何条件： 反之，当投影反之，当投影Fx 、Fy 已知时，则可求出已知时，则可求出力力 F F 的大小和方向：的大小和方向：力在坐标轴上的投影：力在坐标轴上的投影：cosxFF cosFFy2y2xFFFFFFFyxcos cos结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与结论

12、：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间夹角的余弦。该轴正向间夹角的余弦。y y b b a a a ab bF FO Ox xB BF Fx xF Fy yA AF F2 2F F1 1(a)(a)F F3 3F F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b) 合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。同一轴上的投影的代数和。证明：证明： 以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力F F1 1、F F2 2、F F3 3 如图。如图。合力投影定理：合力

13、投影定理：合力合力 R 在在x 轴上投影：轴上投影：F F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b) 推广到任意多个力推广到任意多个力F1、F2、 Fn 组成的平面组成的平面共共点力系，可得：点力系，可得：a ab bc cd d各力在各力在x 轴上投影：轴上投影：abFx1bcFx2dcFx3dcbcabadRxxxxxFFFR321xnxxxxxFFFFFR321xnxxxFFFFR21xynyyyyFFFFR21 合力的大小合力的大小2222yxyxFFRRR合力合力R R 的方向余弦的方向余弦 cos , cosRFRRRFRRyyxx根据合力投影定

14、理得根据合力投影定理得共点力系平衡的充要解析条件：共点力系平衡的充要解析条件： 力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。投影的代数和分别等于零。平面共点力系的平衡方程平面共点力系的平衡方程: : 0 xF 0yF例题例题 2-12-1已知各分力的大小及方向,求其合力的大小及方向. 解:用解析法求图示平面汇交力系的合力04404403303302202201101145sin45cos;45sin45cos60sin60cos;30sin30cosFFFFFFFFFFFFFFFFyxyxyxyx解：NFyFNFxFRyRx3 .1123

15、 .129NFFFRyRxR3 .17122040.9753 .1293 .112arctgFFarctgRxRyFR3030B BP PA AC C3030 a a 解：解：1. 1. 取滑轮取滑轮B B 轴销作为研究对象。轴销作为研究对象。2. 2. 画出受力图（画出受力图（b)b)。S SBCBCQ QS SABABP Px xy y30303030 b b B B例题例题 2-22-2 利用铰车绕过定滑轮利用铰车绕过定滑轮B B的绳子吊起一重的绳子吊起一重P=P=20kN20kN的货物，的货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆滑轮由两端铰链的水平刚杆AB AB 和斜刚杆和斜刚杆BC BC 支持

16、于点支持于点B B ( (图图( (a a) ) )。不计铰车的自重，试求杆不计铰车的自重，试求杆AB AB 和和BC BC 所受的力。所受的力。3. 3. 列出平衡方程：列出平衡方程：00yxFF4. 4. 联立求解，得联立求解，得 反力反力S SAB AB 为负值，说明该力实际指向与图上假为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆定指向相反。即杆AB AB 实际上受拉力。实际上受拉力。 030sin30con QSSABBC030 cos60 cosQPSBCS SBCBCQ QS SABABP Px xy y30303030 b b B BkN5 .54ABSkN5 .74BCSF

17、 F1 1F F2 2d d一、一、 力偶和力偶矩力偶和力偶矩1 1、力偶、力偶大小相等的二反向平行力。大小相等的二反向平行力。 、作用效果：引起物体的转动。、作用效果：引起物体的转动。、力和力偶是静力学的二基本要素、力和力偶是静力学的二基本要素。 力偶特性二：力偶特性二： 力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶等效），因而也只能与力偶平衡。等效），因而也只能与力偶平衡。力偶特性一：力偶特性一：力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为一个力。一个力。22 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡2 2、力偶臂、力

18、偶臂力偶中两个力的作用线力偶中两个力的作用线 之间的距离。之间的距离。3 3、力偶矩、力偶矩力偶中任何一个力的大力偶中任何一个力的大 小与力偶臂小与力偶臂d d 的乘积，加上的乘积，加上 适当的正负号。适当的正负号。F F1 1F F2 2d d力偶矩正负规定：力偶矩正负规定： 若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩取正号；反之，取负号。取正号；反之，取负号。量纲：力量纲：力长度，牛顿长度，牛顿米（米（N Nm m）. .FdM二、力偶的等效条件二、力偶的等效条件 1. 1. 同一平面上力偶的等效条件同一平面上力偶的等效条件F Fd dF F d d 因此

19、，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。= = 作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。2. 2. 平行平面内力偶的等效条件平行平面内力偶的等效条件 空间力偶作用面的平移并不改变对刚体的效应。空间力偶作用面的平移并不改变对刚体的效应。1 1、概念：、概念： 用来表示力偶矩的大小、转向、作用面的有向线段。用来表示力偶矩的大小、转向、作用面的有向线段。2 2、力偶的三要素：、力偶的三要素： (1)(1)、力偶矩的大小。、力偶矩的大小。 (2)(2)、力

20、偶的转向。、力偶的转向。 (3)(3)、力偶作用面的方位。、力偶作用面的方位。3 3、符号：、符号：M三、力偶矩矢三、力偶矩矢F FF FM右手规则右手规则4 4、力偶矩矢与力矢的区别、力偶矩矢与力矢的区别力偶矩矢是自由矢量，而力矢是滑动矢量。力偶矩矢是自由矢量，而力矢是滑动矢量。M 指向人为规定，力矢指向由本身所决定。指向人为规定，力矢指向由本身所决定。5 5、力偶等效定理又可陈述为、力偶等效定理又可陈述为: :力偶矩矢相等的两个力偶是等效力偶。力偶矩矢相等的两个力偶是等效力偶。 平面力偶系平衡的充要条件：各力偶的力偶矩代数和等于零。 M=M力的平移定理 作用在刚体上某点的力，可以平移至刚体

21、上任意一点，但同时必须增加一个附加力偶，该力偶的力偶矩等于原力对该点之矩。M=?M=+Fd23 平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向作用面内一点简化 几个性质：几个性质：1 1、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶的矩的大小与正负一般要随指定加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O O点的位点的位置的不同而不同。置的不同而不同。2 2、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力。大小相等的平行

22、力。3 3、力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一、力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。 A A3 3O OA A2 2A A1 1F F1 1F F3 3F F2 21F2F3Fl1O Ol2l3RMOO O= = = 应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点点O O 。从而这力系被分解为平面共点力系和平面力。从而这力系被分解为平面共点力系和平面力偶系。这种变换的方法称为力系向给

23、定点偶系。这种变换的方法称为力系向给定点O O 的简化的简化。点。点O O 称为简化中心。称为简化中心。 力系向给定点力系向给定点O O 的简化的简化 共点力系共点力系F F1 1 、 F F2 2 、 F F3 3 的合成结果为一作用点在的合成结果为一作用点在点点O O 的力的力R R 。这个力矢。这个力矢R R 称为原平面任意力系的主矢。称为原平面任意力系的主矢。 附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶，这力偶的矩用偶，这力偶的矩用M MO O 代表，称为原平面任意力系对代表，称为原平面任意力系对简化中心简化中心 O O 的主矩。的主矩。3213

24、210FmFmFmMMMMooo321321FFFFFFR结论：结论： 平面任意力系向面内任一点的简化结果，是平面任意力系向面内任一点的简化结果，是一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中心一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中心的主矩。的主矩。推广：推广：平面任意力系对简化中心平面任意力系对简化中心O O 的简化结果的简化结果主矩：主矩：FFFFRn21 FmFmFmFmMonooo210主矢：主矢： 几点说明：几点说明：1 1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。中心的位置无关。2 2、平面任意力系的主矩与简化中心、平面任意力系的主矩

25、与简化中心O O 的位置的位置有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。指明简化中心。方向余弦：方向余弦：2 2、主矩、主矩M Mo o可由下式计算：可由下式计算：主矢、主矩的求法：主矢、主矩的求法：1 1、主矢可用力多边形规则作图求得，或用解析、主矢可用力多边形规则作图求得，或用解析 法计算。法计算。 FmFmFmFmMonooo2102222yxyxFFRRRRFxRx,cosRFyRy,cos= = =M MO OO ORO ORR RR RM Mo o A AO OR R RM MM M A A1 1、R R =0=0，而，而M MO O

26、00，原力系合成为力偶。这时力系主，原力系合成为力偶。这时力系主矩矩M MO O 不随简化中心位置而变。不随简化中心位置而变。2 2、M MO O=0=0，而，而R R 00，原力系合成为一个力。作用于点，原力系合成为一个力。作用于点O O 的力的力R R 就是原力系的合力。就是原力系的合力。3 3、R R 00，M MO O00，原力系简化成一个力偶和一个作用，原力系简化成一个力偶和一个作用于点于点O O 的力。这时力系也可合成为一个力。的力。这时力系也可合成为一个力。说明如下：说明如下：简化结果的讨论简化结果的讨论 RFmRMAO00综上所述，可见：综上所述，可见：4 4、 R R =0=

27、0，而，而 M MO O=0=0，原力系平衡。，原力系平衡。、平面任意力系若不平衡，则当主矢主矩均不、平面任意力系若不平衡，则当主矢主矩均不为零时，则该力系可以合成为一个力。为零时，则该力系可以合成为一个力。 、平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主、平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主矩不为零时，则该力系可以合成为一个力偶矩不为零时，则该力系可以合成为一个力偶。 平面任意力系的合力对作用面内任一点的平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩，等于这个力系中的各个力对同一点的矩的矩，等于这个力系中的各个力对同一点的矩的代数和。代数和。合力矩定理合力矩定理 FmRmoo yoxooFmFmFmxx

28、oyFFmyyoxFFmyxOyFxFFxyAB qlxqFl021dqlxq qlxxqFh0dlh32q 0 , 0 , 0FoyxmFF平衡方程其他形式：平衡方程其他形式： 0 , 0 , 0 FFBAxmmF 0 , 0 , 0FFFCBAmmm注意注意:A:A、B B 两点两点的连线不能和的连线不能和x x 轴相垂直。轴相垂直。注意注意: : A A、B B、C C 三点不能共线。三点不能共线。平面任意力系平衡的充要条件：平面任意力系平衡的充要条件： 力系的主矢等于零力系的主矢等于零 ，又力系对任一点的主矩也，又力系对任一点的主矩也等于零。等于零。平衡方程：平衡方程：2.4 2.4

29、平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程解：解：1 1、取梁、取梁ABAB为研究对象。为研究对象。2 2、受力分析如图，其中、受力分析如图，其中Q Q= =q q. .ABAB=100=1003=300N3=300N；作；作用在用在ABAB的中点的中点C C 。B BA AD DQ QF FAyAyF FAxAxF FD DC CM My yx xB BA AD D1m1mq q2m2mM M例题例题 梁梁ABAB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度已知载荷集度q q = 100N/m = 100N/m，力偶矩大小，力偶矩大小

30、M = 500 NM = 500 Nm m。长度长度AB AB = 3m= 3m，DBDB=1m=1m。求活动铰支。求活动铰支D D 和固定铰支和固定铰支A A 的反力。的反力。3 3、列平衡方程：、列平衡方程：:0 xF0AxF:0yF0DAyFQF :0FmA0223MFQD4 4、联立求解：、联立求解： F FD D= 475 N= 475 N F FAxAx= 0= 0 f fAyAy= -175 N= -175 NB BA AD DQ QF FAyAyF FAxAxF FD DC CM My yx x一、几个概念：一、几个概念：1 1、物体系、物体系 由若干个物体通过约束组成的系统由

31、若干个物体通过约束组成的系统2 2、外、外 力力 物体系以外任何物体作用于该系统的力物体系以外任何物体作用于该系统的力3 3、内、内 力力物体系内部各物体间相互作用的力物体系内部各物体间相互作用的力二、物体系平衡方程的数目：二、物体系平衡方程的数目： 由由n n个物体组成的物体系，总共有不多于个物体组成的物体系，总共有不多于3 3n n个独立个独立的平衡方程。的平衡方程。 物体系的静定与超静定问题的概念物体系的静定与超静定问题的概念静定静定超静定超静定超静定超静定超静定超静定 三、静定与超静定概念：三、静定与超静定概念： 1 1、静定问题、静定问题 当系统中未知量数目等于或少当系统中未知量数目

32、等于或少于独立平衡方程数目时的问题。于独立平衡方程数目时的问题。 2 2、超静定问题、超静定问题 当系统中未知量数目多于独立当系统中未知量数目多于独立平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。 设一物系由 n 个物体构成,则每个物体可列出3个独立的平衡方的未知量多于3n个,则为超静定系统.本章不讨论超静定系统. 内约束力是成对出现的,作用力与反作用力的关系应予考虑. 物系: 由若干个物体所组成的物体系统 内约束, 内力, 外力 物系平衡时物系平衡时,构成物系的每一个物体都必然平衡构成物系的每一个物体都必然平衡. 物系的平衡: 解决物系的平衡问题的基本方

33、法是将物系拆开成若干个单个物体,对每个物体列平衡方程,联立求解.解题须知解题须知: 对于物系问题，是先拆开还是先整体研究，通常：对于构架，若其整体的外约束反力不超过4个，应先研究整体；否则，应先拆开受力最少的哪一部分。对于连续梁，应先拆开受力最少的哪一部分，不应先整体研究。 拆开物系前，应先判断系统中有无二力杆，若有，则先去掉之，代之以对应的反力。在任何情况下，二力杆不作为研究对象，它的重要作用在于提供了力的方向。 拆开物系后，应正确的表示作用力和反作用力之间的关系、字母的标注、方程的写法。 对于跨过两个物体的分布载荷，不要先简化后拆开，力偶不要搬家。 定滑轮一般不要单独研究，而应连同支撑的杆

34、件一起考虑。 根据受力图，建立适当的坐标轴，应使坐标轴与尽可能多的力的作用线平行或垂直，以免投影复杂；坐标轴最好画在图外，以免图内线条过多。 取矩时,矩心应选在尽可能多的未知力的交点上,以避免方程中出现过多的未知量。MA BMqA例1:图示连续梁,求A、B、C三处的约束反力。MlqCBAl解：先以BC为研究对象，做受力图列平衡方程000mYXFbx=0Fby+FC-ql=0FCl-ql2/2=0000mYXFax-Fbx=0Fay-Fby=0MA+M-Fbyl=0联立求解即可。BCFC Fby Fbx BAFbx Fby Fax Fay 再研究AB：（或整体ABC）ABCaaMq2a例2:梁如

35、图所示，求A、B、C三处的反力。解:先拆开BC:Fbx Fby 2F 0 00 002 02qaFqaFFYFXqaaFmbyCCbybxCBMqaMqaqaFYFXMqaMaFmAayCaxACA2ay2 , 23F 02F 00 0022 0再整体:BCFC Fax Fay MAFC 解：解：1 1、取、取AC AC 段研究，受力分析如图。段研究，受力分析如图。例3:三铰拱桥如图所示，由左右两段借铰链三铰拱桥如图所示，由左右两段借铰链C C 连接起连接起来，又用铰链来，又用铰链A A、B B 与基础相联结。已知每段重与基础相联结。已知每段重G G=40 =40 kNkN，重心分别在，重心分

36、别在D D、E E 处，且桥面受一集中载荷处，且桥面受一集中载荷P P=10 =10 kNkN。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链中的。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链中的力。尺寸如图所示，单位是力。尺寸如图所示，单位是m m。P P3 3DEABCN NCyCyN NCxCxN NAyAyN NAxAxDAC:0 xF0CxAxNN:0yF0GNNCyAy :0FmC0566GNNAyAx列平衡方程：列平衡方程：2 2、再取、再取BC BC 段研究，受力分析如图。段研究，受力分析如图。列平衡方程：列平衡方程：:0 xF0BxCxNN:0yF0GPNNByCy06653BxByNNG

37、P :0FmCyNCNCxByNBxNP PBCEN NCyCyN NCxCxN NAyAyN NAxAxDACCyCyCxCxN NNN , 联立求解：可得联立求解：可得 N NAxAx= -N= -NBx Bx = N= NCx Cx = = 9.2 kN9.2 kN N NAyAy= = 42.5 kN42.5 kN N NByBy= = 47.5 kN47.5 kN N NCyCy= = 2.5 kN2.5 kN N NCx Cx 和和 N N CxCx、 N NCy Cy 和和 N N CyCy是二对作用与反作用力。是二对作用与反作用力。 2.6 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡

38、问题摩擦按物体间的运动状态分滑动摩擦滚动摩擦静滑动摩擦动滑动摩擦一. 静滑动摩擦定律FPN摩擦力F: 方向: 恒与物体相对滑动的 趋势方向相反 大小: 一般状态下由平衡方程确定,当物体处于将动未动的临界状态 时,由静滑动摩擦定律计算.Fmax=NfN:法相反力f:静滑动摩擦系数,为常数,由材料决定1 滑动摩擦G 因此, 0 F Fmax作用位置: 作用在两物体的接触面上沿公切线二. 动滑动摩擦定律F =N f N:法相反力f :动滑动摩擦系数,为常数,由材料决定f f2. 带有摩擦的平衡问题 带有摩擦的平衡问题的解法与平面一般力系的解法基本相同,只是在分析受力时要考虑摩擦力,并正确地判断出摩擦

39、力的方向,考虑临界状态并补充摩擦定律.其结果往往有一个范围.例: 重为G的物体放在倾角为的斜面上,今在该物体上作用一水平力Q,问能使该物体保持平衡时Q的范围.已知 f=0.5.解: 解除约束,作受力图 考察该物体可能的运动趋势,分别考虑每一运动趋势,画出对应的摩擦力, 建立适当的坐标系,列平衡方程.NF1 F2 G若不告诉物体的尺寸,则属汇交力系,否则属于一般力系. 在临界状态并补充摩擦定律 Fmax=Nf 将各种趋势的结果比较分析,得出待求的范围.Q(1). 下滑时:摩擦力朝上xy00YXQcos+F-Gsin=0-Qsin+N-Gcos=0Fmax=NfQ1=G(sin-fcos)/(co

40、s+fsin)(2). 上滑时:摩擦力朝下Q2=G(sin+fcos)/(cos-fsin) Q1 Q Q2FR3 . 摩擦角与自锁现象GPN全反力: R = N + F 由于 0 F Fmax N R N+ Fmax 把全反力的最大值Rmax与法线N间的夹角maxmax称为摩擦角,用表示maxmaxfNNfNFtgm由图可知:可见,摩擦角与摩擦系数f 一样也是表示材料表面性质的一个常量.当物体的滑动趋势方向改变时,全约束反力作用线的方位也随之改变,当物体在支承面内有各个方向滑动的趋势时,则全反力的最大值Rmaxmax作用线将画出一个以接触点为顶点的圆锥面-摩擦锥摩擦锥的顶角为 2 max,m

41、ax,由于F不可能超过最大值,所以,全反力R的作用线也不可能超出摩擦角以外,即.物体平衡时,全反力R必在摩擦角以内.FmaxmaxRmaxmax2 maxmax 因此 : 如果作用于物体上的主动力的合力作用线落在摩擦角以内,则不论这个力多么大, 物体都能够平衡; 这种现象称为自锁现象. 反之如果主动力的合力作用线落在摩擦角以外,则不论这个力多么小, 物体都不能够平衡.(可用二力平衡原理解释)摩擦角的概念被广泛的使用: (1) 摩擦系数的测定 (2) 螺旋千斤顶的自锁条件 (3) 沙堆成型的过程概念题：图示物快重G，一力P作用在摩擦角m之外，已知=300，m=200，G=P，问物快能否保持平衡？

42、为什么？PGm答：能，因为主动力P、G的合力作用线落在摩擦角之内概念题： 长方形均质块尺寸如图，放在斜面上，当增加到m ( ) 时处于临界状态，求此时静滑动摩擦系数 f 及 b/a 的范围。541 tgmba解:5454mmtgabtgf练习题：图示结构在力偶 M=pl 的作用下处于临界状态，求C处静滑动摩擦系数 f 及 A处的反力。杆自重不计。pRRCA32ABC600600M= plBC= lRARC解：BC为二力杆3330otgf练习题： 无重杆AB搁在不计自重的圆柱体上，求不论P多大都不能使圆柱被挤出的各接触面的摩擦角，表成与的关系。NF解：只要2sin2cosNF则不会被挤出。 :

43、tgtg :222sin2cos即即NNfPA练习题：两根同重等长的均质杆在B点绞接，C点靠在墙上，f=0.5，求平衡时的角=?解:研究整体， 分析受力:ABCPNFXAYAP02cos222sin20lPlNMA 再研究BC， 分析受力:02cos2cos22sin 0FllPlNMB128421. 或 ctgNfF- : 解得练习题：图示折梯，两角的fA=0.2， fB=0.6，AC中间D点作用力P=500N，不计梯重，问能否平衡？若能， FA、 FB各为多少？ABCDP BC为二力杆，受力如图，由平衡方程：NANBFAFB解：先整体：12503750BAB NY NMNC17.72312

44、5BF17.7275 :maxBBBBFfNF而能平衡， FA= FB=72.17N。练习题：一扇形摇椅底腿半径为r，顶角600，重Q=100N，重心在C点，OC=r/2，在O点加水平力P并逐渐增加，问摇椅是先滑动还是先翻倒？就f=0.2和0.3两种情况考虑；若先滑动，OC与铅直成何角度？若先翻倒，此时F=？600ABOCPQ600ABOCPQNF解：依题意画图，D20sin2Pr000Nf临界时 FrQ MN QYF PXmDf =0.2时:62352sin. 解得: 此种情况下，先滑动.f =0.3时:30sin2Pr000Nf临界时 FrQ MN QYF PXmD87.366 . 0si

45、n 解得: 当=300时，摇椅处于将翻未翻的临界状态；图示结构不可能超过300，所以此种情况下，先翻倒。此时：2530sin2FrQF P Pr练习题：图示折梯，两角的fA=0.2， fB=0.6，AC中间D点作用力P=500N，不计梯重，问能否平衡？若能， FA、 FB各为多少？ABCDP BC为二力杆，受力如图，由平衡方程：NANBFAFB解：先整体：12503750BAB NY NMNC17.723125BF17.7275 :maxBBBBFfNF而能平衡， FA= FB=72.17N。maxNsmaxNNN2FFFfFFFFFFBABA 022, 00, 00, 0NNNdFdFFFa

46、MFFFFFFFABBDBAyBAxFBBAAFfFFfFNsNsslim2 fbasflim2 cot2fbba第二章 思考题2-12-10 习题 单号题OFx= X=FcosFx 第第3 3章章 空间力系空间力系zyFy= Y=FcosFz= Z=Fcos二次投影法:Fx= X=FsincosFy= Y=FsinsinFz= Z=FcosFZFYFXZYXFcoscoscos222一.力在空间的表示: 各力的作用线在空间任意分布且交于同一点.31 空间中的力、力矩与力偶空间中的力、力矩与力偶OFxzyFx x=Xi iFy y=Yj jFz z=Zk kF=Xi i+ Yj j + Zk

47、k 空间汇交力系用几何法合成并不方便,因为空间几何图形不易表示. 所以常用解析法. 将空间汇交力系的各力分别投影到空间直角坐标系的三个轴上,根据矢量投影法则,合力在某轴上的投影等于各个分力在该轴上投影的代数和:Rx= XRy= YRz= ZRZRYRXZYXRcos cos cos)()()(222，Fxy R= = Fi合力投影定理:C300zyxoBADG000ZYX上式即为空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系平衡 R = 0R = 0例:等长杆BD、CD铰接于D点并用细绳固定在墙上A点而位于水平面内，D点挂一重G的物块，不计杆重，求杆及绳的约束反力。T-Tsin300cos450-SCD=

48、0-Tsin300sin450-SBD=0Tcos300-G=0SBD SCD 解：研究力的汇交点D（空间力系不用取隔离体） 画受力图各力偶在空间任意分布 空间力偶系一.空间力偶的等效条件(对平面力偶的性质进一步扩展) 作用于同一刚体上两平行平面内的两个力偶,若其力偶矩大小相等,转向相同,则两力偶等效.即:空间力偶可以向平行平面内搬动.F1 F1 abFF F=2F1dc利用两个反向平行力的合成结论F1 F1 abF2 F2F2 F2cdm矢量的长度表示力偶矩的大小,矢量的指向与力偶的转向成右手系, 矢量的方位于力偶作用平面垂直. 力偶矩矢为自由矢量,与作用位置无关,既可以在同平面内移动,又可

49、在平行平面内搬动.空间力偶的等效条件: 两力偶矩矢相等.m3 m2 m1 mn m3 m1 mn zyxom2 zyxoM合力偶矩矢合力偶矩矢 M=mM=mi i 合力偶投影定理: 将空间力偶系的各力偶矢分别投影到空间直角坐标系的三个轴上,根据矢量投影法则,合矢量在某轴上的投影等于各个分矢量在该轴上投影的代数和:Mx= mxMmMmMmmmmMzyxzyxcos ,cos ,cos)()()(222My= myMz= mz空间力偶系的平衡条件:M=0=0 mx =0 my =0 mz =0空间力偶系的平衡方程:zFz Fxy Fy FFx y 力F使物体绕z轴转动的效应称为力对轴之矩,记为:

50、mz(F)=FxOA =Fxyh oAhxB显然:力与轴平行,无矩 力与轴相交,无矩即: 力与轴位于同一 平面内时,无矩合力矩定理: mz(R)=mz(Fi)rzyxo力对轴之矩的解析式: (x,y,z).FdXFm0( F)= rF YZzyxmx(F)=yZ - zYmY(F F)=zX - xZmz(F)=xY- yXzyxo.A(x,y,z)矢量的长度表示力矩的大小,矢量的指向与力矩的转向成右手系, 矢量的方位于力矩作用平面垂直. 定位矢量,与作用位置有关.m0( F)力对点矩矢的解析式F=Xi i+Yj j+Zk kr=xi i+yj j+zk kmm0( F F)= r rF F

51、= (= (yZ - Zy) i i+ (zX - xZ) j j +(xY- yX)k k ZYXzyxk kj ji i力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影等于力对该轴之矩.空间一般力系: 各力的作用线在空间任意分布.33 空间任意力系空间任意力系F3 F2 F1 Fn .OF3 F1 Fn F2 .Om mn m m2 m m1 m m3 .OR, , M0 主矢主矢 R=F 与简化中心位置无关 主矩主矩 M0=m= mo(Fi) 与简化中心位置有关222)()()(ZYXR222222)()()()()()(zyxzoyoxommmFmFmFmM二.简化结果讨论,合力矩定理(略)000

52、000zyxmmmZYX例:重为G的均质正方形板置于水平面内,求球铰链O和蝶铰链A处的反力及绳的拉力.AzyxoB300AzyxoB300T 解:研究板,分析受力GZA XA XO YO ZO 000000zyxmmmZYXXO -Tsin300cos450+XA=0YO-Tsin300sin450=0ZO-G+Tcos300+ZA=0b-Gb/2+Tcos300b+ZAb=0Gb/2-Tcos300b=0XA=0空间平行力系: 作用点任意分布,方位彼此平行zyxo000000zyxmmmZYX0=0让 z / Fi0=0z=0mx=0my=00=0空间平行力系的平衡方程为:z=0mx=0my

53、=0S空间一般力系平衡方程的其他形式 前面我们讨论了空间一般力系平衡方程的基本形式,也即三矩式。除了基本形式以外,空间一般力系平衡方程也有其他形式：四矩式、五矩式、六矩式。 三矩式是必要充分条件，而其他形式是必要不充分条件，要使其充分必须附加一定的条件，而我们所遇到的题目都是平衡的，所以只需必要条件即可。不必考虑附加条件。 即：解题时，可以对任意直线取矩。但应向尽可能多的力的平行和相交的直线取矩，以减少方程中未知量的数目。例：水平均质正方形板重P，用六根直杆支撑如图，求各杆内力。ABCD12 3456解：研究板，作受力图PSSSSSms1=0 S6=0ms3=0 S4=0ms5=0 S2=0m

54、AC=0 S3=0mAB=0 S5= -P/2Z=0 S5= S1= -P/2例:已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352, Pz=1400N 求：平衡时(匀速转动)力Q=？和轴承A , B的约束反力？ 解：选轮轴为研究对象； 受力分析如图)N(746,020cos10050;0)N(352,0;0QQPmPYPYYzyyAyA由：例：水平轴AB上分别固结半径为100cm和10cm的两圆轮，并在切线方向受力P和Q，已知P=10kN，求平衡时Q=？；A、B两轴处的反力分别为多少？zxy10cm10cm80cmQPABXAZAXBZB解：受力如图：10,90,9,

55、 1,100BABAZZXXQ例：图示机构，在踏板C上作用一铅直力P=1000N，与作用在曲杆上的水平力T相平衡，求轴承A、B两处的反力。xyz450 TPOEDCBA8m8m6m4m3mXBYBZBXAZA解：机构受力如图：PTPZPYPXPZPXBBBAA22 ,81 ,2 ,5 . 0 ,87 ,5 . 1例: 已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=20kN; 求T2=？, T3=？N2 =？)kN(546, 045sin15sin, 011TQTY由C点：解：分别研究C点和B点作受力图)kN( 230 , )kN( 419 53 sin ,54434 cos0 sin sin60cos , 0045cos cos45cos cos60sin , 0045cos cos45cos cos , 023222321232132NTTTTTNZTTTYTTX由B点：例:曲杆ABCD, ABC=BCD=900, AB=a, BC=b,CD=c, m2, m3 求：支座反力及m1=?此题课堂练习此题课堂练习： 力偶不出现在投影式中； 力偶在力矩方程中出现，是把力偶当成矢量后，再在坐标轴上投影； 力争一个方程求解一个未知量； 了