第五讲 力的合成与分解

1、力的合成与分解力的合成与分解FF1F2F1F2 力的合成力的合成FF1F2等效替代等效替代FF1F2等效替代等效替代合力合力分力分力力的合成：力的合成：求几个力的合力的方法求几个力的合力的方法初中复习：同一条直线上力的合初中复习：同一条直线上力的合成成同一条直线上力的合成，首先同一条直线上力的合成，首先规定正方向规定正方向，建立，建立“符号规则符号规则”，然后把矢量运算转化为代数运算。，然后把矢量运算转化为代数运算。在数学中，正负号表示具有相反意义的量，因此，在数学中，正负号表示具有相反意义的量，因此，只有只有矢量矢量在同一直线上时，其方向才能用在同一直线上时，其方向才能用正负正负号号来表示，

2、才能把矢量运算变成代数运算。来表示，才能把矢量运算变成代数运算。同一条直线上力的合成的计算法则适用于同一直同一条直线上力的合成的计算法则适用于同一直线上一切矢量的合成。线上一切矢量的合成。例例1 物体受到两个相反的力的作用，两力的大小物体受到两个相反的力的作用，两力的大小分别为分别为F1=5N ，F2=10N ，现，现F1保持不变，将保持不变，将F2从从10N减小到减小到0的过程中，它们的合力大小的变化情的过程中，它们的合力大小的变化情况是况是 () A、逐渐变小、逐渐变小 B、逐渐变大、逐渐变大C、先变小，后变大、先变小，后变大 D、先变大，后变小、先变大，后变小 CF平行四边形定则平行四边

3、形定则F2F三角形定则三角形定则F1两个分力首尾相接，构成一个两个分力首尾相接，构成一个“链条链条”，从，从“链条链条”的尾到的尾到“链条链条”的首的有向线段表示的首的有向线段表示合力。合力。“头头尾尾表示合力头头尾尾表示合力”平行四边形定则平行四边形定则等效简化为三角等效简化为三角形定则。形定则。高中学习：互成角度的两力的合成高中学习：互成角度的两力的合成F2F1合力的大小合力的大小合力大小是夹角合力大小是夹角的减函数的减函数合力的方向合力的方向FF2FF1F2F1合力大小范围合力大小范围力的合成和分解的力的合成和分解的本质是等效替换。本质是等效替换。 cos2+=212221FFFFF合合

4、 cos+sin=tan212FFF|F1-F2| F合合 F1+F2例例1 两个力的合力与这两个力的关系，下列说法两个力的合力与这两个力的关系，下列说法中正确的是：中正确的是：( )A、合力比这两个力都大、合力比这两个力都大B、合力至少比两个力中较小的力大、合力至少比两个力中较小的力大C、合力可能比这两个力都大、合力可能比这两个力都大D、合力可能比这两个力都小、合力可能比这两个力都小可见合力可能比任何一个分力都大，也可能比任可见合力可能比任何一个分力都大，也可能比任何一个分力都小，也可能等于每一个分力。何一个分力都小，也可能等于每一个分力。CD/radF/N0/23/2102例例2 在在“验

5、证力的平行四边形定则验证力的平行四边形定则”的实验中，的实验中，得到如图所示的合力得到如图所示的合力F与两个分力的夹角与两个分力的夹角的关系的关系图，求此合力的变化范围是多少？图，求此合力的变化范围是多少？答案：答案：合力的变化范围是合力的变化范围是2N F 14N 力的合成和分解遵循平行四边形定则，涉及到数力的合成和分解遵循平行四边形定则，涉及到数学的几何图形以及坐标或函数形式表达。学的几何图形以及坐标或函数形式表达。因此要善于利用几何图形的特点及坐标形式进行因此要善于利用几何图形的特点及坐标形式进行分析问题。解答本题的关键是分析问题。解答本题的关键是“读图读图”，找出图，找出图像所表示的物

6、理意义。像所表示的物理意义。/radF/N0/2 3/2102例例3 施用一动滑轮将一物体提起来，不计滑轮与施用一动滑轮将一物体提起来，不计滑轮与绳的质量及其间的摩擦力，则绳的质量及其间的摩擦力，则( )A、总可以省力一半、总可以省力一半 B、最大省力一半、最大省力一半C、拉力可能大于被提物体的重量、拉力可能大于被提物体的重量 D、拉力可能等于被提物体的重量、拉力可能等于被提物体的重量 BCD例例4.如图所示，绳与滑轮的质量及绳与滑轮间的摩如图所示，绳与滑轮的质量及绳与滑轮间的摩擦均可忽略不计，物体擦均可忽略不计，物体A和和B的质量分别为的质量分别为mA和和mB，当处于平衡状态时，下列说法正确

7、的是（当处于平衡状态时，下列说法正确的是（ ）A、mA可能小于可能小于mB/2 B、mA一定等于一定等于mB/2C、mA可能大于可能大于mB D、mA的范围一定是的范围一定是mB/2mAmBC F例例5.如何解释如何解释“泗水拔鼎泗水拔鼎”?F F1 1F F2 2例例6 水平横梁的一端水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一插在墙壁内，另一端装有一小滑轮小滑轮B，一轻绳的上端，一轻绳的上端C固定于墙壁上，另一端固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量跨过滑轮后悬挂一质量m=10 kg的重物，的重物，CBA=30，如图所示，则滑轮受到绳子的作用，如图所示，则滑轮受到绳子的作用力为力为(取取g=

8、10m/s2)( ) A、50N B、50 NC、100N D、100 NmBAC30CTTF60B知识拓展：知识拓展：互成角度的三个及三个以上力的合成互成角度的三个及三个以上力的合成1.巧选顺序进行多个力的合成。巧选顺序进行多个力的合成。巧选顺序巧选顺序(加法交换律和结合律加法交换律和结合律)进行多个力的合成，进行多个力的合成，往往能简化求解过程。往往能简化求解过程。通常可将同一直线上的力进行合成。通常可将同一直线上的力进行合成。而对称性规律的应用而对称性规律的应用(如大小相等、互相成如大小相等、互相成120的的三个力的合力为零三个力的合力为零)也是很必要的。也是很必要的。2.采用采用正交分

9、解法正交分解法求合力。求合力。F1xxF2F2xF2yFx合合F合合y正确选择直角坐标系，一般选共点力的作用点正确选择直角坐标系，一般选共点力的作用点为原点，水平方向或物体运动的加速度方向为为原点，水平方向或物体运动的加速度方向为x轴，轴，使尽量多的力在坐标轴上。使尽量多的力在坐标轴上。正交分解各力，即分别将各正交分解各力，即分别将各力投影在坐标轴上，分别求力投影在坐标轴上，分别求出坐标轴上各力投影的合力。出坐标轴上各力投影的合力。退一步退一步海阔天空，海阔天空，为了合成而分解为了合成而分解Fx=F1x+F2x+FnxFy=F1y+F2y+Fny22)(+)(=yxFFF合合例例1 如图所示，

10、作用在同一物体上的三个力构成如图所示，作用在同一物体上的三个力构成一个闭合三角形，则下列说法中正确的是一个闭合三角形，则下列说法中正确的是 ( )A、F2等于等于F1、F3的合力的合力B、物体在这三个力的作用下不可能处于静止状态、物体在这三个力的作用下不可能处于静止状态 C、若将、若将F3反向，则物体可能静止反向，则物体可能静止D、若将、若将F2反向，物体可能静止反向，物体可能静止AD F2F3F1例例2.三力共点，大小分别为三力共点，大小分别为2N、3N、4N，则它们，则它们合力的最大和最小值分别为（合力的最大和最小值分别为（ ）A、9N、1N B、9N、0C、5N、1N D、5N、0B例例

11、3 如图所示，有五个力作用于同一点如图所示，有五个力作用于同一点O，表示，表示这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两邻边和三条对角线。已知两邻边和三条对角线。已知F1=10N，试用四种方，试用四种方法求这五个力的合力。法求这五个力的合力。解析一：利用平行四边形定则求解解析一：利用平行四边形定则求解 F1F2F3F4F5OF1F2F3F4F5O解析二：利用三角形定则求解解析二：利用三角形定则求解 F1F2F3F4F5O例例3 如图所示，有五个力作用于同一点如图所示，有五个力作用于同一点O，表示，表示这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的这五个力

12、的有向线段恰分别构成一个正六边形的两邻边和三条对角线。已知两邻边和三条对角线。已知F1=10N，试用四种方，试用四种方法求这五个力的合力。法求这五个力的合力。F1F2F3F4F5O解析三：利用正交分解法求解。解析三：利用正交分解法求解。根据对称性，根据对称性，y方向合力为零，方向合力为零，F2、F3、F4、F5四四个力在个力在x方向上的投影的长度等于方向上的投影的长度等于F1的两倍。的两倍。F1F2F3F4F5OxyF1F2F3F4F5O解析四：利用公式法求解解析四：利用公式法求解合力大小等于合力大小等于3F1 ，方向与方向与F1方向相同。方向相同。例例3 如图所示，有五个力作用于同一点如图所

13、示，有五个力作用于同一点O，表示，表示这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两邻边和三条对角线。已知两邻边和三条对角线。已知F1=10N，试用四种方，试用四种方法求这五个力的合力。法求这五个力的合力。F1F2F3F4F5OF22+F52=F12F32+F42=F12例例4 两个共点力的合力为两个共点力的合力为F，如果它们之间的夹角，如果它们之间的夹角固定不变，使其中的一个力增大，则固定不变，使其中的一个力增大，则 ( ) A、合力、合力F一定增大一定增大B、合力、合力F的大小可能不变的大小可能不变C、合力、合力F可能增大，也可能减小可能增大，也可能

14、减小D、 当当0 90时，合力一定减小时，合力一定减小两力的夹角为钝角两力的夹角为钝角两力的夹角为锐角两力的夹角为锐角BC例例5 大小为大小为20N、30N和和40N的三个力作用于物体的三个力作用于物体一点上，夹角互为一点上，夹角互为120，求合力的大小和方向。，求合力的大小和方向。 答案：答案：合力大小合力大小合力方向与合力方向与F3的夹角为的夹角为30。N310=F1求一个力的分力叫做求一个力的分力叫做 2力的分解是力的合成的力的分解是力的合成的 ，同样遵，同样遵守守 3如果没有其他限制，对于同一条对角线，可如果没有其他限制，对于同一条对角线，可以作出无数个不同的平行四边形，也就是说同一以

15、作出无数个不同的平行四边形，也就是说同一个力个力F可以分解为无数对大小、方向不同的分力可以分解为无数对大小、方向不同的分力一个已知的力究竟应该怎样分解，这要根据一个已知的力究竟应该怎样分解，这要根据 来决定来决定力的分解力的分解逆运算逆运算平行四边形定则平行四边形定则实际情况实际情况 力的分解力的分解1.力的分解不具有唯一性力的分解不具有唯一性如果没有其它限制，一个力可以分解成如果没有其它限制，一个力可以分解成无数对无数对大大小、方向不同的分力。小、方向不同的分力。要点深化要点深化由力产生的效果确定分力的方向，由由力产生的效果确定分力的方向，由平行四边形平行四边形定则定则(或三角形定则或三角形

16、定则)确定分力的大小。确定分力的大小。2.将一个实际的力分解的原则将一个实际的力分解的原则(1)按按力的实际作用效果力的实际作用效果分解分解实例实例分解思路分解思路地面上物体受斜向上的拉力地面上物体受斜向上的拉力F，拉力，拉力F一方面使物体沿水平一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水可分解为水平向前的力平向前的力F1和竖直向上的力和竖直向上的力F2. F1Fcos ，F2Fsin 质量为质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力是使物体具有沿斜面

17、下滑趋势的分力F1，二是使物体压紧，二是使物体压紧斜面的分力斜面的分力F2.F1mgsin ，F2mgcos 质量为质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上时，的光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上时，其重力产生两个效果：一是使球压紧挡板的分力其重力产生两个效果：一是使球压紧挡板的分力F1，二是，二是使球压紧斜面的分力使球压紧斜面的分力F2.F1mgtan ，F2mg/cos (2)常见按效果分解力的情形常见按效果分解力的情形cosmg质量为质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙，其重力产生两个效果：一是使球压紧竖

18、直墙壁的分力壁的分力F1，二是使球拉紧悬线的分力，二是使球拉紧悬线的分力F2.F1mgtan ，F2 mg/cos A、B两点位于同一平面上，质量为两点位于同一平面上，质量为m的物体被的物体被AO、BO两线拉住，其重力产生两个效果：一两线拉住，其重力产生两个效果：一是使物体拉紧是使物体拉紧AO线的分力线的分力F1，二是使物体拉紧，二是使物体拉紧BO线的分力线的分力F2.F1 F2 mg/2sin 质量为质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸生两个效果：一是拉伸AB的分力的分力F1，二是压缩，二是压缩BC的分力的分力F2. F1mgtan ，

19、F2 mg/cos cosmg2sinmgcosmg(2)按按问题的需要问题的需要进行分解进行分解比如为了求合力进行比如为了求合力进行正交分解正交分解，分解是方法，合，分解是方法，合成是目的。成是目的。所谓所谓“正交分解正交分解”，是把力沿两个选定的互相垂，是把力沿两个选定的互相垂直的方向进行分解的方法，其目的是便于运用直的方向进行分解的方法，其目的是便于运用代数运算公式来解决矢量的运算，是处理复杂代数运算公式来解决矢量的运算，是处理复杂的力的合成与分解问题的一种简单的方法。的力的合成与分解问题的一种简单的方法。特别是应用在受力分析中，显得简便易行。特别是应用在受力分析中，显得简便易行。例例1

20、 如图所示是山区村民用斧头劈柴的剖面图，如图所示是山区村民用斧头劈柴的剖面图，图中图中BC边为斧头背，边为斧头背，AB、AC边是斧头的刃面。边是斧头的刃面。要使斧头容易劈开木柴，则要使斧头容易劈开木柴，则 ( )A、BC边短些，边短些，AB边也短些边也短些B、BC边长一些，边长一些，AB边短一些边短一些C、BC边短一些，边短一些，AB边长一些边长一些D、BC边长一些，边长一些，AB边也长一些边也长一些C B斧头斧头CA例例2 小明想推动家里的衣橱，但使出了吃奶的力气也推小明想推动家里的衣橱，但使出了吃奶的力气也推不动，他便想了个妙招，如图所示，用不动，他便想了个妙招，如图所示，用A、B两块木板

21、两块木板，搭成一个底角较小的人字形架，然后往中央一站，衣，搭成一个底角较小的人字形架，然后往中央一站，衣橱居然被推动了！？下列说法中正确的是（橱居然被推动了！？下列说法中正确的是（ ）A这是不可能的，因为小明根本没有用力去推衣橱这是不可能的，因为小明根本没有用力去推衣橱B这是不可能的，因为无论如何小明的力气也没那么大这是不可能的，因为无论如何小明的力气也没那么大C这有可能，这有可能，A板对衣橱的推力有可能大于小明的重力板对衣橱的推力有可能大于小明的重力D这有可能，这有可能，A板对衣橱的推力不可能大于小明的重力板对衣橱的推力不可能大于小明的重力C例例3.如图所示，用一根细绳和一根轻直杆组成三角支

22、架，绳的一端如图所示，用一根细绳和一根轻直杆组成三角支架，绳的一端绕在手指上，杆的一端顶在掌心，当绕在手指上，杆的一端顶在掌心，当A处挂上重物时，绳与杆对手处挂上重物时，绳与杆对手指和手掌均有作用，绳对手指的作用力和杆对手掌的作用力的方向指和手掌均有作用，绳对手指的作用力和杆对手掌的作用力的方向判断完全正确的是图中的（判断完全正确的是图中的（ ） D例例4一物体放在粗糙水平面上，用大小相等的力一物体放在粗糙水平面上，用大小相等的力F按图按图14所示的四种方式先后作用在该物体所示的四种方式先后作用在该物体上，物体均处于静止状态，则其中水平面所受压上，物体均处于静止状态，则其中水平面所受压力最大的

23、是力最大的是( )C例例5.有两个分力，一个大小是有两个分力，一个大小是10N， 另一个大小是另一个大小是2N，它们的合力大小可能是（，它们的合力大小可能是（ ） A、5N B、10N C、12N D、15N BC例例6.分解一个大小为分解一个大小为10N的力，已知其中一个分力的力，已知其中一个分力与该力的夹角为与该力的夹角为30，则另一个分力的大小不可能，则另一个分力的大小不可能为（为（ ）A、100N B、10N C、5N D、4ND例例7.在右图中，电灯在右图中，电灯重重10 N，AO悬挂和天花板成悬挂和天花板成53角，拉角，拉线线OB和墙垂直求和墙垂直求AO和和OB拉线受力的大小拉线受

24、力的大小【解析】(1)灯通过拉线灯通过拉线OD给给O点的拉力点的拉力FG；(2)力力F产生使悬线产生使悬线AO发生形变的拉力发生形变的拉力F1，沿，沿AO斜向下；斜向下；力力F对对OB产生拉力产生拉力F2，水平向左作力的平行四边形，水平向左作力的平行四边形如图所示由右图可知：如图所示由右图可知： 则则F1= 则则F2 .1sinFF10N=12.5Nsin0.8F2tanFF10 0.6N=7.5Ntan0.8F【答案】12.5 N7.5 N例例8 质量为质量为m的木块在推力的木块在推力F作用下，在水平地面作用下，在水平地面上做匀速运动，如图所示，已知木块与地面间的上做匀速运动，如图所示，已知

25、木块与地面间的动摩擦因数为动摩擦因数为，那么木块受到的滑动摩擦力为，那么木块受到的滑动摩擦力为 ( ) A、mg B、(mg+Fsin)C、(mg-Fsin) D、FcosFBD 正交分解的原则正交分解的原则(1)是让更多的力落在坐标轴上；是让更多的力落在坐标轴上； (2)题目中如果有加速度，则沿物体运动方向和垂题目中如果有加速度，则沿物体运动方向和垂直于运动方向分解，因为做直线运动的物体沿运直于运动方向分解，因为做直线运动的物体沿运动方向动方向ax=a。则则 Fx=ma；垂直于运动方向；垂直于运动方向 Fy=0；(3)从解决问题的方便角度看，有些情况要分解加从解决问题的方便角度看，有些情况要

26、分解加速度。速度。培养辩证唯物主义观点分析问题，全面地、变化培养辩证唯物主义观点分析问题，全面地、变化地看问题。地看问题。知识加深：力的分解中的极值问题知识加深：力的分解中的极值问题已知合力已知合力F与一个分力与一个分力F1的方向的方向(即已知即已知F和和F1的的夹角夹角)，则另一分力，则另一分力F2有最小值条件是有最小值条件是_，最小值是最小值是_，此时，此时F1的值为的值为_。F2minF2 F1F2min=FsinF1=Fcos已知合力已知合力F的方向及一个分力的方向及一个分力F1的大小和方向，的大小和方向，另一分力另一分力F2的小值的条件是的小值的条件是_，最小值是，最小值是_， 此时此时F的值是的值是_。FF1F2minF2 FF2min =F1sin F=F1cos 题型一：同一条直线上力的合成题型一：同一条直线上力的合成知识加深：三力（动态）的合成知识加深：三力（动态）的合成COABD例例1 竖直平面内的圆环上，等长的两细绳竖直平面内的圆环上，等长的两细绳OA、OB结于圆心结于圆心O，下悬重为，下悬重为G的物体的物体(如图如图)，使，使OA绳绳固定不动，将固定不动，将OB绳的绳的B点