可导与连续的关系

1、可导与连续之间的关系可导与连续之间的关系淮南职业技术学院问题：可导性与连续性有什么样的关系？问题：可导性与连续性有什么样的关系？xxfxxfxy )()(0 y研究下列代数研究下列代数式喽！式喽！可导一定连可导一定连续吗？续吗？当当 x 0 时，时，如果如果xyx 0lim存在存在？一、函数的可导性与连续性的关系一、函数的可导性与连续性的关系xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000axfxy )(0)(limlim000 xxxfyxx 定理定理 如果函数如果函数 y = f (x) 在在 x0 点可导，则函数点可导，则函数 f (x) 在在 x0点点处连续处连续.证证因为

2、在函数可导，即因为在函数可导，即存在存在,所以所以=0所以函数所以函数 f (x) 在在 x0 点处连续，点处连续，反之且不然。反之且不然。是无穷小量是无穷小量如函数如函数y=|x|,由它的图像由它的图像在在x=0点处，具有下列特征：点处，具有下列特征：y=|x|1.曲线是不间断的，连续的。曲线是不间断的，连续的。2.左近旁函数图像的近似值线左近旁函数图像的近似值线 y = -x与有与有近旁函数图像的近似直线近旁函数图像的近似直线 y = x 不相等。不相等。所以在所以在(0,0)点处没有切线。点处没有切线。所以在所以在 x=0 点处，连续但不可导。点处，连续但不可导。总结总结 函数在函数在x

3、0点处可导，函数在点处可导，函数在x0点处一定连续。点处一定连续。 反之不然，函数在反之不然，函数在x0点处连续，函数在点处连续，函数在x0点点处不一定可导。处不一定可导。 设物体的运动距离为设物体的运动距离为s= s(t),怎样求瞬时速度？怎样求瞬时速度？ttSttStS)()( 运动时间运动距离平均速度S(t)S(t+ t) S在时间区间在时间区间0, t内运动距离内运动距离在时间区间在时间区间0,t+ t内内运动距离运动距离在时间区间在时间区间t, t+ t内运动距离内运动距离什么是瞬时速度？什么是瞬时速度？不行喽，不行喽，运动时间运动时间 t 为为 0 是没有意义的是没有意义的。那就运

4、动时间那就运动时间 t取取 0 吧！吧！ttSttStS)()( 运动时间运动距离平均速度问题：匀速直线运动速度问题问题：匀速直线运动速度问题物体在做变速运动时，怎样求在某一时刻物体在做变速运动时，怎样求在某一时刻的运动速度？的运动速度？运动时间运动距离平均速度 运动距离运动距离 1010101,)( , , ,n这个数列后面的这个数列后面的数有集中在数有集中在 0 点点处的，也有集中处的，也有集中在在 1 点处的。点处的。021814121,n这个数列后面的这个数列后面的数都集中在数都集中在 0 点点处处?, , , n321这个数列后面的这个数列后面的数不集中任一点数不集中任一点处。处。a1, a2 , a3 , , an , A 如果无穷数列如果无穷数列 an 的以后项都项某一个常的以后项都项某一个常数数 A 集中，这样的数列称为数列集中，这样的数列称为数列an 是收敛的是收敛的。否则数列称为发散的。否则数列称为发散的。定义：定义： 当当 n 无限增大时，数列无限增大时，数列 an 的一般项的一般项 an都趋向某一个常数都趋向某一个常数 A ，则称数列，