24极限的四则运算(2)

1、2.4 极限的四则运算极限的四则运算(2)2022年年2月月3日星期四日星期四如果如果 ，那么，那么 1 1、函数极限的四则运算法则：、函数极限的四则运算法则： bxgaxfxxxx )(lim,)(lim00 baxgxfxx )()(lim0 baxgxfxx )()(lim0)0()()(lim0 bbaxgxfxx（1） （C为常数）为常数）特别地特别地aCxfCxfCxxxx)(lim)(lim00（2）*)(lim)(lim00Nnaxfxfnnxxnxx0 xx0lim( )( )xxf xg xab0lim( )( )xxf xg xa b0( )lim(0)( )xxf xa

2、bg xb（1） （C为常数）为常数）特别地特别地00lim( )lim( )xxxxC f xCf xC a（2）00*lim( )lim( )nnnxxxxf xf xanN如果如果 ，那么，那么 2 2、函数极限的四则运算法则：、函数极限的四则运算法则： 00lim( ), lim( )xxxxf xag xb0 xxlim( )( )lim ( )lim ( )lim ( )( )lim ( ) lim ( )xxxxxxf xg xf xg xa bf x g xf xg xa b lim( )( )lim(0).( )lim( )xxxf xf xabg xg xblim ( )x

3、g xblim ( )xf xa 如果如果，那么那么3 3、函数极限的四则运算法则：、函数极限的四则运算法则： x 数列极限的四则运算法则：数列极限的四则运算法则： 如果如果 ， ，aannlimbbnnlim那么：那么： babannn)(limbabannn)(lim)0(limbbabannn注：注：1）可推广到有限个数列的极限运算；）可推广到有限个数列的极限运算； 2）由此可得：）由此可得： ， .kknnaa)(limCaaCnn）（lim,.1,.31,21, 1n几个基本数列的极限：几个基本数列的极限： 观察观察:归纳归纳:0lim,01limnknnn) 1(,.,.,32qq

4、qqqnnlim) 1( 01)q ( 1) 11(qqqqn或不存在,.,.,cccc(C为常数) C=C nlim(C为常数) （k是常数，是正整数）例例1 、 求下列极限求下列极限:)21(lim (1)2nnn232lim (3)22nnnnnn23lim (2)n243n23lim (4)nnnn1 1）如果）如果f(nf(n) )的次数的次数 = g(n= g(n) )的次数的次数, , 则极限为最高次系数比；则极限为最高次系数比；2 2）如果）如果f(nf(n) )的次数的次数 g(n g(n g(n) )的次数的次数, , 则极限不存在则极限不存在. .总总 结：结： ()li

5、m()nfngn 其中其中f(nf(n) )，g(ng(n) )都是关于都是关于n n的多项式的多项式方方 法：分子，分母同除以法：分子，分母同除以n的最高次幂！的最高次幂！练习练习1：（1）已知）已知 =2 , 求求a的值的值. （2）求）求 的极限的极限.bnnan22n3lim 232lim 22xxxx(3) 若若 ,则则a=_b=_.222lim(2) 1xaxxxbx(4)已知已知 , 11)6(limnnnba7)23(limnnnba求求 )2(limnnnba 的值的值. 632-4221(5)lim()01nnanbn若，求常数a,b的值.解：由已知得21 ()(1)01n

6、anb nn nlim2(1)()101a nab nbnnlim10a0ab且11ab方法：分子、分母同除以方法：分子、分母同除以 最大的底数的最大的底数的n次方次方.绝对值绝对值例例2、求下列极限、求下列极限:（1 1） ； （2 2） .125( 3)lim52 3nnnnn 53lim523nnnnnnn 例例3 、 .2321limnnn求注：注：极限的运算法则只能推广到有限多项，当项数极限的运算法则只能推广到有限多项，当项数无限时，要先求和（或积）再求极限无限时，要先求和（或积）再求极限.0000lim2lim1lim321lim2222nnnnnnnnnn2121lim) 1(2

7、1lim321lim22nnnnnnnnnn思考思考:对比解对比解1、解、解2,判断哪种解法正确判断哪种解法正确,并分析原因并分析原因.练习练习2:求下列极限求下列极限: nnnnnn2124321lim)1() 23 () 13 (11181851521lim) 2(nnn例例4 4、求下列极限：、求下列极限：解：2( 432 )nlimnn23432nlimnn 0（1）2( 432 )nlimnn（2）2( 42 )nlimnnn解：2( 42 )nlimnnn242nnlimnnn1142nlimn14方法：对于方法：对于 型分子有理化！型分子有理化！练习练习3：求极限求极限 .11n

8、nnlimnn 11nnnlimnn 解：解：(1)(1)(1)(1)(1)(1)nnnnnnnlimnnnnnn 11nnnlimnn 111111nnlimn =1无穷递缩等比数列的各项之和无穷递缩等比数列的各项之和:结论结论:)1(1lim1 qqaSSnn若数列若数列 为为无穷等比数列，首项为无穷等比数列，首项为 ，公比为公比为 ，且，且 ，求，求 . na1aq1q limnnS例例5 5、求极限：、求极限：练习练习4：化下列循环小数为分数化下列循环小数为分数:. .(1)0.7 (2)0.28.； 由上知化循环小数为分数由上知化循环小数为分数,实际上就是求无穷等比实际上就是求无穷等

9、比数列的各项之和：数列的各项之和：注意注意:)1(1lim1 qqaSSnn思考思考: 11111lim.2nnnnnaaaaa在数列中，且，求C C1 C2 C3 ABB1B2B3S1S2S3例例6、如图所示、如图所示,在在Rt 内有一系列正方形内有一系列正方形,面积面积分别为分别为S1,S2,Sn,已知已知 =1/2,BC=a,求所有求所有这些正方形的面积的和这些正方形的面积的和.ABCAtan 例例7、在半径为、在半径为R的圆内接正的圆内接正n边形中边形中,rn是边心距是边心距,pn是是周长周长,Sn是面积是面积(n=3,4,5,）.（1）Sn与与rn 、pn 有什么关系？有什么关系？（2）求）求 ； （3）利用（）利用（1）（）（2）的结果，说明圆面积公式）的结果，说明圆面积公式S=R2 .limlimnnnnrp与OrnR1 1、数列极限的四则运算法则：、