数字信号处理吴镇扬_CHP4无限冲激响数字滤波器设计

1、 许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预测等都要用到测等都要用到滤波器滤波器，数字滤波器是数字信号处理，数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种系统，中使用得最广泛的一种系统，滤波运算也是数字信滤波运算也是数字信号处理的基本运算号处理的基本运算。 数字滤波器的功能（本质）数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。在转变的过程中提取有用的分量，排除干扰序列。在转变的过程中提取有用的分量，排除干扰的分量。在转变的过程中也会带来不必要的损耗或的分量

2、。在转变的过程中也会带来不必要的损耗或失真。失真。具有自己的特点。具有自己的特点。 本章和下一章讨论数字滤波器的本章和下一章讨论数字滤波器的各种实现方法各种实现方法及其性能差异及其性能差异，以方便我们在具体应有中选择适当，以方便我们在具体应有中选择适当的方法，达到的方法，达到最佳的设计最佳的设计效果。效果。滤波器的分类滤波器的分类 滤波器：；时域上由差分方程描述的一类特殊的离散时间系统,两者等价。如低通滤波器：|X(ejw)|wwc有用无用wc|H(ejw)|Y(ejw)|wwc引言引言滤波器的种类很多，分类方法也不同.大类有和(优点:可软硬实现,灵活)。按频率特性分为 (模拟和数字)数字滤波

3、器,从实现方法上分FIR系统 (Finite Impulse Response:有限冲激响应，h(n)有限长）和IIR系统 (Infinite Impulse Response:无限冲激响应 ,h(n)为无限长)。从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器等等。引言引言数字滤波器的四种类型数字滤波器的四种类型)(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0带通0带阻22222222 分析：分析： 数字滤波器的频响是周期的，其重复周期是采数字滤波器的频响是周期的，其重复周期是采样频率样频率fs，或者数字频率，或者数字频率2 ，且在每一周期内，幅，且在每一周期内，幅频特性具有对称性（实系统处理实信

4、号）。频特性具有对称性（实系统处理实信号）。假定输入信号假定输入信号x(n)中的有用成分和希望去除的成分，中的有用成分和希望去除的成分，各自各自占有不同的频带占有不同的频带。当。当x(n)经过一个线性系统（即滤波器）后即经过一个线性系统（即滤波器）后即可将欲去除的成分有效地去除。可将欲去除的成分有效地去除。但如果信号和噪声的频谱相互但如果信号和噪声的频谱相互重叠，那么经典滤波器将无能为力重叠，那么经典滤波器将无能为力。现代滤波器主要研究内容是从现代滤波器主要研究内容是从含有噪声的数据记录含有噪声的数据记录（又称（又称时间序列）中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被时间序列）中估计出信号的

5、某些特征或信号本身。一旦信号被估计出，那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。估计出，那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计特征（如自相关函数、功率谱等）导出一套最佳估值算法，计特征（如自相关函数、功率谱等）导出一套最佳估值算法，然后用然后用。现代滤波器理论源于维纳在现代滤波器理论源于维纳在40年代及其以后的工作，这一年代及其以后的工作，这一类滤波器的代表为：维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波器、类滤波器的代表为：维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器。线性预测器、自

6、适应滤波器。引言引言数字滤波器的优缺点数字滤波器的优缺点优点：优点： 和数字系统相同，具有精度高，稳定性好，不存和数字系统相同，具有精度高，稳定性好，不存在阻抗匹配问题，可以时分复用。在阻抗匹配问题，可以时分复用。缺点：缺点： 需要抽样、量化、编码；有限字长效应。需要抽样、量化、编码；有限字长效应。一、滤波器的设计步骤一、滤波器的设计步骤（）按照任务的要求，确定滤波器的性能指标，例如，这些任务包括需要滤除哪些频率分量，保留哪些频率分量，保留的部分允许有多大的幅度或相位失真等。（）用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼近这一性能要求。这种系统函数可以分为IIR和FIR两类系统。（）数字

7、滤波器的实现。这包括选择运算结构，确定运算和系数存储的字长，选用通用计算机及相应的软件或专用数字滤波器硬件实现这一系统。二、可实现滤波器的特性二、可实现滤波器的特性理想滤波器物理理想滤波器物理不可实现不可实现的（由于从一个频带到另的（由于从一个频带到另一个频带之间的一个频带之间的突变，突变，且理想选频滤波器的单位脉冲且理想选频滤波器的单位脉冲响应为双边序列，是非因果系统）。响应为双边序列，是非因果系统）。物理可实现可实现的滤波器，应从一个带到另一个物理可实现可实现的滤波器，应从一个带到另一个带之间设置一个带之间设置一个过渡带过渡带且在通带和止带内也不应该严且在通带和止带内也不应该严格为格为1或

8、零或零,应允许以较小应允许以较小容限容限。sp21-11ps|H(ej)|1 1: :通带的容限通带的容限2 2：阻带容限阻带容限p p: :通带截止频率又通带截止频率又称为通带上限频率称为通带上限频率p p：通带衰减：通带衰减s s: :阻带截止频率阻带截止频率, ,又称阻带下限截止频率。又称阻带下限截止频率。s s ：阻带衰减：阻带衰减说明说明：通带和止带内应允许以较小：通带和止带内应允许以较小容限容限。通常用。通常用通带衰减通带衰减和和阻带衰减阻带衰减给出给出, ,下面三种滤波器不再给出下面三种滤波器不再给出通带的容限通带的容限和阻和阻带容限。带容限。rcjHAtjHjH,lg201lg

9、201lg20,1lg2011lg20lg2022max11minmax通带波动通带波动最小阻带衰减最小阻带衰减At1maxjH式中，通带内式中，通带内2maxjH阻带内阻带内 s p1ps|H(ej)|p p: :通带截止频率通带截止频率, ,又又称为通带下限频率。称为通带下限频率。p p: :通带衰减通带衰减s s: :阻带截止频率阻带截止频率, ,又又称阻带上限截止频率。称阻带上限截止频率。s s : :阻带衰减阻带衰减通带截止频率：通带截止频率： 3 3: :上限截止频率，上限截止频率， 1 1 :下限截止频率下限截止频率。p p :通带衰减通带衰减阻带截止频率阻带截止频率： sh s

10、h :上阻带截止频率，上阻带截止频率， s1 s1 :下限截止频率下限截止频率s s :阻带衰减阻带衰减 s1 11ps|H(ej )| 3 sh通带截止频率：通带截止频率： 3 3 :上限截止频率上限截止频率 1 1 :下限截止频率下限截止频率p p : :通带衰减通带衰减阻带截止频率阻带截止频率： sh sh :上限截止频率上限截止频率 s1 s1 :下限截止频率下限截止频率s s :阻带衰减阻带衰减 s1 11ps |H(ej )| 3 sh对于对于IIR滤波器，常用方法之一滤波器，常用方法之一采用模拟滤波器的设采用模拟滤波器的设计方法来设计后再转化为数字滤波器计方法来设计后再转化为数字

11、滤波器，具体步骤如下：，具体步骤如下：1.按一定的规则将数字滤波器的技术指标转换成模拟按一定的规则将数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标滤波器的技术指标。2.根据转化后的技术指标设计模拟滤波器根据转化后的技术指标设计模拟滤波器G(s)。3.再按一定规则将再按一定规则将G(s)转换成转换成H(z)。若为低通则可以。若为低通则可以结束。若为其它，则进入步骤结束。若为其它，则进入步骤4。4.将高通、带通或带阻数字滤波器的技术指标转化为将高通、带通或带阻数字滤波器的技术指标转化为低通模拟滤波器的技术指标，然后按上述步骤低通模拟滤波器的技术指标，然后按上述步骤2设计出设计出低通低通G(s)，再

12、将其转化为所需要的，再将其转化为所需要的H(z)。下面首先考虑模拟滤波器的设计问题下面首先考虑模拟滤波器的设计问题一、概述一、概述模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤滤波器、切比雪夫波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝滤波器、贝塞尔塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。成的曲线和图表

13、供设计人员使用。 模拟低通滤波器的设计指标有模拟低通滤波器的设计指标有p, p,s和和s。其中。其中p和和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率，分别称为通带截止频率和阻带截止频率，p是通带是通带(=0p)中的最大衰减系数，中的最大衰减系数，s是阻带是阻带s的最小衰减系数，的最小衰减系数，p和和s一一般用般用dB数表示。数表示。2210/222| )(|lg10)(| )(|lg10)(10| )(| )(|1lg10|)()(|lg10)(sssppp）（jGjGjGjGjYjX显然或 把低通模拟滤波器的四个技术指标和滤波器的把低通模拟滤波器的四个技术指标和滤波器的幅幅平方特性平方特性联系了起

14、来。我们所设计的滤波器的冲澈响联系了起来。我们所设计的滤波器的冲澈响应一船都为实数，所以有应一船都为实数，所以有2*| )(| )()()()(jGsGsGsGsGjs幅平方特性幅平方特性在模拟滤波器的设计中起到了重要的作用在模拟滤波器的设计中起到了重要的作用。定义定义目前，人们已给出了几种不同类型目前，人们已给出了几种不同类型 的表的表达式，它们代表了几种不同类型的滤波器。达式，它们代表了几种不同类型的滤波器。（1）巴特沃思滤波器）巴特沃思滤波器2| )(|jGNCjG)(11| )(|22222222)/()(11| )(|snsnCCjG)arccos(cos)(,)(11| )(|22

15、222nCCjGnn（2 2）切比雪夫）切比雪夫滤波器滤波器（3 3）切比雪夫）切比雪夫滤波器滤波器（4）椭圆滤波器）椭圆滤波器。UUjGnn是雅可比椭圆函数)()(11| )(|2222 本节将讨论本节将讨论巴特沃思滤波器的设计方法巴特沃思滤波器的设计方法。 由于每由于每一个滤波器的频率范围将直接取决于设计者所应用的一个滤波器的频率范围将直接取决于设计者所应用的目的，因此应是干差万别。为了使设计规范化，我们目的，因此应是干差万别。为了使设计规范化，我们需要将滤波器的频率参数作归一化处理。需要将滤波器的频率参数作归一化处理。设所给的实设所给的实际频率为际频率为，归一化后的频率为，归一化后的频率

16、为，对低通模拟滤波对低通模拟滤波器，令器，令p/二、巴特沃思模拟低通滤波器的设计二、巴特沃思模拟低通滤波器的设计 1、特点、特点 具有通带内最大平坦的振幅特性，且随具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f增大增大（ ），幅频特性单调下降（），幅频特性单调下降（ ）。）。2、设计步骤、设计步骤 （1）、将频率归一化）、将频率归一化NCCjGN,11)(222只有两个参数110110110)1lg(10)(10/2210/2210/ )(2222spNsNpNNCCCC即则（2 2）、求）、求C C和和N NNpNpsjG，CdBNCpsp22210/10/10/2)/(1111| )(|1,3lg/

17、1010lg110这时则若令由由p p=1=1，有，有（3 3）、确定）、确定G(s)G(s)由由p=jp=j有有NkNNkjpppjppGpGkNNNNN2 , 2 , 1),212exp(, 0) 1(1) 1(11)/(11)()(222得由S S平面上极点分布情况（平面上极点分布情况（N=3N=3和和N=4N=4）。）。 由于 ,所以在求得G(p)后，用s/p代替变量P，即得实际需要的G(S)。)()(1)(, 2 , 1),212exp(21NkpppppppGNkNNkjp有 考虑到系统的稳定性，系统函数的极点在S平面左半部分,取例例1分析：求解的过程按设计步骤来进行分析：求解的过

18、程按设计步骤来进行 （1）、将频率归一化）、将频率归一化 （2）、求）、求C和和n （3）、求）、求G(p) （4）、确定）、确定G(s)具体过程如下：具体过程如下：（1）、）、1,2,3dB,30dB,psps（2）、）、30/101;lg 101 lg25CN（3）、）、exp (2)5,1,2,3,4,5kpj kpk（4）、）、三、模拟高通、带通及带阻滤波器的设计三、模拟高通、带通及带阻滤波器的设计 模拟低通滤波器的设计已有了完整的计算公式及图表。因模拟低通滤波器的设计已有了完整的计算公式及图表。因此，高通、带通和带阻滤波器的设计应尽量地利用这些已有的此，高通、带通和带阻滤波器的设计应

19、尽量地利用这些已有的资源，无需再各搞一套计算公式与图表。资源，无需再各搞一套计算公式与图表。 目前，模拟高通、带通及带阻滤波器的设计方法都是先将要目前，模拟高通、带通及带阻滤波器的设计方法都是先将要设计的滤波器的技术指标，通过某种设计的滤波器的技术指标，通过某种频率转变频率转变关系转换成模关系转换成模拟低通滤波器的技术指标，并拟低通滤波器的技术指标，并依据这些技术指标设计出低通依据这些技术指标设计出低通滤波器的转移函数滤波器的转移函数，然后再，然后再依据频率转换关系变成所要设计依据频率转换关系变成所要设计的滤波器的转因函数的滤波器的转因函数。如图所示。如图所示。)().(),(,/,),(),

20、(.,),(),(f：jHqHjq，jHsH、：jpjGSG：p之间的关系和频率变换率特性分别为归一化的转移函数和频复值变量归一化低通频率带通及带阻滤波器为记高通记复值变量归一化低通频率低通滤波器为仍记为了防止符号混淆，规定为了防止符号混淆，规定模拟高通模拟高通, 带通带通, 带阻滤波器设计流程带阻滤波器设计流程设计模拟低设计模拟低通滤波器通滤波器G(p)给定高通、给定高通、带通或带阻带通或带阻的技术指标的技术指标,psps 频率转换频率转换低通滤低通滤波器技波器技术指标术指标,psps 得到高通、得到高通、带通或带阻带通或带阻滤波器滤波器H(s)频率转换频率转换pqspqj 10sp 01s

21、p1 （一）、模拟高通滤波器的设计（一）、模拟高通滤波器的设计.)(),()()()()()(1)(11,1）即可求出高通的（已知低通归一化的通的频率变换公式：去归一化，得低通到高将即可得归一化复变量为性利用低通滤波器的对称或归一化频率关系则变换为归一化高通变换，为归一化低通sHGpGsHGGHsjjj：q：LLahalspalahahalahppp例例3.6.1（二）、模拟带通滤波器的设计（二）、模拟带通滤波器的设计BWBWBWshshBWslslBWshsl，。，。：33111331,即轴作归一化处理以此对定义系滤波器归一化频率的关并找出其与低通理现在对其进行归一化处频率模拟带通滤波器有四

22、个对带通滤波器，对带通滤波器，如何实现频率如何实现频率的的归一化归一化?用带宽归一化用带宽归一化!）（，。，ppshslspps对于低通滤波器的带宽波器的则带通滤的频率由于归一化低通滤波器之间的转换关系为和这样获得带通滤波器低通滤波器有波器的原点通过频率变换为低通滤为归一化的几何中心频率称为几何中心频率定义1122/0013132232131223122)(1331223122222222222213312| )()()()(/)(/ssBWBWBWpGsHssssqqjqjqjjjp可得由之间的转换关系为和则（三）、模拟带阻滤波器的设计（三）、模拟带阻滤波器的设计BWBWBWshshBWsl

23、slBWshsl，。，。：33111331,即轴作归一化处理以此对定义系滤波器归一化频率的关并找出其与低通理现在对其进行归一化处频率模拟带通滤波器有四个）（，。，ppslshspps对于低通滤波器的带宽波器的则带通滤的频率由于归一化低通滤波器之间的转换关系为和这样获得带阻滤波器低通滤波器有波器的原点通过频率变换为低通滤为归一化的几何中心频率称为几何中心频率定义1122/013132221323122312231213)(3121322| )()()(ssppGsHssp可得同带通滤波相似得之间的转换关系为和则 下面讨论由模拟滤波器的传递函数下面讨论由模拟滤波器的传递函数G(s)G(s)或或H(

24、s)求求出相应的数字滤波器的系统函数出相应的数字滤波器的系统函数H(z)H(z)，即找出，即找出s s平面平面与与z z平面之间的映射变换，这种映射变换应遵循两个平面之间的映射变换，这种映射变换应遵循两个基本的目标基本的目标: :逼近程度逼近程度：H(z)H(z)的频响必须要模仿的频响必须要模仿G(s)G(s)的频响。的频响。s s平面的虚轴平面的虚轴j j应该映射到应该映射到z z平面的单位圆上。平面的单位圆上。稳定性稳定性：H(s)H(s)的因果稳定性，通过映射后仍应在得的因果稳定性，通过映射后仍应在得到的到的H(z)H(z)中保持，也即中保持，也即s s平面的左半平面平面的左半平面(Re

25、sO)(ResO)应应该映射到该映射到z z平面的单位圆内平面的单位圆内(|z|1)(|z|Z-Z平面是多值的映射关系所造成平面是多值的映射关系所造成的的 。标准标准z z变换下，变换下，s s平面上每一个宽度为平面上每一个宽度为2/T 2/T 的横带都映射的横带都映射到整个到整个z z平面，这可以想象为平面，这可以想象为s s平面虚轴上平面虚轴上(-/T, /T) (-/T, /T) 、 (/T, 3/T)(/T, 3/T)、 (3/T, 5/T)(3/T, 5/T)等段分别映射到等段分别映射到z z平平面单位圆面单位圆(-, )(-, )段。段。数字频谱数字频谱(-, )(-, )段是模拟

26、频谱各段的叠加，相当于段是模拟频谱各段的叠加，相当于 模拟频谱周期延拓后叠加的效果。如果模拟频谱周期延拓后叠加的效果。如果H(jH(j) )的频谱分量的频谱分量 限于限于(-/T(-/T，/T)/T)的范围内，也就是最高频率不超过采的范围内，也就是最高频率不超过采样频率的一半，即样频率的一半，即: : G(jG(j)=0 | )=0 | | /T | /T 。 则周期延拓后无频谱混叠，变换得到的数字滤波器的频响则周期延拓后无频谱混叠，变换得到的数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响。才能不失真地重现模拟滤波器的频响。说明说明 冲激响应不变法适用于滤波器非零带宽小于采冲激响应不变法适用

27、于滤波器非零带宽小于采样频率一半的场合。显然，高通和带阻不能用此法，样频率一半的场合。显然，高通和带阻不能用此法，另外，截止特性不好拖尾太长的低通、带通也不宜另外，截止特性不好拖尾太长的低通、带通也不宜用此法。用此法。例例 6.4.16.4.1分析：略分析：略例例 6.4.26.4.2分析：略分析：略二、二、双线性变换法双线性变换法 双线性变换法由凯塞双线性变换法由凯塞(Kaiser)和戈尔登和戈尔登(Golden)提出提出，其，其是从是从频域频域出发，使出发，使DF的频率响应与的频率响应与AF的频率响应相似的一种的频率响应相似的一种变换法。变换法。实现实现S平面与平面与Z平面一一对应的关系平

28、面一一对应的关系，避免了冲激响，避免了冲激响应不变法的频域混叠应不变法的频域混叠。映射满足：映射满足：、S S平面的整个虚轴只映射为平面的整个虚轴只映射为Z Z平面的单位圆一周；平面的单位圆一周；、G G（S S）稳定，则）稳定，则H H（Z Z）稳定；）稳定；、映射可逆；、映射可逆；、若、若G(j0)=1G(j0)=1，则，则H(eH(ej0j0)=1;)=1;满足上述关系式的映射为满足上述关系式的映射为sTsTzzzTzzTsssss22)1 ()1 (2) 1() 1(2111.解决了冲激不变法的解决了冲激不变法的混叠失真问题。混叠失真问题。2.它是一种简单的代数它是一种简单的代数关系。

29、关系。这种双线性变换法的背景是用表征数字滤波器这种双线性变换法的背景是用表征数字滤波器H(z)H(z)的差分方程作为模拟滤波器的差分方程作为模拟滤波器H(s)H(s)所对应的微分方程所对应的微分方程的近似解获得，其变换过程是的近似解获得，其变换过程是: : )1()(2)1()(2)1()(1),(2/)1()(),(2/)1()(/)1()()()()(),/()()(H)(ZnxnxAnynynynyTtxnxnxtynyny，TnynytAxtydttdysAsG：zsHss于是得到来代替来代替用代替微分可用则其时域微分方程为对一阶系统例差分方程微分方程)2/arctan(2)2/tan

30、(2),2/tan(2| )()()(,)1 ()1 (2)()1()1(21111ssszzTssTTTjj。sGzHsGzzTAzHZs即由此可得的关系这就是这种双线性变换比较可得与变换得两边取arctan2),2/tan(11) 1() 1(ss，zzzs在上述的双线性变换法中，如果省略在上述的双线性变换法中，如果省略2/TS，不影响滤，不影响滤波器的设计，得波器的设计，得。zHsG、；sG、；、：IIRspspsp)()(3)(2,)2/tan(1转换成利用双线性变换法将模拟低通滤波器利用上述性能指标设计不变和而和转换成和的关系将利用滤波器的步骤如下利用双线性变换设计例例 6.5.16.5.1分析：略分析：略注意：注意：双线性变换双线性变换