微积分之美 -

1、微积分之美-科学美学论文【摘要】：数学是美的。而数学中的微积分，以其简单性、对称性、实用性、奇异性和创造性展现着它独特的，无与伦比的美！【关键词】：微积分；简单性；对称性；实用性；奇异性；创造性微积分之美一：简单性之美 1.1 逻辑简单性 陈大柔老师在科学美学中提到了科学理论建构的逻辑简单性法则。逻辑简单性法则被普遍应用于科学发现之中。它指的是“科学体系中所包含的彼此独立的假设或公理最少”。爱因斯坦也曾指出：“科学的目的，一方面是尽可能完备地理解全部感觉经验之间的关系，另一方面是通过最小数的原始概念和原始关系的使用来达到这个目的（在世界图像中尽可能地寻求逻辑的统一，即逻辑元素最少）。”例如广义

2、相对论就是一个很好的例子，它看似复杂深奥，让人难以理解，但是归根结底，它的基础假设只有相对性原理和光速恒定原理两条，它便是一个符合逻辑简单性美的物理学理论。同样，我们可以看到，尽管微积分千变万化，有看似深奥的极限思想，有微分，有积分，但是它的基本原理却非常简洁。即增量无限趋近于零时，割线无限趋近于切线，曲线无限趋近于直线，从而“以直代曲”，以线性化的方法解决非线性问题。再精简地说，就是“以直代曲”。这简单的基本原理不禁让我们惊叹微积分所具有的逻辑简单性之美！1.2 定理简单性 微积分基本定理是微积分中非常重要的一个定理，作用巨大。但是它毫不复杂，而是非常精简地揭示了积分与求导的某种内在联系，还

3、将不定积分与定积分联系了起来。还有费马定理，拉格朗日定理等重要定理，都是形式异常简单，却又作用巨大。 二：对称性之美陈大柔老师在科学美学中还提到了对称性形式美法则。无论在艺术领域还是在科学领域，对称美形式法则都发挥着巨大的作用，而在科学审美活动中，科学家、尤其是物理学家，经常依据对称性作为理论美的评价标准。在他们开来，一个理论越对称，就越美。如法拉第揭示电磁对称，狄拉克预言的电荷共轭对称，爱因斯坦相对论揭示的空间与时间对称，以及基本粒子物理学中的物质与反物质对称等，在一定程度上，也都符合对称性形式美法则。 同样，我认为，微积分中也存在着对称美，其中最突出的就是“微分”与“积分”。正如我们有了加

4、法，就会自然地想到减法，有了乘法，就会自然地想到除法那样，人们往往会在积分时想到微分，在微分时想到积分。或许简单地把微分和积分比作一对互逆运算有些不大贴切，但是微分与积分确实存在着某种内在的不可抗拒的对称性。而它们，就好比两个相反的工具。微分犹如显微镜，在局部的很小的范围内研究问题，化曲为直。而积分更像是望远镜，被人们用来看待整体的一个工具。没有微分，积分无从谈起，也就不会有微积分巨大的作用；没有积分，微分也就只是局限于研究一些问题的局部情况，同样不会有微积分巨大的作用了。所以，微分和积分相辅相成，而它们内在的对称性，也让微积分具有独特的对称美！ 三：实用性之美如果一门学科仅仅只是有一些华丽的

5、式子和晦涩难懂的理论，却毫无实际用处，那么这门学科很难说它是美的。微积分，从它诞生之日起，就注定了它作为研究自然科学的有力武器的地位。有了微积分，人类才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接作用结果。在微积分的帮助下，万有引力定律发现了，牛顿用同一个公式来描述太阳对行星的作用，以及地球对它附近物体的作用。从最小的尘埃到最遥远的天体的运动行为，宇宙中没有哪一个角落不在这些定律所包含的范围内。这是人类认识史上的一次空前的飞跃，不仅具有伟大的科学意义，而且具有深远的社会影响。它强有力地证明了宇宙的数学

6、设计，摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学。一场空前巨大的、席卷近代世界的科学运动开始了。毫无疑问，微积分的发现是世界近代科学的开端。 四：奇异性之美人们提起数学的时候通常会说“奇妙的数学”，数学的学习和解题中也有一些非常规的奇妙的解法等等。这些就是我们通常说的数学的奇异性。徐利治教授说“奇异是一种美，奇异到极度更是一种美。”奇异性是数学美的一个重要特征，它反映了显示世界中非常规现象的一个侧面，也是数学发现中的重要美学因素。数学领域中的一些新的观念的产生，就是来自对奇异美的追求。奇异性常常和数学中的反例紧密相联，反例的产生则往往导致人们的认识能够深化和数学理论的重大发展。例如人们以为一切函

7、数都是连续的，连续性不被人们所注目，当有间断点的函数出现，以至于有著名的狄里克莱函数：D（x）=出现时，由于它在实数轴上处处有定义，但却处处间断，这种奇异性的发现使人们对连续性的美妙之处看得更清楚了。同样，当魏尔斯特拉斯给出处处连续而处处不可微的函数时，人们对可微的概念便有了更深刻的认识。微积分同样有奇异性，正是贝克莱悖论的奇异性。当时微积分在初创时期还缺乏清晰的、严谨的逻辑基础。当时牛顿对导数的定义为：当x 增长为x+x时，x 的立方（记为x3）成为（x+x）的立方（记为(x+x）3)。即x3+3 x2*x+ 3x *x2+x3。x 与x3 的增量分别为x和3* x2*x+ 3x *x2+x

8、3。这两个增量与x 的增量的比分别为1 和3 x2+ 3x *x +x 2，然后让增量消失，则它们的最后比为1 与3 x2。我们知道这个结果是正确的，但是推导过程确实存在着明显的偷换假设的错误：在论证的前一部分假设x是不为0 的，而在论证的后一部分又被取为0。那么x到底是不是0 呢？这就是著名的贝克莱悖论。这种在微积分的基础上所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机。之后，一批杰出的数学家积极为微积分的奠基工作而努力，其中包括了达朗贝尔、拉格朗日、柯西等。最终，微积分的理论基础得以完善。而微积分，也因此愈发显现其奇异性之美！ 五：创造性之美微积分的思维方法是前所未有的！是创造性的!它带给我们的

9、还有一种无与伦比的创造性之美。微积分的思维方法是从研究非均匀变化一类问题开始形成的。我们知道，即时速度和即时加速度这两个重要的物理概念，是从运动时间的差值无限缩短并最终趋于0的过程中得到的。以即时速度为例，匀变速直线运动的物体，其速度在不同位置都不是一样的，我们要知道物体在某点的即时速度 ，只孤立的考察这一点是不行的，必须从物体在这一点前后的运动中考察。我们让时间从t0变到t，位移相应的从s(t0) 变到 s(t)，借助匀速直线运动的速度公式：速度 = 路程 / 时间，求得物体在 t0 至 t 时间内的平均速度： v=s(t)-s(t0) / (t-t0) = s/t。这个平均速度是

10、假定在该段时间内速度不变化而得到的，它当然不是物体t0 时刻的即时速度。但是如果我们设想时刻t动起来，无限接近时刻t0 ，即让t变得无限小，从而s亦变得无限小，用这个极短时间内的平均速度去代替t0 时刻的即时速度v，误差将变得很小，而且t 越小，近似程度就越高。当 t无限接近并且最终变回到t0 ，即运动时间差值无限缩短并且最终消失为0时， 平均速度便发生质变转化为t0 时刻的即时速度。这正是微积分的创造性之处，也是常量数学难以理解的问题。当t趋于0的过程中，s亦趋于0，00在0不能做除数的数学中，是没有意义的，面对上述问题中的0/0这个怪物，科学家们曾长期不能正视，徘徊不前。恩格斯在自然辩证法中指出：“运动本身就是矛盾；甚至简单的机械的位移之所以能够实现，也只是因为物体在同一瞬间，既在一个地方，又在另一个地方，既在同一个地方，又不在同一个地方。这种矛盾的连续产生和同时解决正好就是运动”，“单纯的量的变化到一定点时就转化为质的区别”。当t 由单纯的量的变化消失为0，使得依赖于它的s也消失为0时, 质的变化发生了。那就是在出现0/0的过程中，比值s/t却能最终被保存在这个0/0中。把消失为0 的t和s 分别用dt和ds来表示，成为v = ds / dt，就是即时的速度，而ds = v(t) dt便是微分。 由此可