考研数农真题及解析

1、、选择题:2010年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考18小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.设函数f X(A)e都是f x的第一类间断点(B)e都是f x的第二类间断点(C)x的第一类间断点，xe都是x的第二类间断点(D)x的第二类间断点，xe都是x的第一类间断点(2)曲线y的凸弧区间是(A)(B) 8, 4(C) 4,4(D) 4,x具有二阶导数,xoa,gxo0,g0,则x0取极大值的一个充分条件是(A)(B) f a(C)(D) f(4)设函数f x在区间0,1x dxI10 0 Jf x 1 f

2、y dxdy ,dxdy ,I3x f y dxdy,则(A)I1I 2I3(B)I1 I3(C)I2I1(D) I3I1设向量组1, 2,L r可由向量组II :s线性表不，下列命题正确的是编辑版word(A)若向量组I线性无关，则r(C)若向量组II线性无关，则(B)若向量组I线性相关，则(D)若向量组II线性相关，则(6)设A为4阶实对称矩阵，且A20,若A的秩为3,则A相似于()ss()(A)(C)(A)(C)(8)(A)设随机变量P AB设 X1,KET填空题:(B)(D)X服从 1,1上的均匀分布,(B)事彳牛AP AB(D)P AB,Xn使来自总体N(B) 29-14小题,每小题

3、(C)0的简单随机样本,记统计量(D)4分，共24分,请将答案写在答题纸指定位置上，则(). x lim x x(10)曲线y2x2 sin x2-的水平渐近线的方程为cosx x(11)已知一个长方形的长 x以0.2m/s的速率增加，宽y以0.3m/s的速率增加，当xy 5m时，其面积增加的速率为yx 1 ,，、(12)函数z y 在点l,e的全微分dz1,e .11 1“T(13)设A, A为A的转置矩阵，则行列式AT A.1 2 3k 1(14)设随机变量 X的概率分布为 P X k 1 ,k 1,2,L，其中01,若PX25,则 PX3 9三、解答题：15-23小题，共94分请将解答写

4、在答理纸,指定的位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10分)x x _.设函数 f (x) ln tan - e cos2x ,求 f (一) 22(16)(本题满分10分)2计算定积分 0 、x cosxdxy及1 y之积成比例(比例系(17)(本题满分11分)设某农作物长高到 0.1m后，高度的增长速率与现有高度数k 0),求此农作物生长高度的变化规律(高度以m为单位).(18)(本题满分11分)计算二重积分Ix sin(xy) dxdy ,其中区域 DD/、22_,(x, y) x y 2,x 1(19)(本题满分 10分)证明:e(x 0).(20)(

5、本题满分10分)a11设 A 0 a 1 0 ,11a已知线性方程组Ax有2个不同的解，求a的值和方程组 Ax的通解.(21)(本题满分11分)11 12 4a, 6是A的一个特征值,33 5(I)求a的值；(II)求A的全部特征值和特征向量(22)(本题满分10分)(I)常数 a,b; (ll)Cov(X,Y).(23)本题?黄分11分)设随机变量X的概率密度为f xx ,1 x0,其他。1, 令YX2 1,求3(I) Y 的概率密度fYy； (II) P 1 Y 22010年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学试题参考答案一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个

6、选项中，只有一个选 项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上.设函数f x(A)e都是f x的第一类间断点.(B)e都是f x的第二类间断点.(C)的第一类间断点,e都是的第二类间断点.(D)的第二类间断点,e都是的第一类间断点.答案:详解:limx 3- lim3 ex 3x e lim limx ee 3e elime e 3 x ex的第一类间断点，x的第二类间断点.(2)曲线yx 的凸弧区间是x 4(A)(B) 8, 4 .(C)4,4(D)4,答案:详解:2x 160,8上，曲线是凸的(3)设函数f x , g x具有二阶导数,x0a,gx00,gXo取极大值的一个充

7、分条件是(A) f0.(B) f a0.(C)0.(D) f0.答案:详解:g x g x ,由于 g %0,得:f g Xof g Xogx0Xo0.由于gXo0,所以f(4)设函数x在区间0,1上连续,1 f y dxdy,dxdy ,f y dxdy,则(A) I1I3 .(B) I1 I 3 I 2 .(C)I2I1(D) I3答案:详解:f y dy由于(A)(C)x dxx dxI3dxdydxdxdxy dydx1,所以dx设向量组若向量组若向量组答案：Adxdx1,dxI111dx02 ,L rI线性无关，则II线性无关，则0fx dxdx可由向量组S.s.II1,2, L s

8、线性表小,卜列命题正确的是(B)若向量组I线性相关，则r (D)若向量组II线性相关，则() s.r s.详解：由于向量组I能由向量组II线性表示，所以r(I)r(II )，即r(r) r( 1,L , s)若向量组I线性无关，则r( 1,L , r)r，所以r r(1,L , r) r( 1,L , s)r s,选(A).(6)设A为4阶实对称矩阵，且 A2 A3,则A相似于(A)(C)答案:详解:特征值为-1因此,(A)(C)(B)为A的特征值，由于A2 A0。由于设随机变量X服从(D)A为实对称矩阵，故MA:11,10,所以0,1）0,这样A的AB0.B 1.答案:详解:P(AB)P(0

9、 x1；A可相似对角化,A:，r(A)r( ) 3,上的均匀分布，事彳A(B)(D)，则（）P ABP ABPAPP(A)P(01)2P(B)P(x 4)P(AB)P(A) P(B)(8)设 X1,K则ET2(A)2,Xn使来自总体N(B)24)P(0(C)0的简单随机样本，记统计量(D)2nXi2)i 112-n DXi E2(Xi) n答案：C1no 1详解：ET E(- Xi2) -E( n i 1n所以选择C项二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.lim x答案:详解:limxxlim 1xax【a(10)曲线2x2sin x2的水平渐近线的方程

10、为cosx x答案：y详解：limx2x2 sin x2- cosx xlimxsin x72 0xcosx 10 11x(11)已知一个长方形的长x以0.2m/s的速率增加,宽y以0.3m/s的速率增加，当x 12m ,y 5m时，其面积增加的速率为 .答案：4.6m2/s详解：设 x x(t), y y(t),由题意知，在 tt0 时刻 x(t0)12,y(t0)5,且 x(t0) 02y (t0)0.3,又 S(t) x(t)y(t),所以 S(t) x(t)y(t) x(t)y (t)所以 S(t0)x(t0)y(t0)x(t0)y(t0)0.2 5 120.3 4.6. yx 1(1

11、2)函数z 在点1,e的全微分 dz1ey,1答案：dx2- dyex详解：因为z L-y1,e1、,，且变形为 e对上式两端微分，有zdyydz所以ydx所以dz1,exxy2ydx -12 dyeyzxln y eyZdy(13)设 A答案：0ln ydx,AT为A的转置矩阵,详解：AT A是3阶矩阵，A为2 3矩阵r(ATA) r(A) 2,ATA0(14)设随机变量X的概率分布为P答案:详解:427P(XP(X三、解答题:exlny 1x -dyy则行列式ATA2)3)P(X(11) P(X2)(1)1)23(舍)为1)23342715-23小题，共94分请将解答写在答题纸证明过程或演

12、算步骤.(15)(本题满分10分)x x 一设函数 f (x) ln tan e cos2x , 2求 f ().2x详解：f (x) ln tan2cos2x则 f (x),x tan22 x sec 一2e x cos2xx ln ydx dyy,k 1,2,L ,其中 0(1)2 1(1)1,若指定的位置上.解答应写出文字说明、e x( 2sin 2x)xcscx e cos2xx - c2e sin 2x所以 f (x) cot x cscxe x cos2xe x 2sin 2x 2(e xsin 2xcotx cscxe x(4sin 2x3cos 2x)所以 f （万）3e 5（

13、16）（本题满分10分）2计算定积分 ,x cos - xdx0详解：令 t '一 x,x t2,dx 2tdt所以10tcost2tdt 20t2dsint2t2 sin t0 4tsintdt0 4td cost4t cost4 0 costdt4（17）（本题满分11分）设某农作物长高到0.1 m 后,高度的增长速率与现有高度详解:0）,求此农作物生长高度的变化规律（高度以m为单位）.由题意得当 ky(1 y) dt解得ydyy(1 y)kdt ，所以lnktCiCekt Cekty 0.1m代入初始条件y(0)0.1解得C所以化简得ykte"t二e 9（18）（本题满

14、分11分)计算二重积分I x sin(xy) dxdy ,D其中区域D(x, y) x2L L 4分e x 2cos 2x)L L 8分L L 10 分L L 4分L L 6分L L 8分L L 10 分 之积成比例(比例系L L 4分L L 9分L L 11 分 y2 2,x 1 .详解：I xDsin(xy) dxdy xdxdyDsin(xy)dxdyD因为D关于x轴对称，且sin(xy)dxdy的被积函数为y的奇函数，所以sin(xy)dxdy 0D又因为xdxdyD2 xdxdydiNd02r cos secrdr72 04 cossecr2dr33coscos4.2 cos312

15、cos4 72cos3匚sec43(19)(本题满分2 23 310分)L L 11 分x、r1证明：1xe(x0).证明：令F(x) 1对等式两边同时取对数,(x0)对等式两边同时求导数得:又因为x 0时,ln(1x)ln F(x)(x1)ln(1F'(x)ln(11一) x1) x(x1)J 2 x11ln(1 1)-x x1 ln(1 )x1F(x)F'(x)ln(11) x又Q F(x) 0 ,F'(x)F (x)单调递减又 lim F (x) lim(11、x1_) xlim (1 x1)x (1 x) xlim (1 x-)x xlim (1 x-)e x所

16、以 F(x) e (11)x xL L 10 分(20)(本题满分 10分)已知线性方程组Ax有2个不同的解，求a的值和方程组Ax的通解.详解：已知Ax有2个不同的解r(A)r(A,)2(a 1)2(a1) 0知a 1或-11时,r(A)r(A,2此时Ax无解(A,原方程组等价为x3x23212 0Ax的通解为x(21)(本题满分11分)(I)求a的值;(II)x2x332120x3x2x3x3,k为任意常数。,6是A的一个特征值,求A的全部特征值和特征向量详解：(I)由于6是A的特征值，故6E A 0,即10分12a 24 0由此可得a(II) A 2一 2一(2) (6)0故A的特征值为1

17、,22, 3X1由(2EA)x0,X2X3解得基础解系为故对应于由(6EA)x解得基础解系为2的全部特征向量为(22)(本题满分10分)设二维随机变量k1X1X2X3(X,Y)的概率分布为k2 2*1*2为不同时为零的常数.L L 9分6的全部特征向量为 卜3 3,卜3为不为零的常数.L L 11 分且 p X Y 1| X 0(I)常数 a,b; (II)详解:1由,(II)一.求3Cov(X,Y).(I)由二维离散型随机变量分布律的性质可得可得CovX,YXY12Cov X,Y(23)(本题满分设随机变量P X Y 1,X0P X 0,Y 16,bXY12E XY11分)1212L L 10 分X的概率密度为f(I )Y的概率密度fYy ; ( II ) P0,其他。1, 令YX2 1,求详解：(I枚Y的分布函数为Fy yFy y P Y y P X2 1X2若 y 1,则 Fyy P若