数学物理方法第5章PPT课件

1、目的与要求目的与要求：了解在任意有限区间上函数的傅里了解在任意有限区间上函数的傅里 叶级数展开法；掌握叶级数展开法；掌握期函数的期函数的展开、定义和性质；展开、定义和性质；函数的函数的 定义与性质。定义与性质。重点：重点：难点：难点：函数的函数的傅里叶傅里叶展开、展开、函数。函数。函数的概念。函数的概念。第1页/共60页 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的 例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏

2、微分方程的求解中成为重要的方法之一 积分变换在现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用 第2页/共60页所谓积分变换积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数，经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量的积分）( )( )( , )dbaFf t K tt变为另一函数类 B中的函数 ( ),F 这里 ( , )K t 是一个确定的二元函数，通常称为该积分变换的核 称为 ( )f t的像函数或简称为像， 称为 ( )F 的原函数 在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在偏微分方程可以减少自变量的个数

3、，变成像函数的常微分方程A中所求的解，而且是显式解像函数类B中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在( )f t( )F ( )f t第3页/共60页 另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时，就得到不同名称的积分变换: : （1 1）特别当核函数 i t( ,)K te（注意已将积分参变,ab 量改写为变量），当，则( )( )tFf t et id称函数 ( )F为函数 ( )f t的傅里叶（FourierFourier）变换，( )F( )f t简称为函数的傅氏变换同时我们称 ( )f t为( )F的傅里叶逆变换第4页/共60页（2 2）特别当核函数 ( , )ptK t

4、pep0,ab （注意已将积分参变量改写为变量），当，则0( )( )pttF pf t ed称函数 ( )F p为函数 ( )f t的拉普拉斯 (Laplace)(Laplace)变换，简称 ( )F p为函数 ( )f t的拉氏变换同时我们称 ( )f t为 ( )F p的拉氏逆变换 第5页/共60页 18071807年年1212月月2121日，日，FourierFourier向法国科学院宣布：任意的周向法国科学院宣布：任意的周期函数都能展开成正弦及余期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院，弦的无穷级数。当时整个科学院，包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。包括拉格朗日等，

5、都认为他的结果是荒谬的。傅立叶的两个最主要的贡献傅立叶的两个最主要的贡献:“” 傅里叶的第一个主要论点“” 傅里叶的第二个主要论点第6页/共60页 1.1.波的叠加原理波的叠加原理 在物理学中, ,我们已经知道最简单的波是谐波( (正弦波),),它是形如 的波, ,其中A是振幅, ,是角频率, , 是初相位. .其他的波如矩形波, ,锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来. .tAsin非正弦周期函数: :矩形波otu11 tttu0, 10, 1)(当当当当不同频率正弦波逐个叠加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt 第7页/共60页tusin4 )3sin

6、31(sin4ttu )5sin513sin31(sin4tttu 第8页/共60页)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu )7sin715sin513sin31(sin4)( tttttu )0,( tt 由上例可以：一个周期为2l的 可以看作是许多不同频率的简谐函数的叠加. .)7sin715sin513sin31(sin4ttttu 第9页/共60页,1cos,xl sin,xl cos2,xl sin2,xl cos,xkl sin,xkl , l l在在上上正交, , l l上的积分等于 0 . .即其中任意两个不同的函数之积在 2.2. 三角函数族

7、及期正交性三角函数族及期正交性第10页/共60页12cos()cos()dllxxknknxll证证: :1llcosdk xxl 1llsindk xxl 0coscosk xn xll)(nk coscosdllk xn xxll0sinsind0llk xn xxll同理可证 : :(1,2,)k 12cos()cos()xxknknllcossind0llk xn xxll)(nk 第11页/共60页上的积分不等于 0 .0 ., l l1 1d2llxl2sindllk xxl 2cosdllkxxl (1, 2,)k 21cos2cos,2kxkx21 cos2sin2kxkx且有

8、 ll但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 第12页/共60页设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为01( )cossin2kkkakxkxf xabll(在 f (x) 的连续点处)ka 1( )sindlklkxbf xxll其中l1( )cosdllkxf xxl(0,1, 2,)k (1, 2,)k 3.3.式 称为的傅傅里里叶系数叶系数 ;式中,kkab)(xf的傅傅里里叶级数叶级数 .称为函数)(xf第13页/共60页证证: 由条件,01( )ddcosdsind2lllkkklllak xk xf xxxaxbxll0a l, l l对在逐

9、项积分, 得0( )cosdcosd2lllak xk xf xxlxll01( )dllaf xxl1ncoscosdnk xn xaxllcossindlnlk xn xbxll2cosdlklk xaxl ka l(利用正交性)逐项积分, 得, l l乘 在lxk cos第14页/共60页1( )cosdlklk xaf xxll ),2, 1(k1( )sind(1, 2,)lklk xbf xxkll 类似地, 用 sin k x 乘 式两边, 再逐项积分可得01( )cossin2kkkaf xakxbkx1( )cosd(0,1,)kkkk xaf xxkkl 1( )sind(

10、1, 2,)lklk xbf xxkll 第15页/共60页(1)(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点； （2 2）在每个周期内只有有限个极值点，则傅里叶级数傅里叶级数收敛，且 在收敛点有： 01( )(cossin)kkkk xk xf xaabll在间断点有： 011 (0)(0)(cossin)2kkkk xk xf xf xaabll狄利克雷（狄利克雷（DirichletDirichlet）定理）定理 : 若函数 ( )f x满足条件： 4. 4. 傅里叶级数的收敛性定理傅里叶级数的收敛性定理 第16页/共60页)(tfto0d) 1sin() 1sin(ttntn例例

11、1 1. 交流电压交流电压tEtEsin)(经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解解: 这个半波整流函数2,它在)(tfna0dcossinttntE,sintE,0傅里里叶级数.,上的表达式为0t t02E的周期是22第17页/共60页000d2sintt21Ea 2cos212E时1n0d) 1sin() 1sin(ttntn2Eantnn) 1cos() 1(12E0tnn) 1cos() 1(1111) 1(111) 1(21nnnnEnn) 1(1) 1(21nEn32 ,0 kn,)41 (22kE), 1,0(kkn2第18页/共60页tttEbdsinsin01ttntnE

12、d) 1cos() 1cos(20) 1() 1sin(2ntnEbn0) 1() 1sin(0ntnttntEbndsinsin0ttEd)2cos1 (20022sin2ttE2En 1 时第19页/共60页由于半波整流函数 f ( t ),),(上连续在Etf)(tEsin2tkkEk2cos411212)(t直流部分直流部分说明说明:交流部分交流部分由收收敛定理可得2 k 次谐波的振幅为,14122kEAk k 越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f (x)了.to22)(tf上述级数可分解为直流部分与交流部分的和. . 第20页/共60页1( )kkf xb( )s

13、ind(1, 2,)kkxbf xxkl 其中(在 f (x) 的连续点处)sinkxl l20l如果 f (x) 为偶函数, 则有(在 f (x) 的连续点处)2)(0axf( )cosd(0,1, 2,)kkxaf xxkl 其中1kkacoskxl 注注: 无论哪种情况 ,).()(21xfxf在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里里叶级数都收敛于l20l如果 f (x) 为奇函数, 则有 第21页/共60页例例2.2. 把把展开成)20()(xxxf(1) (1) 正弦级数; (2) ; (2) 余弦级数. .解解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, , 则有2oyx),2,

14、1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2sin) 1(1xnnn)20( x第22页/共60页2oyx(2) 将将 作偶周期延拓, ,)(xf),2, 1(0nbn2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1) 1(422nnxxf)(200d22xxa2kn2,0,) 12(822k),2, 1(k则有1222) 12(cos) 12(181kxkk)20( x12 kn第23页/共60页当函数定义在当函数定义在任意有限区间任意有限区间上上时时, ,方法方法1

15、 1, , )(baxxf令,2abzx即2abxzzabzfxfzF, )2()()(2,2abab在2,2abab上展成傅里里叶级数)(zF周期延拓将2abxz)(xf在,ba代入展开式上的傅里里叶级数 其傅里叶展开方法: :（三）（三） 有限区间中的函数的傅里叶展开有限区间中的函数的傅里叶展开第24页/共60页方法方法2 2, , )(baxxf令,azxzazfxfzF, )()()(ab,0在ab,0上展成正弦或余弦级数)(zF奇或偶式周期延拓将 代入展开式axz)(xf在,ba即axz上的正弦或余弦级数 第25页/共60页利用欧拉公式欧拉公式已知周期为 2 l 的周期函数f (x)

16、可展开为级数：01kk( )cossin2kkkaxxf xabllk1cos2xlkkiieexxllkisin2xlkkiieexxll01( )22kkaaf xiieek xk xlli2kbkiieek xxll01i22kkkaabi2kkabiek xliek xl0ckckc（四）（四） 复数形式的傅里叶展开复数形式的傅里叶展开第26页/共60页llxfl)(21llxxfld)(21200ac 11k( )cosd2llxf xxlli2kkkabci( )sindllk xf xxll1kk( )cosi sind2llxxf xxlllllxfl)(21d(1,2,)xk

17、 iek xl注意到i2kkkabcxd同理(1, 2,)k iek xl第27页/共60页傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式:i1( )ed2k xllklcf xxl i( )ek xlkkf xc (0, 1,2,)k 因此得第28页/共60页29例例4 4：矩形波矩形波1(2,(21) )( )1(21) ,2)mmf xmm (),ikxkkfxc e 0000111( )22211111()()1( 1) ( 1)12220(2 )2(21).(21)ikikikkikikkkcfedededeeikikikknknin (21)21( )21inxnf xeinx1102第

18、29页/共60页为正弦 级数. 1. 周期为2l 的函数的傅里里叶级数展开公式)(xf20a1cossinkkkk xk xabll(x 间断点)其中ka 1( )cosdllk xf xxll kb 1( )sindllk xf xxll (0,1,)k (1,2,)k 当f (x)为奇 函数时,(偶)(余弦)2. 在任意有限区间上函数的傅里里叶展开法变换延拓2. 傅里里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出第30页/共60页 7 8第31页/共60页32 周期函数的性质是周期函数的性质是f(x+2l)=f(x),x每增大每增大2l，函数值，函数值就重复一次，非周期函数没有这个性质，但可以认为就重

19、复一次，非周期函数没有这个性质，但可以认为它是周期它是周期2l的周期函数。所以，我们也可以把非的周期函数。所以，我们也可以把非周期函数展开为所谓周期函数展开为所谓“”。考察傅里叶级数的复数形式: :i1( )ed2k xllklcf xxl i( )ek xlkkf xc (0, 1,2,)k 引入不连续参量1/0,1,2,lim/0kkkklkl kl（一）（一） 傅里叶变换傅里叶变换第32页/共60页33令令xf xF i1( )( )ed ,2 有有Ff i( )( )ed. 若若 有限，则非周期函数可以展开为有限，则非周期函数可以展开为lim( )lllfd ii1( )lim( )e

20、de2kk xlllllkf xflii1lim( )ede2k xlklkllkf ii1( ) limeed2xkkklkf ii1( )ede2xfd 称称f(x)的的称称F(x)的的像函数像函数原函数原函数第33页/共60页34傅里叶积分定理傅里叶积分定理：若函数若函数 f(x) 在区间在区间(- ，+ )上满上满足条件足条件(1) (1) 在任意有限区间满足狄里希利条件在任意有限区间满足狄里希利条件；(2) (2) 在区间在区间 (-(- ，+ + ) )上绝对可积（即上绝对可积（即 收收敛），则敛），则f(x) 可表为可表为 傅里叶积分，且傅里叶积分值傅里叶积分，且傅里叶积分值=(

21、0)(0)/ 2f xf x ()f xdx f xAxBx00( )( )cosd( )sindABff( )( )11( )cosd ,( )sind . xf xF i1( )( )ed ,2 Ff i( )( )ed. 第34页/共60页35奇、偶函数奇、偶函数fxAxAf00()()cosd,2()( )cosd. f xBxBf 00( )()sind,2()( )sind . 第35页/共60页36例例11,(),2rect( )10,().2xxx 定义矩形函数为定义矩形函数为012121( )f xx将矩形脉冲将矩形脉冲 展开作傅里叶积分。展开作傅里叶积分。( )rect()

22、2tf thT0hTT( )f tt1246810-0.20.20.40.60.81itTititTTTtf xhetThhhTetei 1F( )rect()d22sind.22 第36页/共60页37(1) (1) 导数定理导数定理fxF( )i( ) F Fixdf xfxedxdx 1( )( )?2 F F(2) (2) 积分定理积分定理xf x dxF ()1( )()i F F(3) (3) 相似性定理相似性定理f axFaa 1()() F Fy axixf axf ax edx 1 ()()2 F F(4) (4) 延迟定理延迟定理xf xxeF 0i0 ()( ) F F(

23、5) (5) 位移定理位移定理xef xF 0i0( )()F F0()1( )2ixf x edx (6) (6) 卷积定理卷积定理fxF 11( )( ) F FfxF 22( )( ) F F若若和和则则fxfxFF 1212()()2()() F F卷积卷积1212()()()()fxfxffxd xffxex i121( )()d d2 （二）（二） 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质yxxixf xxf xx edx 000 ()1()2 F F第37页/共60页f xxFx 22( ) d2() d （7 7）帕塞瓦尔等式）帕塞瓦尔等式能量守恒能量守恒或fx g xxFGx

24、 *( ) ( )d2() ()d xxFeg xxFg x ex *i*i()d( )d()( )dd 对于实函数f(x),定义自相关Rf t f tt ( )( ) ()d 可证其为偶函数( )()RR tFef ttFe *2ii()d()d2()d 第38页/共60页 12i( )dxf xFe ( (三三) ) 傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的物理意义 12j ()jdxFee 1212cosd isindFtFx 实函数实函数 iFFe 欧拉公式欧拉公式积分为积分为0若若f( (x) )为实数，则为实数，则幅频为偶函数幅频为偶函数, ,相频为奇函数相频为奇函数12( )( ) co

25、s( )f xFxd 01cosdFx 第39页/共60页 0dcosFfxx 10 d ,: F 无无穷穷多多个个振振幅幅为为无无穷穷小小的的连连续续余余弦弦信信号号之之和和 频频域域范范围围 求和求和 振幅振幅 余弦信号余弦信号 12 d , : ;F 无无穷穷多多个个幅幅度度为为无无穷穷小小的的连连续续指指数数信信号号之之和和占占据据整整个个频频域域解释解释 122ii( )ddxxFf xFee 第40页/共60页( (四四) ) 二维傅里叶变换二维傅里叶变换二维连续函数二维连续函数f (x,y)的傅里叶变换定义如下：的傅里叶变换定义如下：设设f (x,y)是两个独立变量是两个独立变量

26、x,y的函数，且在的函数，且在上绝对可上绝对可积，则定义积分积，则定义积分 为二维连续函数为二维连续函数f (x,y)的傅里叶变换，并定义的傅里叶变换，并定义 为为F(k1,k2)的反变换。的反变换。 f (x,y)和和F(k1,k2)称为傅里叶变换对。称为傅里叶变换对。2()1212(,)( , )k x k yF k kf x y ex y id d（1） （2） 2()121212( , )(,)k x k yf x yF k k ek k id d第41页/共60页例例2 2: : 求图1 1所示函数 ,( , )0,AxX yYf x yxX yY的傅里叶变换(矩孔费琅和夫衍射)。

27、图1 1 二维信号f (x, y) 解：将函数代入到(1)(1)式中，得 002-2-)(2-),(),(XYvyiuxivuidyedxeAddefvuF b ba a b ba ab ba a vY iux ievYvYeuXuXAXY)sin()sin(=第42页/共60页（a a）信号的频谱图 （b b）图（a a）的灰度图（幅度谱）图 信号的频谱图 其幅度谱为()vYvYuXuXAXYvuF)sin(sin=),(第43页/共60页一维一维函数函数 我们用我们用函数来表示任何在某种函数来表示任何在某种坐标系下高度集中的量，如点电荷、坐标系下高度集中的量，如点电荷、点光源、质点以及又窄

28、又强的电脉冲点光源、质点以及又窄又强的电脉冲等。等。 0lm/2/ l2/ l)(xlx/2/2( )lllmxxxml dd总质量总质量0l llllxxxxm/20/2lim( )d( )d, 的极限下总质量不变的极限下总质量不变 设质量为m的线长为l,进一步设线的单位长度质量即质量密度质量密度为 l ：llxlmxxxm lxlll0(/2)( )( )rect/(/2) 第44页/共60页45lllxmxxxxll000,(0)( )lim( )limrect().(0) 密度密度引入广义函数：引入广义函数： 函数函数0(0)( )(0)xxx xx ( )d1 x( )x0一般地，我

29、们有定义定义1 1：0000, (), xxxxxx0()d1.xxx 且 第45页/共60页性质性质(1) 偶函数偶函数()( )()( )xxxx 定义定义2 函数函数 如果对于任意一个在区间 (,) 上连续的函数 ( )f t恒有 00() ( )d()xxf xxf x则称满足上式中的函数 0()xx为函数函数， 对于任意的连续可微函数对于任意的连续可微函数 ( )f t,定义定义 ( )x函数的导数为函数的导数为 ( ) ( )d( )( )dx f xxx fxx 第46页/共60页47(2) 阶跃函数或亥维赛单位函数阶跃函数或亥维赛单位函数(函数的原函数函数的原函数)xxH xt

30、tx 0,(0)( )( )d1.(0) 0 x1)(xHH xxx d( )( )d (3) 表示连续量表示连续量baf tftft ( )( ) ()d( ) ()d (4) 复合函数复合函数(尺度变换尺度变换)() ( )()kkkxxxx 若若 的实根的实根 全部是单根，则全部是单根，则( )0 x kx第47页/共60页48() ( )()kkkxxxx 证明：按定义证明：按定义0( )0 ( )( )0 xxx ( )()kkkxcxx 在第在第n个根附近积分个根附近积分nnnnxxkkxxkxxcxxx ( )d()d 11 ( )( )( )nnxxxdxx nc例例1( )(

31、)xaxa 22()()()2xaxaxaa 第48页/共60页(5) 函数是一种广义函数 02201lim rect1lim1 sinlimlnnxxllnxxxxnnx上述极限是就积分意义上而言的。1 sin( )limnnxxx xxx 0sind2 22( )limn xnnxe 01( )lim2xnnxen (高斯函数高斯函数 ）(双边指数函数双边指数函数) 第49页/共60页501 sin( )limnnxxx 证明狄里希利定理证明狄里希利定理01( )cossinnkkkk xk xf xaabll nllkkk xkk xflllll111( )coscossinsind2

32、nllkkfxll 111( )cos() d2 llxnlfxll 1 ()sin()12( )d()2sin2 llf xfxf xf x 在在连连续续点点在在间间断断点点( ),()( ) ()d1 (0)(0)()2 参考P6习题1sin()12( )lim2sin2nnxxx 第50页/共60页51 函数函数傅里叶变换傅里叶变换xxCe i( )()d, xCx exe ii0111()( )d.222 xxe i1( )d,2 阶跃函数的傅里叶变换阶跃函数的傅里叶变换H xxx0( )dd,不满足傅立叶积分定理，不能直接给出不满足傅立叶积分定理，不能直接给出其傅立叶变换，必须采用极限处理其傅立叶变换，必须采用极限处理,(0)( ,)0.(0)xexH xxb bb b 0( )lim( ,)H xH xb bb b xxxH xeexebbbbb b b b b bi(i)0011111( ,)d22i2i F F第51页/共60页52从极限过程理解从极限过程理解：xnnxCe i( )()d, xxe i1( )d,2 例例2 2：将函数：将函数kxnnxxek i1( )lim( )d2 22( )exp()nnxn x 表示成傅里叶积分，并证明表示成傅里叶积分，并证明n xxnnnnnCee