2012真题及解析

1、2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线X2x渐近线的条数为()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3【答案】：C【解析】：X 亠X 叽厂-一所以心为垂直的H X=1，所以y =1为水平的，没有斜渐近线故两条选C(2) 设函数 f (x) =(ex -1)(e x -2)|l(enx - n)，其中 n 为正整数，则 f (0)二(A) (-1)2(n -1)!(B) (1)n(n -1)!(C) (1)2n!(D) (1)nn!【答案

2、】：C【解析】：f'(x)二 ex(e2x-2) |l(enx-n) (ex-1)(2e2x - 2) I 丨 l(enx-n)丨 1( (ex-1)(e2x-2川(nenx - n)'n 4所以 f (0(-1) n!(3) 设an>0(n=1,2,),Sn=a1+a2+an,则数列(Sn)有界是数列(an)收敛的(A)充分必要条件.(B)充分非必要条件.(C)必要非充分条件.(D)即非充分地非必要条件.【答案】：(B)k(4)设 Ikjex2sinxdx(k=1,2,3),则有 D(A) |i< I2 <I 3.(B) I2< I2< 13.(

3、C) I1< I3 <I 1,(D) I1< I2< I3.【答案】：(D)【解析】：Ikeex2sin xdx看为k2lk'=ek sink _0,k0,二,即可知Ik以k为自变量的函数，则可知k x2=e sinxdx关于k在0,二上为单调增e函数，又由于1,2,30,二，则 I I2I3，故选D(5)设函数f (x,y)可微,且对任意 x,y都有止比>0,辿<0怒必河:y(X2,y2 )成立的一个充分条件是(A)捲 > X2, y1< y2.(B)捲> X2, yi>yi.(C) xi< X2, yi< y2

4、.(D) xi< X2, yi> 壮【答案】：(D)【解析】：兰3 0，兰区X) ;:：0表示函数f(x,y)关于变量X是单调递增的，关于变x:y量y是单调递减的。因此，当Xi乜孑y2必有f(xi,yj ： fgm)，故选D! ix5y1 dxdy=(n(6)设区域D由曲线目二sin x, x , y = 1,围成，则2(A)二(B)2(C)-2(D) -：【答案】：(D)【解析】：由二重积分的区域对称性，H 1.x5y-1dxdy士dxsinx x5y-1dy 二-二_20103<C2 .丿1其中c1,c2, c3, c4为任意常数, lc4 .丿则下列向量组线性相关的是(

5、广1(8 )设A为3阶矩阵，（D）°2,°3,°401-1AA0-11 =G11._ ,=0，可知0( 1,O(3,O(4线性相关。故选(C)-1 1CiC3Q(C)1,：34【答案】：(C)【解析】：由于:Z1, ： 3 ,4P为3阶可逆矩阵，且PAP =，卩=(%02,。3)，2>Q = （G1c（3 ）则 Q AQ =（）1 、广1、（A）2（B）1< 2>z2、z2、（C）1（D）2< 2【答案】：(B)'100、'100、【解析】：Q = P110，则 Q* =-110p，1°0b1°0h

6、9; 1 0 0'1 0 0'Z10 0 fr1 、Z1 0 0故QAQ =-11 0PJAP1 1 0=-1 1 011 1 01<0 0 h<0 0 b3 0 bJ2>3 0 b<2>故选(B) °二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸 指定位置上.d-y2dr(9)设y =y(x)是由方程x2 - y 1 =ey所确定的隐函数，则【答案】：1【鮮靳】：将M 代入原方程可锯尸0x = 0> y = 0代入可得，所以方程F-y+17两制工求导，有”砂"型dx dxd>* “°再

7、次求导猖2-辛"淳:"空*再将x = 0. y-0.空°代入可得1-(io)计算 lim nX 丁:;12222n21n2 n2【答案】：4【解析】：原式1 dx(11)设 z= f In x，其中函数1=arcta nx0L、L、f (u)可微，贝y y2'=【答案】：0.【解析】：因为一二1:zf ,，所以z cy 0.y(12)微分方程2ydx (x - 3y )dy0满足初始条件的解为一5e y 3y e1 dy+ C【答案】：2x = y【解析】：2dx1dx 1ydx (x 3y )dy 一 03yxx 一 3y为一阶线性微分方程,dyydy

8、y所以丄,3y2dy + c=(y3 + C)丄厂一y又因为y = 1时x = 1，解得C = 0，故x = y2.【答案】：-1,0【解析】：将y 2x 1, y”二2代入曲率计算公式，有2x3/2 二、23_云1(2x 1)2 2整理有(2x1) =1，解得x = 0或1，又x ： 0 ,所以x = -1，这时y = 0 ,故该点坐标为-1,0(14)设A为3阶矩阵，A = 3, A为A的伴随矩阵，若交换 A的第一行与第二行得到矩阵B,则BA* =。【答案】：-27【解析】：由于 B =日2A，故 BA* = E12A A* =| A | E12 二 3E12，所以，| BA |=|3E1

9、2 | = 33 |E121 = 27*( -1) = -27.三、解答题：15 23小题，共94分.请将解答写在答题纸.指定位置上.解答应写出文字说明、 演算步骤.(15)(本题满分10分)证明过程或1 + x 1已知函数f (x)，记a = lim f (x)sin x x,t(1) 求a的值(2) 若当0时，f(x)-a是xk的同阶无穷小，求 k【解析】：(1)11x sin x 丄卄'lim f (x) = lim(1) = lim 21=1，即 a =1x 0x 0 sin x x x 10 x(2)，当 xr 0 时，由 f(x)-a = f(x)-1 =x sin xsi

10、n xxsin x又因为,当x 0时,1Ex与6X3等价，故1f(X)a6X，即(16)(本题满分10分)求 f x, y 二 xex2y2的极值。【解析】：X2 +y2 f x, y 二 xe 2 -先求函数的驻点.fx x,y i；二e-x =0, fy x, y =-y=0，解得函数为驻点为e,0 .又 A = fxx e,0 - -B = fxy e,0 =0,C = fyy e,0 - -1,1所以B2 - AC :：:0,A ：0,故f x,y在点e0处取得极大值f e,0e2.(17)(本题满分10分)过点(0, 1)点作曲线L : y=| nx的切线，切点为 A，又L与x轴交于

11、B点，区域D由L与直线AB及 x轴围成，求区域 D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。【解析】：1 1设切点坐标为Ax0,lnxo，斜率为，所以设切线方程为y - |nx0x- x0，又因为该切线过B(0,1)，所以X。二e2，故切线方程为：y =，1ee2|e2 -e2 i In2 xdxV 丄：2238 2e38 _ 2e38 _ 2e3e2e21 - 1 2|n XdX2 exln x1e2e2.|4e -(2x1 nx +( 2dx.2 2 ” 2-2 e -1e 33(18) (本题满分10分)计算二重积分| ixyd二，其中区域D为曲线r =1 cost 0 *： v &qu

12、ot;:二与极轴围成。D応1书os日【解析】：iixyd；- d ° r cos j rsin v rdrD1 二 4 si n r cos t (1 cos " d r2 ' 8 '=16 sin cos(2cos1) cos d 0 2 2 2 2 2jij=32 o2 sin tcos11 tdt -16 : sintcos9 tdt8 8=3 515(19) (本题满分 11 分)已知函数 f (x)满足方程 f"(x) f'(x)-2f(x) =0 及 f'(x) f(x) =2ex1) 求表达式f (x)2 x 22)

13、求曲线的拐点 y = f(x ) 0 f (t )dt【解析】：1) 特征方程为r2 r -2 =0，特征根为r1,r -2，齐次微分方程 (x) (x)-2f(x) = 0的通解 为 f (x) =C1ex - C2ex.再由 f'(x) f (x) =2ex得 2Gex -C2e'x = 2ex，可知 G =1,C2 =0。故 f (x) =exx2 X *2x2 x x2-2 x2 X *22) 曲线方程为 y =e .0 e dt，则 y'=1+2xe e dt， y" = 2x + 2(1 + 2x )e f0 e dt令y”=0得x=0。为了说明x

14、 = 0是y'0唯一的解，我们来讨论y''在x 0和x ： 0时的符号。2X2当 x 0 时，2x 0,2 V 2x2 e e dt 0，可知 y''；当 x ： 0 时，2 x22x : 0,2 1 2x e：0,可知y：0。可知x=0是y” = 0唯一的解。2 X2同时，由上述讨论可知曲线y = f(x2).° f(-t2)dt在X = O左右两边的凹凸性相反，可知0,0点是曲线2 X2y = f(x ).0 f ( 4 )dt 唯一的拐点。0)(本题满分10分)证明：,1 Xd X2ddxIncosx 亠1, 一1 ： x : 11 -x

15、2【解析】：令 f （x ）=xln1 -x1 亠 xx2cosx -1 - 一，可得2XX1 x 1 x 2 x2 -sin1 -x 1 -x(1 _x)=In=In1 -x1 x2x .2 -sin x -x1 -x21 x21 -x2|_x -sin x -x当 0 ： x ： 1 时,1 xIn0，1 -x1x22_x所以1x22|_x - sin x _ 0，1 -x故f x _0,而f 0=0，即得1 x xIn1 -xx2cosx -102所以xIn1 -x当 一1 ：x ： 0,1 ：u'x乞0有In1 -x1 x21”1，所以1 x2x sin x _ 0，1 -x2

16、即得 xIncosx -11 -x22X-02X可知，xIncos x -1, 一1 ： x : 11 -x2（21）（本题满分11分）(1)证明方程xn xnJ1 X =1（ n 1的整数），在区间'丄,1 j内有且仅有一个实根;<2丿（2）记（1）中的实根为Xn，证明lim xn存在，并求此极限。1-1n由题意得：令 f (x pxn +xn，+ x -1 则 f ( 1>) , 0 再由1:0，由零点定理得在（3,1）肯定有解x0，假设在此区间还有另外一根x1，(2)假设根为 Xn ,即 f (xn)二 x/ Xnn IXn ：所以心匕空上仝1Xn由 于Xn/* +X

17、n1 川 +Xn+ -1 干 0, 可n 丄n 1丄I | j丄Xn .1Xn 1Xn 1Xnn Xnnl Xn -0，可知 Xn 1 ： Xn。又由于1Xn :21，也即Xn !是单调的。1一仁 0,（;： Xn : 1）,2-仁：0, 由于则由单调有界收敛定理可知ixn收敛，假设lim xn =a，可知a ： x2 ：捲=1。 n_ic当 n；：时，lim f (xn)n_scjimXa 亠 an ；：1 Xn-仁0,得 lim Xnn .q a 0 0'5、01 a 0-1,b =00 1a0>a001 ；<0（22）（本题满分11分）设A二(I)求 A（n）已知线性

18、方程组【解析】：（I)1a0a00=1汇01a4十+ a(_1)41a000101aAx =b有无穷多解,a，并求Ax = b的通解。求000a=11a4 -a广1a001 1a001 )1a0001a0-1T01a0-1T01a0001a0001a0001a<a0010<02-a01-a<003 a1qa001、01a0-1T001a0v000”41 -a-a -2a丿001a可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有02_a a421 - a 0 及a - a广10-110-1001、-10010 -10、-10-1此时，原线性方程组增广矩阵为，进一步化为行最简形得001-10001-101°0000丿<°0000丿0、V0、