2013届压轴大题

1、22已知动点M到点1,0的距离与到直线x=3的距离之比为3(1) 求点M的轨迹C的方程并判断轨迹形状;(2)动直线I与轨迹C交于P(xi, yi ),Q(X2, y2)两不同的点，求 OPQ的面积S opq的最大值，其中0为坐标原点;(3)在(2)的条件下，若S.opq取最大值，求证：xf x；和y； y均为定值.解：(1)令 M (x, y)依题(2 扌化为2x2 3y6x -32 2即11，动点M的轨迹为椭圆32(2) 当直线I的斜率不存在时，有1S OPQ =2x2yi =2Xi2Xi6当直线I的斜率存在时，令直线 I的方程为y = kx m m = 0代入椭圆方程得 2 - 3k2 x

2、2 6kmx 3m2 -6 = 06 km2 3k23m2 6 2 3k2由弦长公式，PQ =它（1 + k2 Wxp + x2 f 4x4X2 】1 1Spq =2Pq d =y|m2,6 2 3k2 一 m22 +3k2mj2 + 3k2 m26 12 3k2又 m(2 + 3k2 - m22 3k2 - m222 3k22点O到直线l的距离为d二则 S OPQS OPQ的最大值为6"，综上,2(3) 由(2)知，当直线I的斜率不存在时，由 xy4 ="且 1 + 丫1 =1 知，x4 =灯6 , y4 = 123222 2 2 2X1 X2 = 3, y1 y2 =

3、2，-|m|j2 + 3k2 -m2 V6当直线I的斜率存在时，由S opq 66知2 + 3k229k4 -12k2m2 4m412k28m24=0即 3k2 - 2m22=0X； X； = xx2-2X4X26(3m2k2 -2m2 6k2 4)(2 + 3k2)23,y； y； = 4 - f x； x； =2综上，x； x2 二 3, y； y2 = 220、（本小题满分13分）2 2-1 T已知点P是圆x2 - y2 -1上一动点，点P在y轴上的射影为Q，设满足条件QM =2QP的点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设过点N(1,0)且斜率为匕(匕=0)的直线l被曲线C所

4、截得的弦的中点为 A , O为坐标原点，直线OA的斜率为k2，求k-2 k；的最小值.解: (1)设点P的坐标为(x0,y0)，点M的坐标为(x, y)，则点Q的坐标为(0,y0). x（3 分）由 QM = 2QP，得 x = 2x0y = y0，即 x0, y0 = y.22 222X2X2因为点P在圆x y =1上，则 y =1，故点M的轨迹C的方程为 y =1.446分）(2)由题设，直线l的方程为y =匕(x - 1)，由 一 "：一1），得（4k； 1）x2 8k2x 4k； 4=0. lx 4y =48 分）其中厶=64k： -4（4好 1）（4好 一4） =16（3k

5、12 1） 0.设直线I与曲线C的两交点坐标为(n，yj,( x2, y2)，则x1 x2 二比， k。1 x"證，所以 k2yr y22x x221.（10 分）4匕2 2 2 1 1 1所以kfK十斎乜，当且仅当"±2时取等号16k1故k2 * k；的最小值为.13 分）19.(本小题满分13分)已知等差数列和为Sn，且对任意正整数 n都有an的首项a1为a（a R,a=0） 设数列的前n项 a2n _ 4n -1an 2n T(1)求数列an的通项公式及Sn ； 是否存在正整数n和k，使得Sn , Sn+1 , Sn+k成等比数列？若存在， 求出n和k的值;

6、 若不存在，请说明理由. 解：设等差数列【专的公差为爪在也色二1中令1可得农久 即务钏一1旳竺2 =九 故d = 2a , a = tjj +(m - l)d = (2n - )a经检验，勺 _ '叵成立.a"aK 2n-所Lit盘”=(2n 1)4,毎=1十3+(2冷一】)曲=肄2盘.解土由(I)知-r?a !爲+j(总+ 1)%,备jt(并+*)%假若篡，Q：,滋成 尊比镇列则氐二聒即知护個+ 1)斗=血疔.又因齿盘工01禺比wN* , 所UA(Hr®+d 径整理得«(t-2)-U考虑至他上均为正整飙所以用 1, k« 3*所以 存在正整数鬥

7、"和疋=3符合题目的要求.ij . 317已知向量 a =(sin( x ), -一), b = ( ,cos( x ),且 f (x)二a b.2 6 2 2 2 6(1) 求f (x)最小正周期；(2) 数列an满足ai=1,a. .2=1 f (n1)2anf (n)2，求印*3比 山a49.解析：(1) f (x) =a b =sin( x )3 -cos( x )-2 6 2 2 6 2Jin jiji=sin(_x _ -) =sin( x)2662T=4 .+5分/ 、22 n兀.22 (n +1)jn(2) f(n)二sin ,f(n 1)二sincos-一2 2 2当 n =2k-1 时，an2 =(1 cos2(n