2012年陕西专升本高数真题+解答

1、2012年陕西专升本高数真题+解2012年陕西省普通高等教育专升本招生考试(样题)高等数学注意事项：全卷共10页，满分150分。考试时间150分钟。其中试题3页，用钢笔或 圆珠笔直接答在答题纸上，答在试卷上的答案无效。一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选好的答案填在答题纸上题号所 在的位置上。1. x 0是函数f(x)的【B】1 2A.可去间断点 B.跳跃间断点 C.振荡间断点 D.连续点x2 设函数f(x) 0(t 1)dt，则f(x)有【D】1 11 1A.极大值- B.极大值 - C.极小值- D.极小值 -2 2

2、 2 23.设函数f (x)的导函数为sinx ,则f(x)有一个原函数为A.4.sinxB.1 sin xC. 1 cosxD. 1 cosxxxe(1 x)?dxxA.1 xB.C. (1 x)1 2 * * 5D.xe(1 x)25.无穷级数1)n11 n51B.当p -时，为绝对收敛51D.当0 p -时，为发散的5、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。将答案填在答题纸上题号所在的位置6.设函数f(x)x2 x 2,1 x,3 则 f(f(1)37.极限limx 05 . 1 x sinx.2 sin x8.已知a 0 ,当x0时，eax ax 1与1 cosx是等价无穷小

3、，则常数a 1.d x 2239. f(t)dt3x2 f (x3 2).dx 110. 微分方程y y 0的通解为y y C1 cosx C2 sinx三、计算题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分.计算题要有 计算过程211. 求极限 limln(1 sin X).x 0ex 1解：怙叫sin2x)血卫拿x 0ex 1x 0 xx 0e 1x 0x12x.设参数方程ya(t a(1i )确定了函数cost)yy(x)，:求d2y 求 dx2 .解:因为dy dy dt _a si ntsi nt(4分)dx x a(1cost)1 costdt所以d2yd(dy) 1 dt Vdx

4、dxcost(12cost) sin t11(8分)dx2(1cost)2a(1cost)2a(1 cost)dt13.求函数f (x) (x10)3 (x5)2的单调区间和极值.解：f (x)即(x 5)2 (x 10) -(x 5) 3 53223 37x 5当 x 1 时，f (x) 0;当 1 x 5 时，f (x)0;当 x 5 时，f(x)的单调增区间为(，1,5,);单调减区间为1,5;2f(x)在x1处取得极大值f( 1) 9 63,在x 5处取得极小值(3分)f (x)0 .所以(6分)f (5)0 (8 分)23x14.求不定积分 (x In x 2)dx .1 x2解:/

5、 3|x(x ln x -)dxx115.-In xdx4414.x In x414.x In x4设函数z解：二2z(f11(xy)x(f211(1 C)dx141x16x3dx x arctanx4 x arctanxf( (xy),xy),其中(xy) y f2 yf12 x) (xy)y f1f具有二阶连续偏导数，(xy)xy (xy)(xy)x f- x)y f2(2分)(6分)(8分)二阶可导，求(4分)(8分)216.求空间曲线z x在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程xyz 1解:曲线方程x1 2z t2，t1 对应点为(1,1,1)t3因为dx 1 ； dy dt dt

6、所以dxdt|t1 1 ；(2分)(4分)所求切线方程为耳(6分)法平面方程为 (x1)3(y 1) 2(z 1) 03y2z 0(8分)17.计算二重积分3 x y dxdy,其中积分区域D解：法一 I3 x2 y2 dxdy3七r3rdr0(4分)3 22 r3dr0护|327 394(8分)法二：ID3 x2 y2 dxdy43 x2 y2dxdyD13 ?r 3rdr03918.计算对坐标的曲线积分?l (x2 xy3)dx (y22xy)dy,其中L是四个顶点分别为(0,0) , (2,0) , (2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界.解：设 P(x, y) x23xy，Q(x

7、, y) y2 2xy， L所围区域为D，且0x2，0 y 2由格林公式，得,23.? (x xy )dx(y22xy)dy D 凡P)dxdy y(42 2 2dx ( 2y 3xy )dy0 0223220( y xy)|dx0( 4 8x)dx(6分)(8分)19.将函数f (x)解：f(x) m4 x分)展开为麦克劳林级数x1 4 x(21 11 -1冬 242012年陕西省普通高等教育专升本招生考试（样题）x -14(6分)1卅(8分)20.求微分方程y 5y 6y xe2x的通解.解：原微分方程所对应齐次方程为y 5y 6y 0,它的特征方程为2r 5r 60特征根为ri 2 ,

8、h 3 .于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y(x)Ge2x C2e3x(3分)设非齐次方程的特解为*yx(ax2xb)e(5分)代入方程，得2ax 2a b x解得a12，b 1所求特解为*12xy x( 2X 1)e（6分）从而所求非齐次方程的通解为y(x)Ge2xC2e3x - (x222x)e2x(8分)四、证明题和应用题：本大题共 2个小题，每小题10分，共20分。计算题 要有计算过程，证明题要有证明过程。21.设函数f(x)在a,b上的连续函数，且f(x) 0F(x)b f(t)求证：F (x) 2 ; 方程F(x) 0在(a,b)内仅有一个实根.F (x)f(x)(帀2 2(5分

9、)所以方程F(x)0在(a,b)内最多 因为F(x)在a,b上是单调增加函数 只有一个根.(8分)a 1bF(a)b帀dt 0, F(b)af(t)dt 0综合以上可知，方程F(x)0在(a,b)内仅有一个实根.(10分)22.求抛物线y x24x 3及其在点(0, 3)和(3,0)处的切线所围成的图形根据零点定理，方程F (x)0在(a,b)内至少有一个根的面积.(2分)解：因为y 2x 4所以曲线在(0, 3)处切线方程为y 34(x 0)即y 4x 3曲线在(3,0)处切线方程为y 02(x 3)即y 2x 6(5分)因为两切线交点为(3,3)2(6分)2012年陕西省普通高等教育专升本招生考试（样题）所以，所求面积为(83:(4x 3) (