1991考研数二真题及解析汇报

1、1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设 y ln(1 3 X),则 dy 2(2)曲线y e X的上凸区间是 .In x ,1 rdx .1 X 质点以速度tsin(t2)米每秒作直线运动，则从时刻1.,：；：一秒到t2 秒质点所经过的路程等于米 .lim 1 eXx 0x eX二、选择题(每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号.)(1)若曲线y x2 ax b和2y 1 xy3在点(1, 1)处相切，其中a,b是常数，则()X1 2X XO 2X-33x3

2、2x3X- 32X- 33X- 312X- 2O 1,2X7 3X- 3X2(3)设函数f (x)在()有定义，X)0是函数f (x)的极大点，则(A) Xo必是f (X)的驻点(B)Xo必是 f( X)的极小点(A) a0，b2(B)a1，b3(C) a3，b1(D)a1，b12 X，oX 1,、X(2)设函数f(x)J记 F(X)0 f(t)dt，0X2，则()2X，1x 2，0(C) X。必是 f(x)的极小点(D)对一切X都有f(x) f (Xo)曲线y(A)没有渐近线(C)仅有铅直渐近线(B)(D)()仅有水平渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线 如图，x轴上有一线密度为常数，长度为I

3、的细杆，有一质量为m的质点到杆右端的距离为a,已知引力系数为k ,则质点和细杆之间引力的大小为()*-x(A)km 2dx (a x)(B)km 2 dx (a x)o km(C) 2 $(a x)2dx(D)2 km20 (a x)dx三、(每小题5分，满分25分.)2(1)tcost 求 d ytsintdx2计算dx41 x(1. x)x sin x lim2_x 0 x (e 1)xsin2 xdx.求微分方程xy y xex满足y(1)1的特解四、(本题满分9分)利用导数证明：当 x 1时,有不等式ln(1 x)ln x五、(本题满分9分)求微分方程y y x cosx的通解.六、(

4、本题满分9分)曲线y (x 1)(x 2)和x轴围成一平面图形，求此平面图形绕 y轴旋转一周所成的旋转体的体积 七、(本题满分9分)如图,A和D分别是曲线y ex和y e 2x上的点,AB和DC均垂直x轴,且AB : DC八、(本题满分9分)设函数f (x)在()满足 f (x) f (x ) si nx,且 f (x) x, x 0,),3计算 f(x)dx.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析、填空题(1)【答案】(每小题3分,满分ln3 x dx3x 115分.把答案填在题中横线上.)【解析】,即 y (f (x)的微分为 dy (f (x) f (x)dx,有由复合函数求

5、导法则【答案】存 3xln3(1)dxln3 dx.3x 1【解析】求函数 y f(x)的凹凸区间,只需求出y0,则函数图形为上凹，若0,则函数图形为上凸,由题可知ex2(2x) 2xex2ex2x2(2x)e x ( 2x)4e x (x22因为4e x0,所以当x20时y 0,函数图像上凸x2函数图像上凸.故曲线上凸区间为(【答案】【解析】1用极限法求广义积分ln xdx limb1x2b ln x1blimb1 lnxd(-)x【答案】【解析】设在t分部limbIn x-)dxxbimIn bIn1bimIn b1.12这是定积分的应用t dt时刻的速度为2tsin(t ),则在dt时间

6、的路程为dstsin(t2)dt ,所以从时刻t1秒到t2秒质点所经过的路程为t22s q tsin(t2)dt2122.sin(t )dt - _72sin(t )dt】cos(t2)2“ 1 1 1 严 2(coscos-)孑 322 31(1) 0) ?【答案】1【解析】这是-1个 型未定式，分子分母冋乘以e x,得lim 1x 0x11limx 01e匚1xe x11为简化计算,令t1,则x-,原式可化为xte1x 1t e10 1 ,limlim1.x 01tt e0 1xe x 1t1二、选择题（每小题3分,满分15分.）（1）【答案】(D)【解析】两函数在某点处相切,则在该点处的

7、切线的斜率相等 ，即在该点处的导数相等对两函数分别对x求导,得y 2x a,则该曲线在点（1, 1）处的导数为yx1 2 a,322y y 3xy y ,即 y3y2 3xy2,则曲线在点（1,1）处的导数为两导数相等1,即a1.又因为曲线ax b过点(1, 1),所以有 11b,b 1.所以选项（D）正确.【答案】（B）【解析】这是分段函数求定积分xxx11 o当 0 x 1 时，f(x) x2,所以 F(x) f (t)dt t2dt t3x3.003o 3当1 x 2时，f(x)2 x,所以XF(x) of(t)dtt2dt X(2 t)dt0 11t3(2x *2)2x 2x2.3,0

8、 x 1 所以F(X)3,应选(B).7x22x ,1 x 262(3)【答案】(B)【解析】方法一：用排除法由于不可导点也可取极值，如f (x) x 1 ,在X 1处取极大值，但是x0 1不是f (x) X 1的驻点，所以(A)不正确；注意到极值的局部性，即极值不是最值,所以(D)也不正确；对于f (X) |x 1|,在Xo 1处取极大值，但Xo1并非是 f (X) |x 1|的极小值点,所以(C)也不成立；故选(B).方法二：证明(B)是正确的，因为Xo 0,不妨设Xo 0,则f (Xo)为极大值，则在Xo的某个领域有 f (Xo)f (XoX)；f( XoX),即函数y f( x)与函数

9、y f (x)关于原点对称，所以必有f( x0)在Xo的某个领域f( Xo)为极小值，故(B)是正确的(4)【答案】(D)【解析】函数的定义域为 x 0,所以函数的间断点为 x 0,0o y彳 X21 elim 2x 01 exx2 e lim 2 x 0 X e,所以x 0为铅直渐近线1 - 11 - Im Hx1,所以y 1为水平渐近线f (x)在其间断点x x0处有lim f (x)X Xo所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数X X。是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim f(x) a,(a为常数)，则y a为函数的水平渐近线X【答案】(A)【解析】如图建立坐标系,则x

10、x dx中，dx长度的细杆的质量为dx,与质点的距离为a x,故两点间的引力为dF km 茫,积分得F ° km 2dx,故选(A).(a x)(cost tsin t)3 t23" (cost tsint)【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果 x (t),则凹.1 (a x)2同理应用微元法可知，若以I的中点为原点，则质点的坐标为(a -,0),故2km2 (adx ；x)21 也 dx.0(a I x)d2ydx2d dy 1 d si nt t costdt(dx)dx dt cost tsint>若以I的左端点为原点，则质点的坐标为(a I,0),故

11、F故(B)、(C)、(D)均不正确,应选(A).三、(每小题5分,满分25分.)(1)【解析】这是个函数的参数方程dy dy/dt sint tcostdx dx/dt cost tsint1cost tsint dt(2cost tsin t)(cost tsint) (2sin t tcost)(sin t tcost) 1(cost tsin t)2cost tsint2(cos2t sin2t) t2(sin2t cos2t) 3tsin tcost 3tsintcost4 dx1 x(1、x)1 t2(1 t) 2tdt2 1 121 ( c)dtx sin x2 x (e 1)x

12、limx 0sin x、缶 1 cosx厂洛xm03x2叫IKX 一 22nsi23X2t2142 ln2(l n心2l n t 1 1323(3)【解析】利用等价无穷小和洛必达法则当 x 0 时，有 si nx: x,e* 1 ln(1 x) 1 l nx 1 ln( ).x : 1 x,所以(4)【解析】用分部积分法求不定积分xsin2 xdxx121 x41 2x42xdx -21 xsin2x41 xsin2x41(xxcos2xdx【解析】所给方程是一阶线性方程.Idxx / x y e x ( e excos2x)dxsin 2xdx41 cos2x8,其标准形式为.Idxx dx

13、 C)11(xde C)(xexxx1 xd(si n2x)1 -y xxexdxexdxC)ex.通解为C)(xexxex C).【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程p(x)yq(x)的通解为p(x) dx(q(x)ep(x)dxdx C),其中C为常数.四、(本题满分9分)【解析】首先应简化不等式,从中发现规律当x 1时,原不等式即(1x)l n(1 x) xlnx,即(1 x)l n(1 x)xln x 0.证法一：令 f(x) (1 x)ln(1x) xl nx,则只需证明在x 1时f (x)0即可,可利用函数的单调性证明，对于f (x)有f (x)X 1因x 1,故1,即f(X)0,

14、所以在(1,)上f (x)是严格递增函数，所以Xf (x) f (1) 21 n20,故(1 x)l n(1 x) xlnx 0,所以当x 1时,有不等式ln(1 x) 成立 In x 1 x证法二：当x 1时,原不等式即(1 x)ln(1 x) xlnx,不等式左右两端形式一致，故令f(x) xln x,则 f (x) In x 10(x1),所以 f (x)xlnx在x 1时严格单调递增故 f(x 1) f (x)，即(1 x)ln(1x) xlnx.所以当x 1时,有不等式ln(1 x) 成立. ln x 1 x五、(本题满分9分)【解析】微分方程 y y x cosx对应的齐次方程 y

15、2y 0的特征方程为r 10,特征根为1,2i,故对应齐次通解为 C1 cos x C2sinx.方程y y x必有特解为 Y ax b,代入方程可得a 1,b 0.方程 y y cosx的右端 e x cos x cosx ,ii为特征根，必有特解Y2 x Acosx x Bsinx,代入方程可得 A 0,B1.2x由叠加原理，原方程必有特解 Y 琏 xsinx.2所以原方程的通解为 y C1 cosx C2sinx1 .x xsinx.2【相关知识点】y p(x)y q(x)y f(x)如果f(x) Pm(x)e x,则二阶常系数非齐次线性微分方程*kx具有形如y x Qm(x)e的特解，

16、其中Qm(x)与Pm(x)同次(m次)的多项式，而k按 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.如果f(x) exR(x)cos x Pn(x)sin x,则二阶常系数非齐次线性微分方程y p(x)y q(x)y f (x)的特解可设为yxke x Rxjcos x Rtxjsin x,i (或i )不是特征其中R? (x)与瓷)(x)是m次多项式，m max l,n ,而k按方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分9分)【解析】利用定积分求旋转体的体积，用微元法，曲线为一抛物线，与x轴的交点是x, 1,一 31X2 2,顶点坐标为(-，).2

17、4方法一：考虑对x积分,如图中阴影部分绕环柱体的体积为dV (x dx)2 y x2 y 2 x y dxy dx2y轴旋转故 | y y，即 dV 2 xydx2 x(x 1)(x 2)dx.其中dx2为dx 0的高阶无穷小，故可省略，且y为负的,把x从12积分得21 2 x(1 x)(x 2)dx 22 21 (3x3x 2x)dxx3 x412 (0 4)方法二：考虑对y的积分，如图中阴影部分绕 y轴旋转一周后的体积差，即y轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕2 2dVX2 dy 为 dy其中，为，x2为Y y与抛物线的交点，且x2 x1，把Y y代入抛物线方程 y (x 1)(x 2

18、)，解得3 . 1 4y 3 、1 4yX1，X222故旋转体体积为V0 ( 21(X242X1 )dy.把X1, X2的值代入化简，得0323 °o(1 4y)232V13,14ydy4431443 2七、(本题满分9分)【解析】可以利用函数的极值求解设B、C的横坐标分别为x1, x，因为| AB | 1，所以x 0，x 0.依题设AB:|DC|2:1，所以有e51 2e2x，两边同时取自然对数，得人In 22x，而BC x x1 x (In2 2x) 3x In 2,( x 0),所以梯形ABCD的面积为S 扣勺 e2x)(3x In 2) 1(2e2x e 2x)(3x In 2)|(3x In2