陕师大《大学物理学》(上册)习题解答

1、大 学 物 理 学 (上册 习题解答陕西师范大学物理学与信息技术学院 基础物理教学组2006-6-26第 2章 运动学2-1 一质点作直线运动, 其运动方程为 222t t x -+= , x 以 m 计, t 以 s 计。 试求:(1质点从 t = 0到 t = 3 s时间内的位移; (2质点在 t = 0到 t = 3 s时间内所通过的路程解 (1 t = 0时, x 0 = 2 ; t =3时, x 3 = -1; 所以, m 3 0( 3(-=-=t x t x x (2本题需注意在题设时间内运动方向发生了变化。对 x 求极值,并令022d d =-=t tx可得 t = 1s ,即质

2、点在 t = 0到 t = 1s内沿 x 正向运动,然后反向运动。 分段计算m 1011=-=t t x x x , m 4 1( 3(2-=-=t x t x x 路程为 m 521=+=x x s 2-2 已知质点沿 x 轴作直线运动,其运动方程为 32262t t x -+=。试求:(1质 点在最初 4s 内位移; (2质点在最初 4s 时间内所通过的路程 解 (1 t = 0时, x 0 = 2 ; t = 4时, x 4 = -30 所以,质点在最初 4s 内位移的大小 m 3204-=-=x x x(2由0612d d 2=-=t t tx可求得在运动中质点改变运动方向的时刻为 t

3、 1 = 2 s , t 2 = 0 (舍去 则 m 0. 8021=-=x x x , m 40242-=-=x x x所以,质点在最初 4 s时间间隔内的路程为 m 4821=+=x x s2-3 在星际空间飞行的一枚火箭,当它以恒定速率燃烧它的燃料时,其运动方程可 表示为 1ln(1bt t b u ut x -+=,其中 m/s100. 33=u 是喷出气流相对于火箭体的喷 射速度, s /105. 73-=b 是与燃烧速率成正比的一个常量。试求:(1 t = 0时刻,此火 箭的速度和加速度; (2 t = 120 s时,此火箭的速度和加速度解 1l n (d d bt u t x v

4、 -=; btubt v a -=1d d (1 t = 0时 , v = 0 , 233s . m 5. 221105. 7103-=a (2 t = 120s时, 120105. 71ln(10333-=-v 13s . m 91. 6-=2333s . m 225120105. 71105. 7103-=-=a2-4 如图所示,湖中有一只小船,岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水 面高度为 h , t = 0时,船与滑轮间的绳长为 l 0 。试求:当人以匀速 v 0拉绳时,船在距岸边 x 处的速度和加速度。 解 (1 设任意时刻 t ,绳长为 l ,由题意 tlv d d 0-=;

5、船到岸边的水平距离为 x ,则 22h l x -=小船的运动速度为 tl h l l h l t t x v d d d d d d 2222-=-=022v x h x +-=负号表示小船在水面上向岸靠近。小船的运动速度为 (d d d d 022v hl lt t v a -=3202022d d (d d xv h t lv h l l l -=-=负号表示加速度的方向指向岸边,小船在水面上加速靠岸。2-5 一升降机以加速度 2s m 22. 1-上升,当上升速度为 1s m 44. 2-时,有一螺丝从 升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距 2.74 m 。计算:(1螺丝从升

6、降机的天花板落到底面所需要的时间; (2螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离 .解 (1以地面为参考系,取 Oy 坐标轴向上 ,升降机的运动方程为20121at t v y += 螺丝的运动方程为 20221gt t v h y -+=当螺丝落至底面时,有 y 1 = y 2 , 即 20202121gt t v h at t y -+=+所以 s 705. 02=+=ag ht (2螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为 m 716. 021202=+-=-=gt t v y h d 2-6 已知一质点的运动方程为 j i r 2(22t t -+= (SI。 试求:(1 质点的运动轨 迹; (

7、2 t = 1s和 t = 2 s时刻,质点的位置矢量; (3 1s 末和 2 s末质点的速度; (4质点 的加速度。解 (1质点在 x 、 y 方向运动方程的分量形式为 x = 2t , y = 2-t 2 消去时间 t , 可得 2412x y -= 其运动轨迹为一抛物线(2 s 1=t 时 j i r +=21; s 2=t 时 j i r 242-=v 0(3质点运动的速度 v j i rt t22d d -=s 1=t 时 v 1j i 22-=即 m /s 221=v , o 145-=(1为 v 1与 x 轴的夹角 s 2=t 时 v 2j i 42-=即 m /s 522=v

8、, 6263o 2'-=(2为 v 2与 x 轴的夹角(4质点运动的加速度 j va 2d d -=t2-7 一质点在 Oxy 平面上运动,其运动方程为 j i r 222 310(t t += 试求:(1质点的轨迹方程; (2质点的速度、加速度。解 (1 质点运动方程的分量式为 2310t x +=, 22t y = 消去时间参数 t ,可得运动的轨迹方程 2023-=x y(2速度 v j i t t 46+= 加速度 j i a 46+=2-8 一质点在 Oxy 平面上运动,其运动方程为 j i r 1. 0cos(13 1. 0sin(3t t -+= 试求质点在 5s 时的速

9、度和加速度 。解 速度 v j i r1. 0sin(3. 0 1. 0cos(3. 0d d t t t+=加速度 (j i r a 1. 0c o s (1. 03 1. 0s i n (1. 03d d 2222t t t +-=t = 5 s时的速度为 j v s m 3. 0(1-= 加速度 i a s m 03. 0(22-=2-9 一质点从坐标原点开始沿抛物线 y = 0.5 x 2 运动,它在 Ox 轴上分速度 1s m 0. 4-=x v 为一恒量,试求:(1质点的运动方程; (2质点位于 x = 2 m处的速度和 加速度 。解 (1因 1s m 0. 4-=x v 为常数,

10、故 a x = 0 。当 t = 0时, x = 0 ,可得质点在 x 方 向的运动方程为 t x 4=又由质点的抛物线方程,有 28t y =所以 j i r 284t t += (2任意时刻 j i r v t t 164d d +=; j t16d d =v a 由 t x 4=和 x = 2,可得 t = 0.5 s所以,当质点位于 x = 2.0 m时,其速度 j i v 84+= ,加速度 j a 16=2-10 一汽艇以速率 0v 沿直线行驶。发动机关闭后,汽艇因受到阻力而具有与速度 v 成正比且方向相反的加速度 kv a -=,其中 k 为常数。试求发动机关闭后, (1任意时刻

11、t 汽艇的速度; (2汽艇能滑行的距离。解 本题注意根据已知条件在计算过程中进行适当的变量变换。(1由 kv tva -=d d , t k v vt vv -=00d d 得 kt v v -=e 0(2因为kv svv t s s v t v -=d d d d d d d d , s k v sv -=0d d 0所以 ks v =0 发动机关闭后汽艇能滑行的距离为 k v s /0=2-11 一物体沿 x 轴作直线运动, 其加速度为 2kv a -=, k 是常数。 在 t = 0时, 0v v =,0=x 。试求(1速率随坐标变化的规律; (2坐标和速率随时间变化的规律。解 本题注意

12、变量变换。(1因为 2d d d d d d d d kv xvv t x x v t v a -=; x k v vx vv -=0d d 0 所以 kx v v -=e 0(2因为 2d d kv t va -=, t k v v t vv -=02d d 0 可得 100+=kt v v v又因为 txv d d =, t kt v v t v x tt xd 1d d 000+=所以 1ln(10+=kt v kx 2-12 一质点沿 x 轴作直线运动,其速度大小 238t v +=, (SI 制 。质点的初始位 置在 x 轴正方向 10 m处,试求:(1 s 2=t 时,质点的加速度

13、; (2质点的运动方程; (3第二秒内的平均速度。解 根据题意可知, 0=t 时, 10ms 8-=v , m 100=x (1质点的加速度 t tva 6d d =s 2=t 时, 2ms 12-=a(2 由 t t t v x d 38(d d 2+= 两边积分t t x txd 38(d 0210+=因此,质点的运动方程为 3810t t x +=(3第二秒内的平均速度为 11212s . m 15-=-=t t x x t x 2-13 质 点 作 圆 周 运 动 , 轨 道 半 径 r = 0.2 m , 以 角 量 表 示 的 运 动 方 程 为22110t t += (SI 。试

14、求:(1第 3s 末的角速度和角加速度; (2第 3s 末的切向加速度和法向加速度的大小。解 (1因为 22110t t += 故 t t +=10d /d , =t d /d以 t = 3s代入, 1s ad r 13-= , 2s rad -=(2 2s m 2. 0-=r a t , 222s m 8. 33-=r a n2-14 一质点在半径为 r = 0.10m的圆周上运动,其角位置为 342t +=。 (1在 t = 2.0s时,质点的法向加速度和切向加速度各为多少?(2 t 为多少时,法向加速度和切向 加速度的量值相等?解 (1由于 342t +=,则 212d d t t =,

15、 t t24d d = 法向加速度 42n 4. 14t r a = 切向加速度 t r a t 4. 2=t = 2.0s时, 2222ns m 1030. 2-=r a st , 22s m 8. 4d d -=tra st t(2要使 t a a =n , 则有 t r t r 24 12(22=所以 t = 0.55 s2-15 一汽车发动机曲轴的转速,在 12 s内由 20 r/s均匀地增加到 45 r/s 。试求: (1发动机曲轴转动的角加速度;(2在这段时间内,曲轴转过的圈数。解 (1由于角速度 n 2=(n 为单位时间内的转数 ,根据角加速度的定义t d d =,在匀速转动中角

16、加速度为 200s r a d 1. 13 (2-=-=-=tn n t (2发动机曲轴转过的角度为 t n n t t t (2210020+=+=+= 在 12 s内曲轴转过的圈数为 390220=+=t n n N 圈 2-16 某 种 电 机 启 动 后 转 速 随 时 间 变 化 的 关 系 为1(20te -=, 式 中10s rad 0. 9-=。求:(1 t = 6 s时的转速; (2 角加速度随时间变化的规律; (3 启动后 6 s 内转过的圈数。解 (1根据题意,将 t = 6 s代入,即得1020s 6. 895. 0 e 1(-=-=t(2角加速度随时间变化的规律为 2

17、220s e 5. 4e 2d d -=ttt (3 t = 6 s时转过的角度为 r a d 9. 36d e 1(d 2660=-=-t t t则 t = 6 s时电动机转过的圈数 87. 52=N 圈2-17 半径为 r = 0.50m 的飞轮在启动时的短时间内, 其角速度与时间的平方成正比, 在 t = 2 s时,测得轮缘上一点的速度值为 1s m 0. 4-。求:(1该轮在 t = 0.5s的角速度, 轮缘上一点的切向加速度和总加速度; (2该点在 2s 内所转过的角度。解 由题意 2kt =,因 R = v , 可得比例系数 222=rtvt k 所以 22 (t t =(1 则

18、t = 0.5s时,角速度为 12s rad 5. 02-='=t 角加速度 2s rad 24d d -='=t t 切向加速度 2s m 1-=r a t总加速度 n 2n e e a a a r r t t +=+= 2222s m 01. 1 ( (-=+=r r a(2 在 2 s内该点所转过的角度 rad 33. 532d 2d 3220200=-t t t t 2-18 一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为 2 m 的圆形轨道运动。已知质点的 角速度与时间的平方成正比,即 2k t =(SI 制 。式中 k 为常数。已知质点在第 2 s 末的 速度为 32 m /

19、s 。试求 t = 0.5 s时质点的速度和加速度。解 首先确定常数 k 。已知 t = 2 s时, v = 32 m/s , 则有 322s 4-=Rtv t k 故 24t = , 24Rt R v =, Rt tva t 8d d =当 t = 0.5 s 12s . m 24-=Rt v , 2s . m 88-=Rt a t , 22s . m 2-=Rv a n 222s . m 25. 8-=+=n t a a a , o 10. 14tan =-tna a 2-19 由山顶上以初速度 v 0水平抛出一小球, 若取山顶为坐标原点, 沿 v 0方向为 x 轴 正方向,竖直向下为 y

20、 轴正方向,从小球抛出瞬间开始计时。试求:(1小球的轨迹方程; (2在 t 时刻,小球的切向加速度和法向加速度。解 (1小球在 x 轴作匀速直线运动 t v x 0=, y 轴上作自由落体 221gt y = 上述两方程联立消 t , 可得小球的轨迹方程 2202x v g y =(2 0v v x = ,gt v y =t 时刻,小球的速率 222022t g v v v v y x +=+=t 时刻,小球的切向加速度 22202d d tg v t g tva t +=因为 22n t a a g a +=,所以,法向加速度 222022tg v g v a g a t n +=-=2-2

21、0 已知声音在空气中传播的速率为 344 m/s 。当正西方向的风速为 30 m/s时, 声音相对于地面向东、向西和向北传播的速率各是多大?解 m/s301=v ,m/s3442=v向东传播的声音的速率 m/s3743443021E =+=+=v v v 向西传播的声音的速率 m/s3143034412=-=-=v v v W 向北传播的声音的速率 m /s 34330344222122=-=-=v v v N2-21 一架飞机从 A 处向东飞到 B 处,然后又向西飞回到 A 处。 已知 A 、 B 间的距离为 l ,空气相对地面的速率为 u ,飞机相对空气的速率 v 保持不变。试证:(1假定

22、空气是静止的(即 u =0 ,飞机往返飞行时间为 v l t '=21; (2假定空气的速度方向向东,飞机往返飞行时间为 2222uv v l t -''=; (3假定空气的速度方向向北,飞机往返飞行的时间为 2232uv l t -'=。试证:由速度关系 v = u + v' (1 u =0时,飞机往返飞行时间为 v lv l v l t '='+'=21 (2空气相对地面的速度为 u 向东,从 A B 所需时间为 uv l+' 从 B A 所需时间为uv l-' 所以,飞机往返飞行时间为 2222u v v l

23、 u v l u v l t -''=-'+'=(3空气相对地面的速度为 u 向北,如图 2-21所示, 从 A B,飞机相对地面的速度为 22u v v -'=;从 B A飞机相对地面的速度的大小 与从 A B等值,但方向相反。所以,飞机往返飞行的时间为22322uv l vl t -'=vv '( a Avv 'u( b B习题 2-21第 3章 牛顿定律及其内在随机性3-1 一木块能在与水平面成 角的斜面上匀速下滑。若使它以速率 v 0沿此斜面向上滑 动,试证明它能沿该斜面向上滑动的距离为 v 02/(4g sin 。解 选

24、定木块为研究对象,取沿斜面向上为 x 轴正向,下滑 0sin f =-F mg (1 上滑 ma F mg =-f sin (2 由式(2知,加速度为一常量,有as v v 2202+= (3解上述方程组,可得木块能上滑的距离 sin 42220g v a v s =-= 3-2 在一水平直路上,一辆车速 1h km 90-=v 的汽车的刹车距离为 s = 35 m 。如果 路面相同,只是有 1:10的下降斜度,这辆汽车的刹车距离将变为多少?解: 在水平路上 k 为定值,则 ma mg k =- ,而 sv a 22-=所以 gsv k 22=设斜面夹角为 ,刹车距离为 s ',加速度

25、为 a ',则 a m mg mg k '=-cos sin所以 cos sin (2222k g v a v s -='-=' 代入已知数值,注意 sin = 0.1 ,可得 m 5. 39='s3-3 如图所示,质量 m = 0.50kg的小球挂在倾角 o30=的光滑斜面上。 (1当斜面以加速度 a = 2.0m/s2水平向右运动时,绳中的张力 及小球对斜面的正压力各是多大?(2当斜面的加速度至少为 多大时,小球将脱离斜面?解 :(1对小球 x 向: ma N T =-sin cos y 向: 0cos sin =-+mg N T 可得N 32. 3

26、 30sin 8. 930cos 2(5. 0 sin cos (o o=+=+=g a m T N 75. 3 30sin 230cos 8. 9(5. 0 sin cos (oo=+=+=a g m N 小球对斜面的压力 N 75. 3='N NmgNT上滑fmg N 下滑mg N(2小球刚要脱离斜面时 N = 0,则 ma T =cos , mg T =sin 由此二式可解得 2o s m/0. 1730tan /8. 9tan /=g a3-4 在水平面上一辆汽车以速率 v 行驶, 当汽车与前面一堵墙相距为 d 时, 司机才发现 自己必须制动或拐弯。设车辆与地面之间的静摩擦系数

27、为 s .问若司机制动停车(不拐弯 , 他需要的最小距离 d 1为多大?若他不制动而作 90o 拐弯(作圆弧形行驶 ,他需要的最小距 离 d 2又有多大?哪种办法最安全?解:汽车制动时,受到摩擦力作用,作匀减速直线运动,在拐弯情况下,汽车作圆周运 动, 摩擦力提供向心力。 通过求出两种情况下汽车制动的距离, 比较可以知道第一种方法更 安全。设汽车质量为 m 加速度为 a ,则在制动时有 ma mg s =- , 122ad v =- 所以 g v d s 2/21=若不制动而拐弯,则有 22d v m mg s =所以 gv d s 22=由于 d 1< d2 可知制动安全。 3-5 月

28、球的质量是地球的811,月球的半径为地球半径的 113。不计自转的影响,试计 算地球上体重 600N 的人在月球上时体重多大?解: 因为地球上人体重为 N 6002=eee r M mGmg 所以月球上体重为 221131=e em m m r M m G r M m G m g N 6. 997291217291212=e e e mg r m mG3-6 一枚质量为 3.03×103kg 的火箭, 放在与地面成 58.0°倾角的发射架上, 点火后发动机以恒力 61.2 kN作用于火箭,火箭轨迹始终与地面成 58.0°的夹角。飞行 48.0s 后关闭 发动机,计

29、算此时火箭的高度及距发射点的距离(忽略燃料质量和空气阻力 。解 tv m ma F xx d d cos = =vtx t F v m 0d c o s d =xt t F x m 048d cos d m 1023. 12cos 21422=t mF t a x x 同理 tv mma mg F y y d d sin =-=vty t mg F v m 0d sin (d t mg F mv y sin (-= -=yt t mg F y 048d sin (d m 1044. 82sin 21322=-=t mmg F t a y y 火箭距发射点 O 的距离为 m 1049. 1422

30、=+=y x s3-7 在光滑水平面上固定了一个半径为 R 的圆环,一个质量为 m 的物体 A 以初速度为v 0靠圆环内壁作圆周运动,物体与环壁的摩擦系数为 ,试求物体 A 任意时刻的速率 v ?解:选取自然坐标 , 切向 f tvm -=d d 法向 N R v m =2,而 N f = ,所以 tv R v d d 2=-由上式得t R v v t vv d d 002-=则 tRv v 001+=3-8 光滑的水平桌面上放置一半径为 R 的固定圆环,物体紧贴环的内侧作圆周运动,其 摩擦因数为 。开始时物体的速率为 v 0 , 求:(1 t 时刻物体的速率; (2当物体速率从 v 0减少到

31、021v 时,物体所经历的时间及经过的路程。 解: (1取自然坐标,有 Rmv ma F n N 2=, t v m ma F t f d d -=摩擦力的大小 N F F =f ,由上述各式可得 tvR v d d 2-= 取初始条件 t = 0时 v = v 0 , 并对上式积分-=vv tvvRt 020d d 所以 tv R Rv v 00+=(2当物体的速率从 v 0减少到021v 时,由上式可得 0v R t =' 物体在这段时间内所经过的路程 t tv R Rv t v s t t d d 00+=''f2ln Rs =3-9 一质量为 10kg 的质点在

32、力 40120+=t F (F 的单位为 N , t 的单位为 s 的作用下, 沿 x 轴作直线运动。在 t = 0时,质点位于 x = 5.0m处,其速度 10s m 0. 6-=v 。求质点在 任意时刻的速度和位置。解:由题意 tvmt d d 40120=+ 依据初始条件, t 0 = 0时 10s m 0. 6-=v ,积分 t t v vv td 412d 0+=所以 2646t t v +=又因 v = d x /d t , 并由初始条件:t 0 = 0时 x 0=5.0m,积分 t t t x xx td 646d 02+=所以 322265t t t x +=3-10 质量为

33、m 的质点在外力 F 的作用下沿 x 轴运动,已知 t = 0时质点应位于原点, 且初始速度为零,力 F 随距离线性地减小, x = 0时, F = F 0 ; x = L , F = 0.试求质点在 ; x = L 处的速率。解: 由题意,力 F 与 x 的关系为 x LF F F 00-= 由牛顿第二定律 F t v m =d d ,而 xvv t x x v t v d d d d d d d d = 则 x x L F F x F v mv d d d 00-= 积分x x L F F v v m L vd d 0000-= 所以 mLF v 0=3-11 轻型飞机连同驾驶员总质量为

34、1.0×103kg 。飞机以 1s m 0. 55-的速率在水平跑道 上着陆后, 驾驶员开始制动, 若阻力与时间成正比, 比例系数 12s N 100. 5-= , 求:(1 10s 后飞机的速率; (2飞机着陆后 10s 内滑行的距离 。解: 以地面飞机滑行方向为坐标正方向,有 t tvm -=d dt mtv tvv d d 0-=得 202t mv v -=t =10s时, 1s m 0. 30-=v 又t t mv x txx d 2(d 0200-=故飞机着陆后 10s 内所滑行的距离 m 4676300=-=-=t mt v x x s 3-12 一物体自地球表面以速率

35、v 0竖直上抛。假定空气对物体阻力的值为 f =km v 2, 其中 m 为物体的质量, k 为常量。试求:(1该物体能上升的高度; (2物体返回地面时 速度的值(设重力加速度为常量 。解 以地面为原点, y 轴竖直向上(1上抛 t v m k m v mg d d 2=-; yvv t v d d d d =积分+-=hv kvg vv y 02d d ; 故有 +=g kv g k y h 20max In 21 (2下落 tvmk m v mg d d 2=+- 积分-=002d d hvkv g vv y 则 2/12001- +=g kv v v3-13如图所示,电梯相对地面以加速度

36、 a 竖直向上运动,电梯中有一滑轮固定在电梯顶部,滑轮两侧用轻绳悬挂着质量分别为 m 1和 m 2的物体 A 和 B ,且 m l >m 2。设滑轮的质 量和滑轮与绳索间的摩擦均略去不计,如以电梯为参考系, 求物体相对地面的加速度和绳的张力。 解 取坐标 y 向下,设 r a 为物体相对电梯的加速度,有 r a m T a m g m 1111=-+ r a m T a m g m 2222=-+ 21T T = ,由上述各式可得 (2121a g m m m m a r +-=绳的张力 (2212121a g m m m m T T +=物体 A 对地面的加速度 2122112 (m

37、m am g m m a a a r +-=-=B 对地面的加速度为 212112 (2 (m m gm m a m a a a r +-+-=+-=习题 3-12图上抛mgf mgf下落第 4章 动量守恒与能量守恒4-1 一粒子弹在枪膛中所受的合力为 t F 51034400-=; 式中 F 和 t 的单位分别 为 m 和 s ,假设子弹出枪口时所示合力为零,此时子弹的速度为 m/s300=v 。试求:(1子弹在枪膛中经历的时间; (2子弹在枪膛中所受的冲量; (3子弹的质量。解 (1由题意 010344005=-t ;所以 s 1033-=t (2子弹在枪膛中所受的冲量 s . N 6.

38、0d 1034400(510303=-=-t t I (3由动量定理,可得子弹的质量 kg 1023-=vI m4-2 一个质量为 m = 0.14 kg的垒球沿水平方向以 m/s501=v 的速率投来, 经棒打击 后,沿与水平方向成 o 45=的方向向回飞出,速 率变为 m/s802=v 。 (1 求棒给球的冲量的大小与 方向。 (2如果球与棒接触的时间为 s 02. 0=t , 求棒对球的平均冲力的大小。它是垒球本身重量的 几倍?解 (1如图所示,设垒球飞来方向为 x 轴 方向,棒对球的冲量大小为12v v m m I -=cos 2212221v v v v m +=s N 9. 16=

39、 与垒球投来方向的夹角 为c o ss i n a r c t 180212o mv mv mv +-=2152o'=(2棒对球的平均冲力 N 84502. 09. 16=tI F 此力为垒球本身重量的 8. 914. 0/(845 /(=mg F = 616倍4-3 自动步枪连发时每分钟射出 120发子弹,每发子弹的质量为 m =7.9×10-3 kg , 子弹出枪口的速率为 735 m / s 。子弹射出时,枪托每分钟对肩部的平均压力为多少?解 以分钟计,枪对子弹的平均推力为 N 6. 11607350079. 0120=t Nmv 由牛顿第三定律可知,枪托对肩的压力等于

40、 11.6 N 。4-4 高空作业时系安全带是非常必要的。假如一个质量为 50 kg 的杂技演员,在走 钢丝练习时不慎从高空竖直跌落下来, 由于安全带的保护, 最终使他被悬挂起来。 已知安全 带的长度为 5 m ,安全带弹性缓冲作用时间约为 0.5 s。若取重力加速度 2s . m 10-=g ,则安全带对杂技演员的平均作用力为多少?解 以杂技演员为研究对象,人跌至 5 m处时的速率为 gh v 21=1习题 4-2用图在缓冲过程中,根据动量定理,有 12 (mv mv t mg F -=+ 可得 N 15002(=+=+=tm mg t mv mg 4-5 以炮弹以速率 v 0沿倾角 的方向

41、发射出去后, 在轨道的最高点爆炸为相等的两 块, 一块沿 o45仰角上飞, 一块沿 o45的俯角下冲, 求刚爆炸后这两块碎片的速率各为多少?解 如题图所示,炮弹炸裂前速率为 cos 0v ,沿水 平方向,炸裂后两块分别以 v 1和 v 2飞行。忽略爆炸过程 中重力的作用,炮弹及碎块的动量守恒。于是有水平方向: o 2o 1045cos 245cos 2cos v mv m mv += 竖直方向: o 2o 145sin 245sin 20v mv m -= 联立解此二式,可得 c o s 2021v v v =4-6 一作斜抛运动的物体,在最高点炸裂为质量相等的两块,最高点距离地面为 19.6

42、m 。 爆炸 1.00 s后, 第一块落到爆炸点正下方的地面上, 此处距抛出点的水平距离为 m 2 1000. 1。 问第 二块落在距抛出点多远的地面上。 (设空气的阻力不计解 取如图示坐标,爆炸前,物体在最高点 A 的速度的水平分量 hx t xv x21010= 物体爆炸后,第一块碎片竖直落下 21121gt t v h y -= 碎片落地时,有 y 1 = 0 , t = t 1 ,则由上式得 12111t gt h v -= 根据动量守恒定律,在最高点处有 x x mv mv 2021=, y mv mv 2121210+-=,可解得爆炸后第二块碎片抛出时的速度分量分别为1102s m

43、 100222-=hgx v v x x , 112112s m 7. 141-=-=t gt h v v y 爆炸后, 第二块碎片作斜抛运动, 其运动方程为 2212t v x x x +=, 2222221gt t v h y y -+= 落地时, y 2 = 0 ,可解得第二块碎片落地点的水平位置 m 5002=x习题 4-6 用图Ox习题 4-5 用图2v 0cos 4-7 一载人小船静止于湖面上,小船质量为 100kg ,船头到船尾共长 3.6 m ,人的质 量为 50 kg ,试问当人从船尾走到船头时,船将移动多少距离?假定水的阻力不计。解 假定船的质量为 M ,速度为 v ,人的

44、质量为 m ,相对于船的速度为 u ,其方向与 v 的方向相反。选 x 轴沿 v 的方向,由该方向动量守恒有 +-=( 0Mv m v u 上式各项乘时间 t 得 +-=( 0Mvt m v u t 。设 t 时间内船走的路程为 S ,人相对于船走过的路程为 S ',则有 0 (='-+S S m MS , 故 m 2. 1501006. 350=+=+'=m M S m S4-8 A 、 B 两球在光滑水平面上运动,已知 A 球的质量为 kg 21=m 、速度为11s . m 2. 0-=i v , B 球的质量为 kg 32=m 、速度为 12s . m 5. 02

45、. 0(-+=j i v 。两球碰撞后合为一体,求碰撞后的速度。解 以 v 表示碰撞后的速度。由动量守恒定律 v v v (212211m m m m +=+ 所以 1s . m 3. 02. 0(-+=j i v4-9 质量为 M 的人手里拿着一个质量为 m 的物体,此人用与水平面成 角的速率 v 0向前跳去 . 当他达到最高点时,他将物体以相对于人为 u 的水平速率向后抛出 . 问:由于人抛出物体, 他跳跃的距离增加了多少?(假设人可视为质点 解 取如图所示坐标 . 把人与物视为一系统, 当人跳跃到最高点处,在向左抛物的过程中,满足动量守恒,有 (cos (0u v m Mv v M m

46、-+=+式中 v 为人抛物后相对地面的水平速率 , v -u 为抛出物对地面的水平速率。得 u mM mv v +=c o s人的水平速率的增量为 u mM mv v v +=-=cos 0 而人从最高点到地面的运动时间为 g v t sin 0=所以,人跳跃后增加的距离u gm M mv vt x (sin 0+=4-10 一人从 10 m深的井中提水,起始时,桶及桶中水的总质量为 10 kg,由于水桶 漏水,每升高 1 m要漏去 0.20 kg的水 . 水桶被匀速地从井中提到井口,求人所做的功。解 水桶在匀速上提过程中, a = 0,拉力与水桶重力平衡,有 mg F = 取坐标 y 竖直向

47、上,水桶位于 y 处时,拉力 gy g m F 2. 00-=习题 4-9 用图人对水桶的拉力的功为 J 882d 2. 0(100=-=y gy g m A4-11 长度为 2 m的细绳的一端系在天花板上, 另一端系一质量为 0.20 kg的小球。 现 把小球移至使细绳与竖直方向成 o30角的位置,然后从静止释放。试求:(1在绳索从 o30转到 00角的过程中,重力和张力所做的功; (2物体在最低位置时的动能和速率; (3在 最低位置时绳的张力。解 如图所示,重力的功 J 53. 0 cos 1(=-=mgl A G 张力的功 0d T =s T A(2在最低位置时的动能为 J 53. 0k

48、 =G A E 小球在最低位置的速率为 1ks m 30. 222-=mm E v G(3当小球在最低位置时,由牛顿定律可得lmv P T 2=-; N 49. 22=+=l mv mg T 4-12 最初处于静止的质点受到外力的作用,该力的冲量为 s N 4,在同一时间间隔内,该力所做的功为 2 J, 问该质点的质量为多少?解 由题意, 00=p , 00k =E ,根据动量定理,有 40=-=mv p p I 由动能定理,有 22120k k k =-=mv E E E A 所以 kg 4222k 2=AI E p m4-13 一质量为 m 的质点, 系在细绳的一端, 绳的另一端固定在平面

49、上。 此质点在粗 糙水平面上作半径为 r 的圆周运动。设质点的最初速率是 v 0。当它运动一周时,其速率为 v 0/2。求:(1摩擦力做的功; (2动摩擦因数; (3在静止以前质点运动了多少圈?解 (1摩擦力做功为 202020k k 832121mv mv mv E E A -=-=-= (2由于 mg f =,故有 mg r s f A 2180cos o-= 可得动摩擦因数为 rgv 16320=(3一周中损失的动能为 2083mv ,则在静止前可运行的圈数为 340k =A E n 圈 4-14 用铁锤把钉子敲入墙面木板。设木版对钉子的阻力与钉子进入木版的深度成习题 4-11 用图m

50、g正比。若第一次敲击,能把钉子钉入木板 m 1012 - 。第二 次敲击时,保持第一次敲击钉子的速度不变,那么第二次能 把钉子钉入多深?解 F = kx (k 为常数 ,由动能定理-=101d x k x kx E , -=21d 2x x k x kx E 按题意, 21k k E E =,即 -=-211d d 0x x x x kx x kx可得m 1041. 0212-=-=x x x 4-15 质量为 3 kg 的质点在力 F 作用下沿直线运动,已知质点的运动方程为3243t t t x +-=; x 和 t 的单位分别为 m 和 s 。试求:(1在最初 4 s 内作用力 F 所做的

51、功; (2 t = 1s时,力 F 对质点所做功的瞬时功率。解 (1由 2383d d t t txv +-=得 0=t 时, 10s . m 3-=v , 4=t 时, 1s . m 19-=v由动能定理 J 103. 521212202=-=mv mv A (2由 t tva 68d d +-= 得 1=t 时, 2s . m 2-=a ,则 N 6=ma F1=t 时, 1s . m 2-=v ,所以 W 12=v F P4-16 质量为 1kg 的物体, 以初速度 1s . m 14-从高度 240 m处自由落下, 并陷入沙坑 中,陷入的深度为 0.2 m ,不计空气阻力,求沙对物体的

52、平均阻力。解 物体下落 h 距离2202121mv mgh mv =+ 陷入沙坑深度 S fs mv mgs -=-221所以 2021 1(mv s h mg f s+= 代入数值得 f = 1.2×104 N4-17 劲度系数为 k 的轻弹簧竖直悬挂, 弹簧下端挂一物体, 平衡时弹簧已有一伸长。 若以物体的平衡位置为竖直 y 轴的原点,取物体的平衡位置作为弹性势能和重力势能的零 点。试证:当物体的位置坐标为 y 时,弹性势能和重力势能之和为221ky 。 证 设在平衡时弹簧已被拉长 0y ,则 0ky mg =习题 4-14 用图当物体再下降距离 y 时,弹性势能为 y ky k

53、y ky y y k E 0220201p 2121 (21+=-+=以平衡位置为重力势能零点,则此时重力势能为 y ky mgy E 02p -= 此时弹性势能和重力势能的和为2022p 1p p 2121ky y ky ky E E E =+=+= 4-18 有一种说法认为地球上的一次灾难性物种(如恐龙绝灭是由于 6500万年前一颗大的小行星撞入地球引起的。设小行星的半径是 10km ,密度为 6.0×103 kg/ m 3(和地球 的一样它撞入地球将释放多少引力势能?这能量是唐山地震估计能量的多少倍?(1976年, , 唐山地震释放的能量约为 1018J 。 解 小行星落到地面上所释放的引力势能为-=E A E A A E R m GM r m GM E