作业题解答详解

1、曲线积分与曲面积分习题详解 习题9-11 计算下列对弧长的曲线积分：（5），其中为折线段，这里,的坐标依次为,；解 如图所示， 线段的参数方程为 ，则，故 线段的参数方程为，则 故 ，线段的参数方程为，则，故所以 2 设一段曲线上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量解 依题意曲线的线密度为，故所求质量为，其中则的参数方程为 ，故 ， 所以习题9-22 计算下列对坐标的曲线积分： （4）是从点沿上半圆周到点的一段弧；解 利用曲线的参数方程计算的参数方程为:，在起点处参数值取，在终点处参数值相应取0，故从到0则 =（6），其中是螺旋线：,从到上的一段；解 习题9-51. 利用曲线积

2、分求下列平面曲线所围成图形的面积: (1) 星形线 ()；）解 。(2) 圆，（）； 解 设圆的参数方程为,从变到.那么 。2 利用格林公式计算下列曲线积分:(1) ,其中是圆,方向是顺时针方向；解 由格林公式，于是其中是圆域。设，则。(2) ，其中是圆，方向是逆时针方向； 解 设闭曲线所围成闭区域为，这里，由格林公式，得 。(3) ，其中是依次连接三点的折线段，方向是顺时针方向。解 令，则，且线段，由1变化到-1，故有 其中为所围成的闭区域(4) ，其中为常数，为圆上从点到点的一段有向弧；解 如右图所示，设从点到点的有向直线段的方程为 ，从变到。则与曲线构成一闭曲线，设它所围成闭区域为，令，

3、由格林公式，得 。而 ，故 。(5) ，其中，为圆周取逆时针方向，是沿的外法线方向导数。解 由于，其中是在曲线上点处的切线的方向角，故根据两类曲线积分之间的联系及格林公式，有 因为为圆周，所以所围成的圆的面积，因此 。3. 计算曲线积分,其中为(1) 椭圆,取逆时针方向； (2) 平面内任一光滑的不经过坐标原点的简单正向闭曲线. 解 (1)令，则当时，但积分曲线所围区域包含点，在该点不具有连续的偏导数，因此不能直接应用格林公式计算，需要将奇点去掉，为此作半径足够小的圆:，使位于的内部，如图右所示的参数方程为，取逆时针方向于是 ， 其中表示的负方向由格林公式则有 ，其中为与所围成的闭区域故 (2

4、) 分两种情况计算。 闭曲线内部不包含坐标原点，设它所围成的闭区域为，那么由格林公式得； 闭曲线内部包含坐标原点，仿（1）可得 .习题9-61求曲线积分，其中是圆的上半圆周，取顺时针方向. 解 令，则在整个面内恒成立，因此，曲线积分在整个面内与路线无关。故可取沿轴上的线段（如右图所示）积分，即，于是，有 .3 验证下列在整个面内为某一函数的全微分，并求出这样的一个：（3）。解 令，则在全平面上有，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上，是全微分 下面用2种方法来求原函数：解法1 运用曲线积分公式，为了计算简单，如图910所示，可取定点，动点与，于是原函数为取路径: ，得 解法2 从定义出发，设

5、原函数为，则有，两边对积分（此时看作参数），得 （*）待定函数作为对积分时的任意常数，上式两边对求偏导，又，于是，即 ，从而 （为任意常数），代入（*）式，得原函数总习题A一、 填空题1设为柱面与平面的交线，从轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分. (2011 考研 数学一) 2设曲线为圆周,则3设为任意一条分段光滑的闭曲线，则曲线积分 4设是以原点为球心,为半径的球面,则5设为球面的下半部分的下侧,则曲面积分 6向量场的旋度二、 选择题1设是从原点沿折线至点的折线段,则曲线积分等于（ C ） A B C D 2若微分为全微分，则等于（ B ） A B C D 3空间曲线的弧长等于（ D ） A

6、 B C D 4设为上半球面，为在第一卦限的部分，则下列等式正确的是（ D ） A B C D 5设为球面的外侧，则积分等于（ A ） A B C D三、计算题 1计算其中为抛物线和直线所围成的闭曲线；解设，其中，于是。2计算,其中为右半圆以点为起点,点为终点的一段有向弧；解法 设曲线的参数方程为，其中从变到，故。解法2 作有向线段，其方程为，其中从变到，则有向曲线与有向线段构成一条分段光滑的有向闭曲线，设它所围成的闭区域为，由格林公式，有，即，而，故。3计算,其中为平面在第一卦限中的部分；解 将曲面投影到面上，得投影区域为，此时曲面方程可表示为，于是，。4. 计算,其中是球面的上半部分并取外

7、侧；解 作有向曲面，并取下侧，设两曲面和所围成的闭区域为，由高斯公式，得。5验证：在整个面内, 是某一函数的全微分,并求出一个这样的函数.。解 因为,所以在整个面内恒成立,因此,在整个面内, 是某一函数的全微分,即有.于是就有 （1） （2）由（1）式得 （3）其中是以为自变量的一元函数，将（3）式代入（2）式,得 （4）比较（4）式两边,得 于是 （其中是任意常数）,代入（3）式便得所求的函数为.四、计算曲线积分,其中为闭曲线，若从轴正向看去,取逆时针方向.解 曲线的参数方程为 从变到，于是 。五、计算曲面积分,其中是线段绕轴旋转一周所得的旋转曲面 解 的方程为，在面上的投影区域为，且，。六

8、、计算曲面积分,其中为上的抛物线绕轴旋转一周所得的旋转曲面介于和之间的部分的下侧解 的方程为，取下侧。作有向曲面，并取上侧，设两曲面和所围成的闭区域为，由高斯公式，得，这里。七、设一段锥面螺线上任一点处的线密度函数为,求它的质量解 依题意，锥面螺线在点处的线密度函数为，故锥面螺线的质量为 。八、设具有一阶连续导数,积分在右半平面内与路径无关,试求满足条件的函数解 令，依题意，有，即，故，其中是任意常数。再由条件可得，故为所求的函数。九、设空间区闭域由曲面与平面围成,其中为正常数,记表面的外侧为,的体积为,证明： 证明 这里，由高斯公式得 。另一方面，（或）在面上的投影区域为，故，所以。十、已知

9、曲线的方程为，起点为，终点为，计算曲线积分. (2010 考研 数学一)解 设曲线，则。于是 总习题B一、填空题1设是的方程的上侧,则 (2008 考研 数学一) 2设的方程,则3设为正向圆周，则曲线积分的值为4设是曲面介于和之间的部分,则曲面积分的值为5设是由锥面与半球面围成的空间闭区域,是的整个边界的外侧,则6设, 则矢量场通过曲面上半部分的流量二、计算题1设空间曲线为曲面与的交线，（1）若曲线的线密度为，试计算曲线的质量; 解: 显然，曲线是空间圆，由曲线的方程消去，得到曲线在面上的捕风投影是椭圆，其参数方程为 其中。故 (2) 计算解: 同理可算得， ，故 。2计算, 其中为椭圆,其周

10、长为 解: 。3计算,其中为正的常数,为从点沿曲线到点的弧解 .4计算曲面积分,其中是圆柱面介于平面 与之间的部分.解：将分成两部分，即 ，则, 且和在面上的投影区域都为，于是.5计算曲面积分,其中是球面的外侧解：，再利用高斯公式可求得.三确定常数,使在右半平面上的向量 为某二元函数的梯度,并求解: 依题意，有由，得。故 ，由此可得.四、计算,其中为曲面的上侧解: 令则，于是，。为了应用高斯公式，补充两个曲面 以原点为球心，1为半径的上半球面的下侧，介于圆和椭圆之间，取下侧，在所围成的空间闭区域上应用高斯公式，得 ，而，对积分，再补充一个曲面，这里，取上侧，则围成一个空间闭区域，设其为，在上应用高斯公式，得 ，故 。五、设具有二阶连续偏导数,是闭曲面的外法线向量, 所围成的闭区域为,试证明证明：令，则方向导数 ，而 ，于是由高斯公式，得 。六、设曲面为球面,试证明.证明：显然有，球面与平面相切于点并且球面在该平面的上方，即球面上的点都满足，故根据第一类曲面积分的计算方法有。七、设为椭球面上一动点