第二章第1课时

1、§2.1函数及其表示1函数的基本概念(1)函数的定义设A，B是两个非空的_，如果按照某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有_的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，记作_(2)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的_；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的_(3)函数的三要素：_、_和_(4)相等函数：如果两个函数的_和_完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据2函数的表示法表示函数的常用方法有：_、_、_.3映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按某一种对应法

2、则f，对于A中的每一个元素，在B中都有_确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的_4函数与映射的关系由映射的定义可以看出，映射是_概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是非空数集难点正本疑点清源1映射的特征映射是特殊的对应，其“特殊性”在于，它只能是“一对一”或“多对一”的对应，不能是“一对多”的对应故判断一个对应是否为映射的方法是：首先检验集合A中的每个元素是否在集合B中都有象；然后看集合A中每个元素的象是否惟一另外还要注意，映射是有方向性的，即A到B的映射与B到A的映射是不同的对映射定义搞清如下几点：(1)“对应法则”重在效果，未必要写出，可

3、以“尽在不言中”；对应法则未必都能用解析式表达(2)A中的每一个元素都有象，且惟一；B中的元素未必有原象，即使有，也未必惟一(3)若对应法则为f，则a的象记为f(a)2函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射(2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数1设一个函数的解析式为f(x)2x3，它的值域为1,2,5,8，则此函数的定义域为_2给出四个命题：函数是其定义域到值域的映射；f(x)是函数；函数y2x (xN)的图象是一条直线；f(x)与g(x)x是同一个函数其中正确命

4、题的序号有_3已知函数f(x)，则f(f(14)_；若f(x)3，则x_.4设函数f(x)，若f(a)a，则实数a的值是_.题型一函数的概念及应用例1有以下判断：(1)f(x)与g(x)表示同一函数；(2)函数yf(x)的图象与直线x1的交点最多有1个；(3)f(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数；(4)若f(x)|x1|x|，则f0.其中正确判断的序号是_探究提高函数的三要素：定义域、值域、对应关系这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应法则惟一确定；因此当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数特别值得说明的是，对应法则是就效果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看

5、对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)不是指形式上的即对应法则是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断 试判断以下各组函数是否表示同一函数：(1)y1，yx0；(2)y·，y；(3)yx，y；(4)y|x|，y()2.题型二函数与映射例2下列对应法则是集合P上的函数的是_(1)PZ，QN*，对应法则f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；(2)P1,1，2,2，Q1,4，对应法则：f：xyx2，xP，yQ；(3)P三角形，Qx|x>0，对应法则f：对P中三角形求面积与集合Q中元素

6、对应探究提高函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：定义域和对应法则是否给出；根据给出的对应法则，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有惟一确定的函数值 (1)已知a，b为两个不相等的实数，集合Ma24a，1，Nb24b1，2，f：xx表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则ab_.(2)已知映射f：AB.其中ABR，对应法则f：xyx22x，对于实数kB，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是_题型三函数的表示方法例3如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与 两墙的距离分别是a m (0<a<12)、4 m，不考虑树的粗

7、细现在想用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花 圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S m2，S的最大值为f(a)，若将这棵树围在花圃内，则函数u=f(a)的图象大致是.(填图象的序号)探究提高当a8时，面积的最大值为定值；当8<a<12时，面积的最大值是一个以a为自变量的二次函数，且在区间(8,12)上是递减的分类讨论思想是解决本题的关键 (2011·济宁模拟)“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点，用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时

8、间，则下图与故事情节相吻合的是_(填图象序号)题型四分段函数及其应用例4定义在R上的函数f(x)满足f(x)则f(2 013)的值为_探究提高求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值若给出函数值求自变量值，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x) (A，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是_3.忽略分段函数中自变量的限制条件致误试题：(14分)设函数f(x)，若f(2)f(0

9、)，f(1)3，求关于x的方程f(x)x的解学生解答展示审题视角(1)条件中f(2)，f(0)，f(1)所适合的解析式是f(x)x2bxc.所以可构建方程组求出b，c的值(2)在方程f(x)x中，f(x)用哪个解析式，要进行分类讨论规范解答解当x0时，f(x)x2bxc，因为f(2)f(0)，f(1)3，解得 4分f(x) 6分当x0时，由f(x)x得，x22x2x， 8分得x2或x1.由x1>0，所以舍去当x>0时，由f(x)x得x2， 12分所以方程f(x)x的解为2、2. 14分批阅笔记(1)对于分段函数问题，是高考的热点在解决分段函数问题时，要注意自变量的限制条件(2)就本

10、题而言，当x0时，由f(x)x得出两个x值，但其中的x1不符合要求，上述解法中没有舍去此值，因而导致了增解分段函数问题分段求解，但一定注意各段的限制条件.方法与技巧1在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域相同；二是对应法则相同2定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行，坚持定义域优先的原则，之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来很大的方便失误与防范1判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有象”和“且象惟一”但要注意：(1)A中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多；(2)B中元素可无原象，即

11、B中元素可有剩余2求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集课时规范训练(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、填空题1下列四组函数中，表示同一函数的是_(填序号)yx1与y；y与y； y4lg x与y2lg x2；ylg x2与ylg .2设g(x)2x3，g(x2)f(x)，则f(x)_.3设f：xx2是从集合A到集合B的映射，如果B1,2，则AB_.4已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a的值为_5已知xN*，f(x) 则f(3)_.6对a，b

12、R，记mina，b函数f(x)min (xR)的最大值为_7(2011·江苏)已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_二、解答题8. 甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家 到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系试写出 y=f(x)的函数解析式B组专项能力提升题组一、填空题1已知集合A1,2,3，B1,0,1，满足条件f(3)f(1)f(2)的映射f：AB的个数是_2(2010·天津)设函数g(x)x22(xR)，f(x)则f(x)的值域是_3设M

13、是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合：在定义域内存在x0，使得f(x01)f(x0)f(1)成立已知下列函数：f(x)；f(x)2x；f(x)lg(x22)；f(x)cos x.其中属于集合M的函数是_(写出所有满足要求的函数的序号)4(2011·湖南)给定kN*，设函数f：N*N*满足：对于任意大于k的正整数n，f(n)nk.(1)设k1，则其中一个函数f在n1处的函数值为_(2)设k4，且当n4时，2f(n)3，则不同的函数f的个数为_5(2011·陕西)设f(x)则f(f(2)_.6已知f(x)则使f(x)1成立的x的取值范围是_二、解答题7已知f(x)x22x3

14、，用图象法表示函数g(x)，并写出g(x)的解析式8规定t为不超过t的最大整数，例如12.612，3.54，对任意实数x，令f1(x)4x，g(x)4x4x，进一步令f2(x)f1g(x)(1)若x，分别求f1(x)和f2(x)；(2)若f1(x)1，f2(x)3同时满足，求x的取值范围答案要点梳理1(1)数集惟一yf(x)，xA(2)定义域值域(3)定义域值域对应关系(4)定义域对应法则2列表法解析法图象法3惟一映射4函数基础自测1.2.31104.或1题型分类·深度剖析例1(2)(3)变式训练1解(1)y1的定义域为R，yx0的定义域为x|xR且x0，它们不是同一函数(2)y&#

15、183;的定义域为x|x2y的定义域为x|x2或x2，它们不是同一函数(3)yx，yt，它们的定义域和对应法则都相同，它们是同一函数(4)y|x|的定义域为R，y()2的定义域为x|x0，它们不是同一函数例2(2)变式训练2(1)4(2)(1，)例3解析设ADx，DCy，则xy16，Sxyx(16x)(x8)264 (xa)当0<a8时，x8使S取得最大值，且f(a)64；当8<a<12时，xa使S取得最大值，且f(a)(a8)264是一个在区间(8,12)上单调递减的函数，但始终有f(a)>0.故只有图象符合变式训练3例40x>0时，f(x)f(x1)f(x2)，f(x1)f(x)f(x1)两式相加得f(x1)f(x2)，f(x3)f(x)，f(x6)f(x3)f(x)，f(x)的周期为6，因此，f(2 013)f(6×3353)f(3)0.变式训练460,16需时间为30，解得c60，将c60代入15，得A16.课时规范训练A组1 22x73.或14.35.261 78解当x0,30时，设yk1xb1，由已知得，解得，yx.当x(30,40)时，y2；当x40