第三讲导数的运算及应用

1、第三讲 导数的运算及应用【基础回顾】一、知识梳理：1导数的概念：（1）设函数在区间上有定义，当无限趋近于0时，比值：无限趋近于一个常数A，则称在点处可导，并称常数A为函数在处的导数，记作（2）导数的几何意义：曲线在点处的切线的斜率2. 几种常见函数的导数：（1）0（C为常数）； （2）（为常数）；（3）) ， ； （4）) ， ；（5），3. 导数运算法则（和、差、积、商的导数）：（1）；（2）；（3）；（4）（5）复合函数的求导法则：或（理科用）4利用导数研究函数的单调性：利用导数研究函数单调性的一般步骤：（1）确定函数的定义域； （2）求导数；（3）若求单调区间（或证明单调性），只需在函数

2、的定义域内解（或证明）不等式或；若已知的单调性，则转化为不等式或在单调区间上恒成立问题求解5利用导数研究函数的极值：利用导数研究函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求极值，则先求方程的根，再检验在方程根左右两侧的符号，求出极值（当根中有参数时要注意分类讨论）；若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程的根的大小或存在情况，从而求解6利用导数求函数的最值：求在上的最大值与最小值的步骤：（1）求在上的极值；（2）将第一步中求得的极值与比较得到在区间上的最大值与最小值二、基础达标：1. 函数f(x)在点(x0，f(x0)处的切线平行于x轴，则f(x0)_.2若f(x)x2

3、bln(x2)在(1，)上是减函数，则b的取值范围是 3已知函数的图像与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为 4函数在区间上的最小值是 5(2009·湖北理)已知函数，则的值为_【典型例题】例题1：已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程(e2.718)；(2)求函数的单调区间例题2：已知函数（1）当a=2时，求函数的最大值和最小值；（2）若函数，求函数的单调递减区间；（3）当a=1时，求证：例题3：已知函数f(x)lnx，g(x)(a>0)，设F(x)f(x)g(x)(1)求F(x)的单调区间；(2)若以yF(x)(x(0,3)图像上任意一点为切点的切线

4、的斜率k恒成立，求实数a的最小值；(3)是否存在实数m，使得函数的图像与的图像恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由例题4：设函数.(1)若求的单调区间；(2)若时,求的取值范围.【巩固练习】1直线y2xb是曲线ylnx(x>0)的一条切线，则实数b_. 2函数在处取得极值，则 3（2011年湖南卷）曲线在点M处的切线的斜率为 4（2010年江苏卷）函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_5函数在定义域内可导，若，且当时，设，则a、b、c 的大小关系是 6已知函数

5、f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,cR),若函数f(x)在区间-1,0上是单调减函数，则a2+b2的最小值为 7函数，其中是两两不相等的常数，则= 8已知函数f(x)ln(xa)x2x在x0处取得极值，若关于x的方程f(x)xb在区间(0,2)有两个不等实根，则实数b的取值范围是 9在平面直角坐标系中，已知是函数的图象上的动点，该图象在点处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值为 10是定义在R上的偶函数，当时，且，则不等式的解集为 11（2011江西卷）设.（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.

6、12 已知函数f(x)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为x2y30.(1)求a，b的值；(2)如果当x0且x1时，f(x)，求k的取值范围13设函数f(x)lnxax2bx，(1)当ab时，求f(x)的最大值；(2)令F(x)f(x)ax2bx(0<x3)，其图象上任意一点P(x0，y0)处切线的斜率k恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a0，b1，方程2mf(x)x2有唯一实数解，求正数m的值14已知， （1）求函数在上的最小值； （2）对一切的恒成立，求实数的取值范围； （3）证明对一切，都有成立【拓展提高】1设，函数，若对任意的，都有 成立，则实数的取值范围为 . 2

7、设函数（）证明：当时，；（）设当时，求a的取值范围【总结反思】第三讲 导数的运算及应用【基础达标】1； 2； 3，0； 41； 51【典型例题】例题1：解：(1)当时，所以当时，曲线在 处的切线方程为.(2)函数的定义域为，当时，2ax1<0，在(0,1)上，在(1，)上，所以此时f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0<a<时，在(0,1)和上，在上，所以此时f(x)在(0,1)和上单调递增，在上单调递减；当a时，在(0，)上且仅有，所以此时f(x)在(0，)上单调递增；当a>时，在和(1，)上，在上，所以此时f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调

8、递减例题2解：（1）当a=2时，令，则，x(,)(,e)e-0+又 ， ，（2），当时，函数的单调递减区间是，当时，令，得，函数的单调递减区间是（3）当a=1时，时，函数在上单调递增，当时，即，当时，.例题3解：(1)F(x)f(x)g(x)lnx(x>0)，F(x)(x>0)，a>0，由F(x)>0x(a，)，F(x)在(a，)上单调递增由F(x)<0x(0，a)，F(x)在(0，a)上单调递减F(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，) (2)F(x)(0<x3)，kF(x0)(0<x03)恒成立，amax.当x01时，x02x0取最

9、大值，a，amin.(3)若ygm1x2m的图像与yf(1x2)ln(x21)的图像恰有四个不同交点，即x2mln(x21)有四个不同的根，亦即mln(x21)x2有四个不同的根令G(x)ln(x21)x2，则G(x)x，x(，1)(1,0)(0,1)(1，)G(x)G(x)由表格知：G(x)极小值G(0)，G(x)极大值G(1)G(1)ln2>0，画出草图可知，当m时，yG(x)与ym恰有四个不同的交点，当m时，的图像与的图像恰有四个不同的交点例题4：解：（1）时，.当时，；当时，.故在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，而，于是当时，由可得.从而当时，故当时，而，于是当时，.综合得的取值范围为.【巩固练习】1bln21； 22； 3； 421； 5； 6； 70；8ln31<b<ln2； 9； 10；11解：（1）；（2）.12 (1)a1，b1；(2) (，013 (1) ； (2) a；（3）.14（1）；（2）.【拓展提高】1；2（）当时，当且仅当， 令 ， 则当时， 是增函数； 当时，是减函数；于是g(x)在x=0处达到最小值，因