电气工程师公共基础科目第110讲材料力学

1、M 5-6-1图562所示悬臂梁，承载如图。试列出剪力方程.弯矩方程并作V、H图。解因梁上荷载不连续故需分段列方程。用任意截面nn截开梁，取左部为脱离体，如图(b)所示。由为丫二0,V(jc) = 0 (OS < a)SM = 0,M(.r) = m 二 Pa (0 < T<a)同理用任意截面kk截开梁，取左部为脱离体如图(c)所示。由ZY=O,V(x) = - 2P (a < x < 2a)= 0,M(jj) = m - 2Px - a ) = Pa - 2P(x a) (a x < 2a)根据剪力方程、弯矩方程作图。对于线性方程只需算出各段的端值然后连直

2、线即可。V、M图如图(d)、(e)所示。例5-6-2写出图示梁的剪力方程和弯矩方程，井作剪力图和弯矩图。解1.求支座反力-Ma =卡3q x R-2a X2aq = 0心二 ( f)工= 叫十 2aq x a 3a x 心=0Rr=的(f )校核YY = R人卡弘-2啊三0故所求的支座反力正确。2.分段建立剪力方程和弯矩方程AC段:2Y = 0心_0V = R = qa (OV.tMa )SMC = O+ M - R&r = 0M = Rah - 叫=qar - qa2 (0<ar£a )CB段：5Y = 0, R 一 q(広一 G - V = 0V = Ra 一 qx

3、 - a) - 2ga 亠帖(a W z < 3a)2MC = 0 ga2 + M - Ra.x + *9(文"a)' = 0M - qax - qa2 一 弓 g(乂 a)2 (a M jt M 3a)3.作剪力图和弯矩图根据AC段，CB段剪力方程绘制剪力图AC段V为常量，故y图为水平线。CB段V为一次函数，因而y图为斜直线：只需确定两个截面V值。x = a Vc=r = 3a-g (W为无穷小量)V咗二2qa 一 q(3a _ g)=2q“ _3g 七 qE= - qa 根据AC段，CB段弯矩方程绘制弯矩图AC段M为一次函数，因而H图为一斜直线，只需确定两个截面H值

4、。M/vs = qa- qa2 - - qa2x = aqa1 - qa2 = QCB段M为二次抛物线，只少要确定三个截面M值，然后用光滑曲线连起来。 jr = a, Mq = 0x = 3a,Mb = 3ga? - ga2 -寺g(3a - aY 0 抛物线顶点在V=2qa-qx=0处x=2aM = qa x2a - qa2 - q(2a - a)2 = qa2例5-6-3根据弯矩、剪力和荷载集度间的关系作图5-6-6所示梁的剪力图和弯矩图。4kN解首先求支座反力（悬臂梁可以不求）R.=4kN （ f ） MB=4kNm （顺时针）根据q、V、M关系作V、H图通常步骤为1. 分段根据梁上荷载

5、不连续点（集中力，集中力偶作用处，分布荷载起讫点）为界点。2. 定形根据各段荷载情况，定出V、M图形状。3. 定控制截面V、H值用截面法v= s y;左丫右/M= X Mci左（右丿或用积分关系式MMA=Vdx本例题的分段和定V、M形状情况见下表。M按CB段CLELh无V向下滋斜的口线*水平理线 (-)M下凸的二次拋物线斜応钱Z有关控制截而值确定如下：V图AC段定两个控制截面值vA-o% =丫 = - 4kN&或Vc = VA + ( qdx = AC段荷载图面积=-4kN丿ACB段定一个控制截面值Vc=已求出M图AC段 只少定三个控制截面值Ma = 0M(左=M = - 4*2 X

6、2 x 2 = - 4kNm科.JCC&或 M(左=Ma + 出 Vdx = AC左段 V 图面积=-y2 X 4 - - 4kNm因为A截面处V=0, M有极值，即为抛物线顶点。CB段只要定二个控制截面值因C截面作用有集中力偶，故M图有突变Mg = Me左 + 8 二 4kNmM哇=Mcg + Vdz = 4 + C 右左段 V 图面积=4 + (-4X2) =-4kNm ('右第七节弯曲应力弯曲正应力 正应力强度条件(一) 纯弯曲梁的横截面上只有弯矩而无剪力时的弯曲，称为纯弯曲。（二）中性层与中性轴中性层杆件弯曲变形时既不伸长也不缩短的一层。中性轴 中性层与横截面的交线，即

7、横截而上正应力为零的各点的连线。中性轴位置 当杆件发生半面弯曲，11处丁线弹性范围时，中性轴通过横截面形心，且垂直于荷载作 用平面。中性层的曲率杆件发生平而弯曲时，中性层（或杆轴）的曲率与弯矩间的关系为1 _ Mp F式中P为变形后中性层（或杆轴）的曲率半径；EL为杆的抗弯刚度，轴z为横截面的中性轴。(三) 平面弯曲杆件横截面上的正应力分布规律 正应力的大小与该点至中性轴的垂直距离成正比，中性轴一侧为拉应力，另一侧为压应力，如图571 (a) o图 5-7-1 (a)yT 一 '- Z图 5-7-1 (b)计算公式任一点应力M= ry11(572)最大应力max j 5?maxM 一亿

8、(573)式中M为所求截面的弯矩，匸为截面对中性轴的惯性矩，礼为抗弯截面系数。W；是一个只与横截而的形状及尺寸有关的儿何量。对丁矩形截面:对圆形截面:匚一 64小一亍W厂矛其余W；按式毗=匸/畑计算0讨论：1,公式适用丁线弹性范围、IL材料在拉伸和圧缩时弹性模量相等情况。2.在纯弯曲时，横截面在弯曲变形后保持平面；横力弯曲时，由于剪应力的存在，横截面发生翘 曲，但精确研究指出，工程实际中的梁，只要跨度与截面高度之比L/h>5,纯弯曲时的正应力公式仍适用。（四）梁的正应力强度条件强度条件梁的最大工作正应力不得超过材料的许用正应力，即"(5-7-4)注意，当梁内且材料的一工。时，梁

9、的拉伸与圧缩强度均应得到满足。弯曲剪应力 剪应力强度条件（一）矩形截面梁的剪应力两个假设：1.剪应力方向与截而的侧边平行。2.沿截面宽度剪应力均匀分布（见图5-7-2） o计算公式(5?5)式中V为横截面上的剪力，b为横截面的宽度，L为整个横截而对中性轴的惯性矩，S为横截而上 距中性轴为y处横线一侧的部分截面对中性轴的静矩。最大剪应力发生在中性轴处（二）其他常用截面图形的最大剪应力工字型截而式中d为腹板厚度,工字型钢中，可查型钢表。圆形截面环形截面VS爲IM(5-7-7)(5-7-8)(5-7-9)最大剪应力均发生在中性轴上。（三）剪应力强度条件梁的最大工作剪应力不得超过材料的许用剪应力，即(5710)式中V逐为全梁的最大剪力；5；max为中性轴一边的横截面面积对中性轴的静矩；b为横截面在中性轴 处的宽度；匸为整个横截面对中性轴的惯矩。三、梁的合理截面梁的强度通常是由横截面上的正应力控制的。由弯曲正应力强度条件可知，Wz在截面积A 一定的条件下，截面图形的抗弯截面系数愈大，梁的承载能力就愈大，故截面就愈合理。因此 就W:/A而言，对工字形、矩形和圆形三种形状的截面，工字形最为合理，矩形次之