中南大学概率论第1章第8讲

1、概率论概率论中南大学数学院中南大学数学院概率统计课程组概率统计课程组 例例1 假设有三箱同类型号零件，里面分别装假设有三箱同类型号零件，里面分别装有有50件，件，30件和件和40件，而一等品分别有件，而一等品分别有20件，件，12件及件及24件。现在任选一箱从中随机地先后件。现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件（第一次取到的零件不放各抽取一个零件（第一次取到的零件不放回），试求先取的零件是一等品的概率，并回），试求先取的零件是一等品的概率，并计算两次都取出一等品的概率。计算两次都取出一等品的概率。解：设解：设 分别表示第一、二次选出的是装分别表示第一、二次选出的是装有一等品为有一等品为20

2、，12，24件的箱子，件的箱子， 分别表分别表示第一次、二次取出的为一等品，依题意，有示第一次、二次取出的为一等品，依题意，有321,BBB21,AA3111iiiBAPBPAP)|()()(312121iiiBAAPBPAAP)|()()(220392340243129113012314919502031.例例 2 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞飞 机被一人击中而击落的概率为机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人被两人击中而击落的概率为击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中若三人都击

3、中, 飞机必定被击落飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率求飞机被击落的概率.解：设解：设B=飞机被击落飞机被击落， Ai=飞机被飞机被i人击中人击中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3) =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1 =0.458 即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为0.458.例例3 假设有来自三个地区的各假设有来自三个地区的各10名、名、15名名和和25名考生的报名表，其中女生的报名表名考生的报名表，其中女生的报名表分别为分别为3份、份、7份和份和5份现随机地取出

4、一个份现随机地取出一个地区的报名表地区的报名表,并从中先后随意取出两份并从中先后随意取出两份(1) 求先抽出的一份是女生表的概率；求先抽出的一份是女生表的概率；(2) 已知后抽出的一份是男生表，求先抽出已知后抽出的一份是男生表，求先抽出的一份是女生表的概率的一份是女生表的概率)3 , 2 , 1( j解解: : 引进事件：引进事件： 报名表是第地区的报名表是第地区的 ；=第次抽到的是男生表第次抽到的是男生表 . .由条件知：由条件知：jHiA)3 , 2 , 1( i，2520)|( 158)|( 107)|(31)( )( )(312111321HAHAHAHHHPPPPPP90292551

5、5710331)|()()(1113 3jjjHAHAPPP由全概率公式，得由全概率公式，得易见易见 ;30791073)(121HAA P3052425205)( ;308141587)(321221HAAHAAPP；9230530830731)|()()(9061252015810731)|()()(121211223 33 3jjjjjjHAAHAAHAHAPPPPPP由全概率公式由全概率公式由条件概率的定义，得由条件概率的定义，得6120906192)()()|(22121AAAAAPPP例例4 4 设设 事件的概率相等且相互独事件的概率相等且相互独立，立， ，求，求 解解 设设 由加

6、法公式和事件由加法公式和事件 独立，有独立，有87)(ABCP)(AP)()()(CBApPPPCBA,CBA,，3)1 (1)()()(1 )(1)(87pCBACBACBAPPPPP21)(AP例例5 证明事件证明事件 独立的充分和必要条独立的充分和必要条件是，它们两两独立且其中任何一个事件件是，它们两两独立且其中任何一个事件与其余二事件的交独立与其余二事件的交独立CBA,证明证明 (1) 必要性必要性 设事件设事件A、B、C 独立，独立，则一定两两独立；此外，由则一定两两独立；此外，由P(ABC)P(ABC)=P(A)P(B)P(C) =(A)P(BC) ，可见可见A与与BC独立同样可以证明，独立同样可以证明，B与与AC独立，独立，C与与AB独立独立(2) (2) 充分性充分性 事件事件 两两独立且其中任何两两独立且其中任何一个事件与其余二事件的交独立由两两独立，一个事件与其余二事件的交独立由两两独立，知知CBA,，)()()()()()()()()(C