高等数学教学-第一、二节 数项级数的概念、审敛法ppt课件

1、、例例8判判别别下下列列级级数数的的敛敛散散性性;4637).1(1 nnnn解解1lim)(lim6746374637 nnnnnnnn.)(14637发发散散由由根根值值法法 nnnn;3)1(2).2(1 nnn解解;lim3)1(2nnnn 考考虑虑;33333)1(2311nnnnn ,lim31331 nn, 1lim313)1(2 nnnn.13)1(2收敛收敛 nnn由由夹夹逼逼准准则则由根值法由根值法;3).3(1)1( nnn解解nnnnnnnn)1()1(3lim3lim nnn)1(13lim, 131 .31)1(收敛收敛 nnn由根值法由根值法积积分分判判别别法法.

2、 4 )(6 积积分分判判别别法法、定定理理.)(),(,.),2 , 1()(,),)(,1,11有有相相同同的的敛敛散散性性与与广广义义积积分分级级数数则则且且上上的的非非负负单单调调减减少少函函数数为为定定义义在在为为常常数数为为正正项项级级数数设设 bnnnnndxxfubnnunfbxfbu)(证证明明省省略略、例例9.)ln)(ln(ln13的的敛敛散散性性判判别别级级数数 nnnn解解),3()(:)ln)(ln(ln1 xxfxxx令令,)()ln)(ln(ln1nnnnf 则则,), 3)(上上非非负负在在且且 xf,), 3)(上上单单调调减减少少在在 xf 3)ln)(l

3、n(lnln3)ln)(ln(ln3)(xxxdxxxdxdxxf 33lnlnlnlnlnlnlnxxxd发散发散 3)ln)(ln(lnxxxdx.3)ln)(ln(ln1发发散散由由积积分分判判别别法法 nnnn三、变号级数三、变号级数.)0( ,)1()0( ,)1(111为为交交错错级级数数或或称称 nnnnnnnnuuuu、定义定义1.,)1(0lim).2(,.)2 , 1().1(:)0( ,)1(1111111 nnnnnnnnnnnnnnnurssrusuunuuuu满满足足其其余余项项且且和和收收敛敛那那么么级级数数满满足足以以下下条条件件如如果果交交错错级级数数)(1

4、莱莱布布尼尼兹兹判判别别法法、定定理理、交错级数、交错级数1证证明明;)1(.:)1(132111nnnnnnuuuuSu 的的部部分分和和为为交交错错级级数数;.2123212mmmuuuuuS )0( ,2212222122)1(2 mmmmmmmuuSuuSS .2单单调调增增加加mS mmmmuuuuuuS212223212.)()(.)()(2122254321mmmuuuuuuuu 121uSum有有上上界界 .lim,122uSSSmmm 收收敛敛122122212)1( mmmmmmuSuSS)0lim(limlimlim1212212 mmmmmmmmuSuSSSSSmmmm

5、 212limlim.lim1uSSnn )0( )0( )0( )0( .lim1uSSnn .,)1(111uSunnn 且且和和收收敛敛交交错错级级数数.)1()1(211 nnnnnnuuSSr余余项项 .)1()1(211nnnnnuur;.21 nnuu,.21条条件件满满足足莱莱布布尼尼兹兹判判别别法法的的交交错错级级数数 nnuu,.,.12121 nnnnnuuuuu且且收收敛敛0.)()(.432121 nnnnnnuuuuuu.121 nnnnuuur),(且且和和相相同同也也收收敛敛收收敛敛级级数数的的加加括括号号级级数数.)1()1(11的的敛敛散散性性讨讨论论级级数

6、数nnnn 、例例1解解;1:nnun 令令nnnnnnnnuunnnnuu 1111211112).1(. 0lim)1(limlim).2(11 nnnnnnnnu.)1()1(11收收敛敛由由莱莱布布尼尼兹兹判判别别法法nnnn 称称为为件件的的交交错错级级数数将将符符合合莱莱布布尼尼兹兹定定理理条条:注注意意.级级数数莱莱布布尼尼兹兹级级数数是是收收敛敛的的:结结论论)0)(1;1)()1(2121121 xxxxxxxfxxxxf或或者者：.莱莱布布尼尼兹兹级级数数、绝绝对对收收敛敛与与条条件件收收敛敛2.,11绝绝对对收收敛敛那那么么称称级级数数收收敛敛如如果果级级数数 nnnna

7、a、定义定义1.绝绝对对收收敛敛的的级级数数收收敛敛、定理定理2证证明明.,11收收敛敛绝绝对对收收敛敛设设级级数数 nnnnuu,20nnnuuu 法法由由正正项项级级数数的的比比较较判判别别,)(1收收敛敛nnnuu nnnnuuuu )(.1收收敛敛 nnu、例例2.)( ,2cos1的的敛敛散散性性判判别别级级数数 nnRxnxn解解;22cosnnnnxn nnnnn221lim1 , 1211lim21 nnn,21收敛收敛 nnn 12cosnnnxn绝绝对对收收敛敛.2cos1收敛收敛 nnnxn由由比比值值判判别别法法由由比比较较判判别别法法.,111条条件件收收敛敛那那么么

8、称称级级数数收收敛敛但但级级数数发发散散如如果果级级数数 nnnnnnaaa、定义定义2、例例3?,还还是是条条件件收收敛敛问问是是绝绝对对收收敛敛如如果果收收敛敛判判别别下下列列级级数数敛敛散散性性;1)1().1(11pnnn 解解,)1(1)1(,01111 nnpnnnp时时当当0)1(lim)1(lim11 nnnn不存在不存在.)1(11发发散散 nn pnnnp1)1(lim,01时时当当, 01)1(lim1 pnnn.1)1(11发散发散pnnn ,0时时当当 p收收敛敛时时 1111)1(,1)1(npnpnnnp.1)1(1绝绝对对收收敛敛 npnn,1)2(时时 p发发

9、散散 1111)1(npnpnnn01lim).( ;1)1(1).( pnppnbnna收收敛敛 11)1(npnn.即即条条件件收收敛敛;1)1(,10;1)1(,0,1111条条件件收收敛敛时时当当发发散散时时当当总总之之pnnpnnnpnp .1)1(,111绝绝对对收收敛敛时时当当pnnnp 由莱布尼兹判别法由莱布尼兹判别法;)2()1().2(211nnnnn 解解;)2()1(:21nunnnn 令令, 12)(2lim)2(limlim2121 nnnnnnnnnnnnu,limlim nnnnuu.)2()1(,0lim2111发发散散即即发发散散nuunnnnnnnn ;)

10、(1()1().3(541nnnn 解解;)(1()1(:54nnnnu 令令 nnnnnnn)(1()1()(2()1(lim5415411lim541524 nnn.)(1()1(5411绝绝对对收收敛敛收收敛敛nnnnnnu ;ln1)1().4(21nnnnn 解解,ln1ln1nnnnn ,), 30ln1单调减少单调减少在在 xx,lnlnln133 xdxxx,ln12发发散散由由积积分分判判别别法法 nnn.ln1)1(,ln1212发发散散即即发发散散由由比比较较判判别别法法 nnnnnnnnn;)1(ln1)1(,ln1:2121nnnnnnunnnnnnu 令令;ln1l

11、n1ln1nnnnnnun ;ln1;ln1单单调调减减少少单单调调减减少少 nnn 单调减少单调减少nu;).1(1nnuu . 0)ln1ln1(limlim).2( nnnunnn.ln1)1(21收收敛敛即即nnnnn .ln1)1(21条条件件收收敛敛nnnnn .)1()1(2的的敛敛散散性性判判别别级级数数 nnnn、例例4解解)1()()1()1()1(nnnnnnn ;111)1(1)1()1( nnnnnnnn;11111111 nnnnnnun, ;1111单单调调减减少少单单调调减减少少 nn;).1(1nnnuuu 单调减少单调减少;1)1(2 nnnn考考虑虑级级数数： nnn)1()1(, 0)1111(limlim).2( nnunnn.1)1(2收收敛敛由由莱莱布布尼尼兹兹判判别别法法 nnnn.,11112发发散散调调和和级级数数 nnnn.)1()1(2发发散散 nnnn、绝绝对对收收敛敛级级数数的的性性质质3 )(性性绝绝对对收收敛敛级级数数的的可可交交换换定定理理.,1且且和和不不变变绝绝对对收收敛敛次次序序后后所所成成的的新新级级数数也也则则任任意意交交换换此此级级数数各各项项绝