文稿2第一次校对二5正文第1章

1、第 1 章矢量分析与场论电磁理论的一个重要的概念就是关于场的概念，例如两个电荷之间的作用力是由于一个电荷与另一个电荷的场相互作用的结果。同时，电磁理论中出现的一些基本物理量有很多都是矢量，例如电场强度 E 、磁场强度 H ，电流密度 J 等等。并且一些电磁现象基本规律的方程也都是矢量函数的微分方程或积分方程，例如方程组。因此，矢量分析和场论是电磁理论的重要的数学基础。本章仅讨论在电磁理论中所需要的矢量分析与场论中的基本内容，矢量的基本代数运算和场量的梯度、散度、和等拉斯运算以及矢量场的恒等式和基本定理。最后，还给出了三种常用坐标系及其梯度、散度、算子在这三种坐标系中的表示式。1.1矢量的代数运

2、算自然科学中的物理量，按其是否具有方向属性来区分，可分为标量和矢量两大类。标量是指只有大小而无方向的物理量，例如长度、质量、时间、电荷、电阻等等量。矢量是指既有大小又有方向的物理量，例如力、速度、着很大的不同。度、电场强度、磁场强度等等都是矢量。矢量的代数运算与的代数运算有1.1.1 矢量与矢量的表示法中矢量均用黑斜体字母表示，例如 A 、B 、E 等，而标量则用斜体字为便于区别矢量与标量，、F 、U 等。f母表示，例如1.矢量与矢量中，任意一个矢量 A 均可表示为一根有方向的线段。该线段的长度代表矢量 A 的大小或模，在三而该线段的方向代表矢量 A 的方向。如果一个矢量的模等于 1，则该矢量

3、被称为叫做矢量。矢量既可以用来表示某一个指定方向，例如波的传播方向、各种坐标系中坐标轴的方向等，也可以用来表示某一个矢量的方向。用来代表矢量 A 的方向的矢量被写作reA 。任意一个矢量 A 均可借助代表其大小的模 A 和代表其r方向的矢量eA 表示成rA = eA A(1.1.1)于是有rAAeA =(1.1.2)r由此可见，矢量 A 的2.矢量表示法矢量eA 是一个方向与该矢量相同而模等于 1 的矢量。在三，可以利用坐标系将任意一个矢量通过该矢量在三个坐标轴上的投影，即三个分量来表示。以直角坐标系中为例，如图 1.1.1 所示，矢量 A 可以表示根由坐标原点出发的有方向的线段。设直角坐标系

4、中沿三个坐标轴正r的矢量分别为rr，exeyez ，若矢量 A 在这三个矢量的投影，即三个分量分别为 Ax ， Ay ， Az ，则矢量 A 可唯一地表示为图 1.1.1 矢量及其表示法1-1rrrA = ex Ax + ey Ay + ez Az矢量 A 的模或大小 A 可通过 A 的三个坐标分量 Ax ， Ay ， Az 表示成(1.1.3)A =A =A2 + A2 + A2(1.1.4)xyzr矢量 A 的矢量eA 则应为AeA = A = ex cosa + ey cos b + ez cosg式中的cosa ， cos b ， cos g 分别为(1.1.5)AxAxcosa =(

5、1.1.6)AA2 + A2 + A2xyzAy AAycos b =(1.1.7)A2 + A2 + A2xyzAzAzcosg =(1.1.8)AA2 + A2 + A2xyz可以看到， a ， b ， g 分别表示矢量 A 与 x 轴、 y 轴、 z 轴的夹角。事实上， cosa ， cos b ， cos g 正r是矢量eA 在直角坐标系中的三个分量，决定着矢量 A 的方向，故它们被称为矢量 A 的cos2 a + cos2 b + cos2 g = 1弦，且由此可得=cos2 a + cos2 b + cos2 g = 1eAr即矢量eA 的模等于 1。在其他的坐标系中，矢量的表示形

6、式和直角坐标系具有类似结果。3.位置矢量与距离矢量，由坐标原点O 出发引向空间任一点 P(x, y, z)的有方向线段，称为点 P 的位置矢量或矢在三径，用矢量r 表示。在直角坐标系中，如图 1.1.2 所示，因为位置矢量r 的三个坐标分量分别为 x 、y 、z ，故它可以表示为rrrrr = ex x + ey y + ez z(1.1.9)该位置矢量 r 的模r 应等于线段OP 的长度，即rr =x + y + z222r(1.1.10)而它的矢量eR 应为e = e x + e y + ez(1.1.11)rxyzrrr设 r 表示点 P(x, y, z) 的位置矢量， r ¢

7、 表示另一个点P¢(x¢, y¢, z¢)的位置矢量，即图 1.1.2 位置矢量与空间矢量¢(1.1.12)则由点 P¢ 出发引向点 P 的矢量 R 称为该两点之间的距离矢量。在直角坐标系中，可以表示为R = r - r¢ = rx - x¢)+ ry - y¢)+ r (ez z - z¢)rrexey(1.1.13)距离矢量 R 的模 R 表示的是点 P 和点 P¢ 之间的距离，即rr - r¢ =(x - x¢)2 + (y - y¢)2 + (z

8、- z¢)2R =Rrr(1.1.14)1-2而它的矢量eR 则应为( x - x¢)( y - y¢)( z - z¢)ReR = R = ex在其他的坐标系中，由于在不同点的+ ey+ ez(1.1.15)R矢量RR不是完全相同的，所以距离矢量的直接计算比较复杂，必须利用空间几何分析或者转换到直角坐标系中进行计算。1.1.2 矢量的代数运算矢量的代数运算与标量的代数运算完全不同。两个矢量的代数运算应有几何解释（用图形表示），其结果与这两个矢量的大小和方向有关，均可以用这两个矢量的大小及其之间的夹角来表示。但是，矢量的代数运算更常用的是通过坐标系中矢量

9、的各个分量来计算。本节我们只讨论最简单的直角坐标系中矢量的代数运算。在其他的坐标系中矢量的代数运算可以按照同样的方式来讨论。由于三中的矢量具有三个坐标分量，因此对矢量的运算也就是对矢量的三个分量的运算。很显然，若矢量 A 与矢量 B 相等，即A = B(1.1.16)也就是说它们具有相同的大小和方向，则在直角坐标系下，矢量 A 与矢量B 必有相等的坐标分量，即Ax = BxAy = ByAz = Bz(1.1.17)由此可知，一个矢量 A 经平移后所得到的新矢量 A¢ 与原矢量相等，如图1.1.3 所示，即 A = A¢ 。1. 矢量与标量的乘积图 1.1.3 矢量平移已给

10、矢量 A 与标量 k ，若矢量 B 的各分量分别等于矢量 A 的相应分量与标量 k 的乘积，则矢量 B 称为矢量 A 与标量 k 的乘积，记为 B = Ak 或 B = kA 。在直角坐标系下B = kA = exkAx + eykAy + ezkAz(1.1.18)即Bx = kAx ,By = kAy ,Bz = kAz(1.1.19)若k 为大于零的实数，则 k 与 A 相乘相当于将矢量 A 伸长( k > 1)或缩短( k < 1) k 倍，而方向保持不变；反之，若k 为小于零的实数，则k 与 A 相乘相当于将 A 伸长( k > 1)或缩短( k < 1) k

11、 倍，同时方向也变为相反的方向。特别是，当k = -1 时， B = - A 称为 A 的负矢量。它是一个与原矢量 A 大小相等，方向相反的矢量。2.矢量加法和减法已给矢量 A 与矢量 B ，若将矢量 B 平移以使它的始点与矢量 A 的终点相重合，则从矢量 A 的始点出发引向矢量 B 的终点的矢量 C ，称为矢量 A 与矢量 B 相加得出的和矢量，如图 1.1.4 所示，记为C = A + B 。而矢量 A 与矢量 - B 相加所得出的矢量 D ，称为矢量 A 减去矢量 B 的差矢量，如图 1.1.5所示，记为 D = A - B = A + (-B)图 1.1.4 矢量加法图 1.1.5 矢

12、量减法1-3由图 1.1.4 和图 1.1.5 容易得到和矢量和差矢量的大小可以分别表示成C =A2 + B2 + 2AB cosqD =A2 + B2 - 2AB cosq(1.1.20)(1.1.21)其中的q 均为矢量 A 与矢量 B 之间夹角。事实上，由图中可以看出，两个矢量的和矢量和差矢量的大小就等于由该两个矢量所组成的平行四边形的两个对角线的长短。矢量加法满换律和结合律，即A + B = B + A( A + B) + C = A + (B + C )换律，即 A - B ¹ B - A 。交换律(1.1.22)结合律矢量减法不满(1.1.23)从矢量的加、减法定义可知，

13、在直角坐标系中，两个矢量相加或相减得出的矢量的三个分量分别等于该两个矢量对应的三个分量的相加或相减，即C = A ± B = eAx ± Bx ) + ey ( Ay ± By )+ ez ( Az ± Bz )C = A ± B ,C = A ± By ,Cz = Az ± Bz要注意，只有矢量和矢量之间才能进行相加减。(1.1.24)亦即(1.1.25)3.矢量的标量积和矢量积矢量和矢量之间定义了乘法运算，但未定义除法运算。并且矢量与矢量之间的乘积分为标量积(结果为标量)和矢量积(结果为矢量)。已给矢量 A 与矢量 B

14、，两者的标量积 a = A× B 定义为矢量 A 与矢量 B 的模以及矢量 A 与矢量 B 之间夹角q 的余弦三者的乘积，如图1.1.6 所示，即a = A× B =B cosqA(1.1.26)r标量积又称为点积。从图 1.1.6 中可以看出， B cosq 是矢量 B 在矢量 A 方向的投影，因此， A 与 B 的标量积应等于 A 的模与 B 在 A 方r向上的投影的乘积。同理，A cosq 是矢量 A 在矢量 B图 1.1.6 矢量的标量积的投影，A 与 B 的标量积也等于 B 的模与 A 在 B的投影的乘积。这一点，当其中一个矢量是矢量时，特别有意义。例如， A &

15、#215; ex = Ax 就是矢量 A 在 x 轴的投影。标量积的一个简单的物理实例是力 F 作用一段位移 s 后所作的功W ，即W = F × s 。标量积满交换律分配律换律和分配律，即A × B = B × AA×(B + C ) = A × B + A×C(1.1.27)(1.1.28)已给矢量 A 和矢量 B ，两者的矢量积 C = A ´ B 按下列规则定义：它的模等于矢量 A ， B 的模以及矢量 A ， B 之间夹角q 的正弦三者的乘积，而方向垂直于 A ，B 两矢量所手法则”来确定，如图 1.1.7 所示，

16、即的平面，其指向按“右C = A´ B = en AB sinq ， 矢量积又称为叉积。0 £ q £ (1.1.29)所谓右手定则是指当食指指向矢量 A 的方向，中指指向矢量 B 的方向，则大拇指的指向就是矢量积C = A ´ B 的方向，如图 1.1.8(a)所示。“右手法则”又称为“右手螺旋法则”，即矢量积C = A ´ B 的方向就是在右手螺旋从矢量 A 转到矢量 B 时的前进方向，如图 1.1.8(b)所示。1-4图 1.1.7 矢量的矢量积C = A´ BC = A´ BB B AA（a）右手定则（b）右手螺旋法

17、则图 1.1.8右手定则和右手螺旋法则矢量积只满足分配律，即有A´(B + C)= A´ B + A´ C(1.1.30)矢量积不满换律。事实上，从矢量积定义可见， A 与 B 叉积顺序的交换将导致矢量积结果矢量的反向，即有A ´ B = -B ´ A(1.1.31)作为特殊情形可以看到，若 A 与 B 垂直，即它们之间的夹角q = 90o ，则它们的标量积等于零，而矢量积最大，等于这两个矢量的模的乘积；若 A 与 B 平行，即q = 0o ，则矢量积等于零，而标量积最大，等于这两个矢量的模的乘积。反过来说也是对的。若两个非零矢量 A 和 B

18、的标量积等于零，则 A 与 B 必相互垂直；若 A 和 B 的矢量积等于零，则 A 与 B 必相互平行。矢量积的一个简单的例子是平行四边形的面积。如图 1.1.7 所示，由矢量 A 和矢量 B 所的平行四边形的面积 S 就等于这两个矢量 A 和 B 的矢量积的大小，即 S =A´ B 。rrr对于直角坐标系的三个坐标矢量ex ， ey ， ez 而言，它们相互垂直，且满足右手螺旋ex × ey = ey × ez = ez × ex = 0ex × ex = ey × ey = ez × ez = 1，即(1.1.32)(1

19、.1.33)rrrrrrex ´ ex = ey ´ ey = ez ´ ez = 0(1.1.34)ex ´ ey = ez ， ey ´ ez = ex ， ez ´ ex = ey由此可得在直角坐标系中用坐标分量形式表示的矢量 A 和矢量 B 的标量积和矢量积分别为A× B = Ax Bx + Ay By + Az Bz和A´ B = ex ( Ay Bz - Az By )+ ey ( Az Bx - Ax Bz ) + ez ( Ax By - Ay Bx )(1.1.35)(1.1.36)(1.1.37

20、)矢量积的公式还可借助于行列式简洁地表示为rrrexeyezrrA ´ B =Ax BxAy ByAz Bz(1.1.38)根据标量积和矢量积的性质，读者不难证明下面两个很有用的矢量恒等式：A×(B ´ C ) = B × (C ´ A) = C × ( A´ B)(1.1.39)A´(B ´ C ) = B (C × A)- C ( A× B)(1.1.40)值得注意的是，式(1.1.40)所列出的双重叉积 A´ (B ´ C)不等于(A´ B)

21、0; C ，即矢量积不满足结合律。1.2场的微分运算物理量和物理量之间不仅需要进行代数运算，还需要进行积分和微分的运算。本节我们只讨论场的微分运算，即场的梯度、散度和。关于场的积分运算，可以参考 1.4 节。1-51.2.1 场的基本概念若某空间中的每一个点应着某个物理量的一个确定值，就称在该空间中定义了这个物理量的场或函数。若这个物理量是标量，则这个场或函数称为标量场或标量函数。例如，一幢物内的温度分布、一个区域内的电位分布等等。若这个物理量是矢量，则这个场或函数称为矢量场或矢量函数。例如，某河 流区段内水流的速度的分布、一个区域内电场强度的分布等等。若标量场中各点标量值的大小都相同，则称场

22、中的物理量是常数；若矢量场中各点矢量的大小和方向都相同，则称场中的物理量为。若场中的物理量在各点所对应的值不随时间而变化，则这个场称为静态场或恒定场；否则，就称为时变场。此外，在电磁理论中还有几种重要的场的概念。例如，静电场是无旋场和有源场，也称有势场或保守场；恒定磁场是无源场和有旋场，又称管型场或旋涡场。这些场的具体定义通过后面的讨论将很容易理解。1.标量场的等值面在标量场中，为了直观地研究物理量在场中的分布状况，常常需要考察场中有相同物理量的点，也就是该物理量取相同数值的点。由所有具有相同数值的点组成面就称为标量场的等值面。例如，静电场中的等位面就是电位的等值面。设在某空间区域中定义了一个

23、标量场 u = u(x, y, z)，给定常数值u = u1ui ，则u ( x, y, z ) = ui (i = 1, 2, 3,) 在三中代表着一个一个的等u = u2值面。常数值ui 取的不同，给出的等值面就不同,如图 1.2.1 所示。在空间中，每一点对应着也仅对应着一个确定的函数值，因此它必属于也仅属于一个等值面。空间中所有的点均有等值面通过，所有的等值面均互不相交。但是对于同一个常数值u0 ，可以有多个互不相交的等值面。u = u3，即u = u ( x, y ) ，则u ( x, y ) = ui (i = 1, 2, 3,)图 1.2.1 标量场的等值面如果是在二代表的就是一

24、条条的等值线，例如山体的等高线就是一种常用的等值线。2.矢量场的矢量线为了直观地描述矢量场在场域空间中的分布，我们引入矢量线或通量线的概念。矢量线是一系列有方向曲线，规定线上每一点的切线 方向代表该点矢量场方向，而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线都是矢量线。A设在某空间区域中定义了一个矢量场 A = ex Ax + ey Ay + ez Az 。通dxdydz过求解矢量的三个分量所满足的微分方程，即=，就可AxAyAz以画出矢量场的矢量线，如图 1.2.1 所示。不过，对于大多数矢量场而言，求解该微分方程都是一个相当复杂的问题。通常，可以利用该矢量场的一

25、些特性画出它的示意图。例如，在讨论波导中的场结构时，我们就是根据电磁场分布特性画出了波导中的电磁力线图。来说，矢量场中的每一点均有一条矢量线通过，所以矢量线是充满了整个矢量场所在的空间。图 1.2.2 矢量场的矢量线1.2.2 标量场的数和梯度由于空间各点的标量函数沿着不同的方向具有不同的变化规律，因此必须利用标量场的数以及1-6标量场的梯度来描述标量场的特性。1.标量场的数设标量函数u(x, y, z) 具有连续的一阶偏导数。从空间某点 P(x, y, z)出发朝任一方向 l 引出一根射线， 并在该射线取一邻近点P¢(x + Dx, y + Dy, z + Dz) ，如图 1.2.

26、3 所示。 P 点与 P¢ 点之间的距离为Dl =(Dx)2 + (Dy)2 + (Dz)2则标量场u(x, y, z) 在 P 点沿l 方向的变化率定义为该标量场在 P 点沿l 方图 1.2.3 标量函数的数¶u¶l向的数，记为，即Pu(x + Dx, y + Dy, z + Dz)- u(x, y, z)¶u¶l= lim(1.2.1)DlDl®0P根据求导法则，有¶u¶l= ¶u¶x + ¶u¶y + ¶u¶z¶l¶x P

27、82;l¶y¶l¶zPPP= ¶ucos a + ¶ucos b + ¶ucos g(1.2.2)¶x P¶y¶zPP式中，cosa = ¶x ，cos b = ¶y ，cosg = ¶z 为 P 点处沿l 方向矢量的r矢量el弦。该的¶l¶l¶l为el = ex cosa + ey cos b + ez cosgæ ¶x öæ ¶y ör æ ¶z ö=

28、rr+ e+ eç÷ç÷ç÷e(1.2.3)xyz¶¶¶èøèøèølll2.标量场的梯度¶u¶u数，¶x¶y略去下标 P ，考虑标量场u(x, y, z) 在空间任一给定点 P(x, y, z)沿三个坐标轴的¶u¶z所的下列矢量rr ¶ur ¶ur ¶uA = ex ¶x + ey ¶y + ez(1.2.4)¶z从式(1.2

29、.2)式(1.2.4)看到¶u = A × e = A(1.2.5)ll¶l式(1.2.5)表明，标量函数u 在空间给定点沿l 方向的数等于矢量 A 在该的投影 Al 。特别地，rA¶u¶l当l 的方向取得与矢量 A 相一致时，这个值应等于矢量 A 的模数将达到最大值，为一max1-7个大于零的实数，即rA¶u¶l=(1.2.6)max也就是说，在空间一给定点，矢量 A 的大小等于标量函数u 在该点的最大方向数值，方向指向使函数值增加最快的方向。这个矢量 A 称为标量场u(x, y, z) 的梯度(gradient)，记为g

30、radu = A 。从图 1.2.3可以看到，函数u 在空间给定点的梯度gradu ,也就是矢量 A ，将垂直于通过该点的等值面，并指向使函数值增大的方向，即该等值面的方向。在以后章节中将会看到，静电场中的电场强度矢量 E 可以用一个标量电位F 的梯度来表示。梯度在二的一个典型例子是等高线和坡度的的坡度（最大倾斜线）。，当一个石头从山坡上自然滚下时划出的轨迹就是山坡的为简便起见，常用下面被称为哈密顿(Hamilton)算子的矢量符号Ñ (读作 del)来表示梯度。在直角坐标系中rr¶r¶r ¶Ñ = ex ¶x + ey ¶

31、y + ez(1.2.7)¶z借助这个算子，梯度gradu 可表示为矢量算子Ñ 和标量函数u 的乘积，即gradu = Ñu = æ e+ e+ e¶¶¶ ö uçz÷x ¶xy ¶y¶zèør ¶ur ¶ur ¶u= ex ¶x + ey ¶y + ez(1.2.8)¶z根据梯度的表，可以得到下列梯度的基本公式：Ña = 0( a 为常数)(1.2.9)Ñ(au)

32、= aÑuÑ(u ± v) = Ñu ± ÑvÑ(uv) = uÑv + vÑu(1.2.10)(1.2.11)(1.2.12)r æ u ö = 1 (v r u - u r v)Ñç÷vÑÑ(1.2.13)v2èø虽然上面这些公式可以通过直角坐标系下的梯度表示式获得证明，但它们的正确性与坐标系的选取无关，即这些公式在其他坐标系下仍然是正确的。很显然，算子Ñ 同时具有类似于矢量和微分的性质，所以常将其称作

33、矢量微分算子。例 1.2.1 设r 和r ¢ 分别表示空间点 P(x, y, z)和点 P¢(x¢, y¢, z¢)的矢径， R 表示这两点之间的距离。r 1R = eR ；（2）r 1¢rÑ= -Ñ= - eR 。式中，Ñ 和Ñ¢ 分别表示对坐标变量( x, y, z )RR = -Ñ¢Ñ试证明：（1）R2R和( x¢, y¢, z¢ )的哈密顿算子。rRr - r¢ =(x - x¢)2 + (y -

34、y¢)2 + (z - z¢)2R =rr证明 （1）r ¶Rr ¶Rr ¶R = r (x - x¢)r (y - y¢)r (z - z¢)rRÑR = ex ¶x + ey ¶y + ez+ ey+ ez=Rex¶zRRR1-8(x - x¢)R(y - y¢)R(z - z¢)R¶R¶R¶R= -rrrR¢Ñ R = e+ e+ e- ey- ez= -Rexx¶¢y&

35、#182;¢z¶¢xyz由此得出rRr ¢R = R = rÑ= -ÑeR(1.2.14)R（2）依梯度的基本公式，有Ñ=RÑ1- ÑR)= -RR2R2r 11 (rrÑRr ¢ 1Ñ¢R R2Ñ= -R依式(1.2.14)，得出rrrÑ= -Ñ¢= -= - eR11R(1.2.15)R3R2RR1.2.3 矢量场的通量和散度空间各点的矢量函数沿着不同的方向，其大小和方向都具有不同的变化规律，矢量场特性的除了通量和散度，还

36、有环量和。1.矢量场的通量矢量场 A 穿过曲面 S 的通量线的总数称为矢量场 A 通过曲面 S的通量，它可表示为矢量 A 沿曲面 S 的面积分，如图 1.2.4 所示，即F = ò A × dS图 1.2.4矢量场的通量(1.2.16)S式中， dS = endS 称为面积元矢量， en 表示该小面积元dS 的两个指向相反的法线矢量±en 。若 S 是一个开口曲面，则方向矢量。当面积定以后，方向需要事先设定。积分后的通量F 是一个标量，它的正、负与面积元矢量的方向选取有关。通量的一个简单的物理实例就是水的流量， 事实上，穿过某一截面的水的流量其实就是水的流速沿着该

37、曲面的面积分，即水流速度的通量。若 S 是一个闭合曲面，矢量 A 穿过 S 的通量表示为F = òS A ×dS = òS A × endS方向en 规定为由闭合曲 S 的内部指向外部，即外法线方向。(1.2.17)这里，由式(1.2.17)可知，当闭合曲面 S 的方向en 与矢量 A 之间的夹角为零时，矢量 A 穿过 S 的通方向en 不同，则矢量 A 穿过其的通量也不同。量最大。换句话说，对于同样大小的闭合曲面，若其矢量场在空间的分布。借助于通量的概念，矢量 A 又称这表明通量可以量密度。例如，在电场中，电通量定义为电位移矢量 D 的通量，因此电位移

38、也常常称为电通量密度。通常，将发出通量线的点称为“源”，而将吸收通量线的点称为“沟”。例如，在静电场中，正电荷就是发出电力线的“源”，而负电荷是吸收电力线的“沟”。对于一个矢量场中的闭合曲面 S 而言，通量线有可能在一部分面积上穿出 S ，而在另一部分面积上穿入 S 。穿过整个闭合曲面 S 的总通量应为上述两部分1-9通量的代数和。在情况下，若闭合曲面 S 内既有“源”又有“沟”，则穿过 S 的总通量等于“源”发出的通量线减去“沟”吸收的通量线。对静电场而言，以后将看到，穿过闭合曲面 S 的电通量等于 S 内正、负电荷的代数和。2.矢量场的散度通量描述的是空间一个较大范围内场与源之间的。下面引

39、入的散度概念将描述空间每一点场与源之间的。设矢量函数 A 的所有分量均具有连续一阶偏导数， S 为该场域空间里的一个小闭合曲面，它包围的体积为DV 。当这个小体积DV 无限地缩小至某一点 P 时，则矢量 A 穿过 S 的通量与该小体积DV 之比的极限称为矢量场 A 在点 P 的散度(divergence)，记为òS A ×dSDVdivA = lim(1.2.18)DV ®0从散度的定义看出，散度给出了空间每一点“源”或“沟”的强度，而不像通量那样，仅仅给出一个闭合曲面内“源”和“沟”的代数和。一个矢量场的散度是一个标量，可理解为穿过包围体积的闭合表面的通量。因此

40、，人们也习惯地将散度称量源密度。对于空间的任意一点来说， divA 可以为正、为负或等于零，如图 1.2.5 所示，分别对应着具有“源”的点( divA > 0 )、具有“沟”的点( divA < 0 )或既无“源”又无“沟”的点( divA = 0 )。三种典型divA 值的情况1.2.5对静电场而言，着建立该电场的电荷。在有电荷的点上，散度不为零，所以静电场称为有源场或有散场。并且散度大于零处具有正电荷，散度小于零处具有负电荷。而对恒定磁场而言，情况就不一样。因为不磁荷，场域空间内的散度必处处为零，因此恒定磁场是无源场或无散场。在散度的定义中，要求小体积DV 收缩至空间一点，但

41、未对该体积的形状做任何限制。也就是说，矢量函数 A 在空间给定点 P 的散度 div A 与包围该点的小闭合曲面的形状无关。在直角坐标系中，为简单起见，以点 P(x, y, z)为中心取一个小的平行六面体，它的诸表面分别与相应的坐标面平行，边长分别为Dx ， Dy ， Dz ，如图1.2.6 所示。这个小六面体的体积为DV = DxDyDz 。矢量函数 A 用坐标分量的形式表示为A(x, y, z) = rrex Ax (x, y, z)+rey Ay (x, y, z)+ez Az (x, y, z)矢量场 A 穿过该小体积表面的通量等于穿过它的六个矩形表面的通量之和，即òS A&

42、#215;dS = (ò前+ò后+ò左+ò右+ò上+ò下 ) A×dS从图 1.2.6 可见，穿过前面这个矩形表面的通量应为图 1.2.6 散度表示式的推导(1.2.19)1-10ò前 A×dS = ò前(ex Ax + ey Ay + ez Az )× exdSæDöxy+Dy / 2y-Dy / 2z +Dz / 2òò=» Ax +, y, z DDx ç÷dyA dzyzxè2øz-Dz

43、/ 2DæöxAx +, y, zx ç÷(Taylor)级数展开，得出将按è2ø¶A (x, y, z) Dx1 ¶ A (x, y, z)2Dx2æ Dx öæö()Ax ç x +, y, z ÷ = Ax+Lç÷x, y, zxx¶x22!¶x2è2øè2ø因为Dx 很小，可以略去Dx 的二次方以上的，得到( x, y, z )DyDz + 1 ¶Ax ( x

44、, y, z) DxDyDzò前A×dS = Ax2¶x用同样的，可以类似地求出穿过其他几个矩形表面的通量为( x, y, z )DyDz + 1 ¶Ax ( x, y, z) DxDyDzò后A×dS = - Ax2¶x1 ¶Ay ( x, y, z )ò左 A×dS = - Ay ( x, y, z )DxDz + 2DxDyDz¶y1 ¶Ay ( x, y, z )ò右 A×dS = Ay ( x, y, z ) DxDz + 2DxDyDz

45、2;y( x, y, z )DxDy + 1 ¶Az ( x, y, z) DxDyDzò上A×dS = Az2¶z( x, y, z )DxDy + 1 ¶Az ( x, y, z ) DxDyDzò下A×dS = - Az¶z2将上面的结果代入式（1.2.19），并注意到DxDyDz = DV ，得出总通量为+ ¶Ayæ ¶¶öAAòSA ×dS =+DxzVç÷(1.2.20)¶x¶y¶z&

46、#232;ø代入散度的定义式（1.2.18）可以得到散度的表示式为+ ¶AydivA = ¶Ax+ ¶Az(1.2.21)¶x¶y¶z同样可以利用哈密顿算子Ñ 来简洁地表示散度。在直角坐标系中，一个矢量场 A 的散度divA 可以表示为哈密顿算子Ñ 与矢量 A 的标量积，即divA = Ñ× A = æ e+ e+ e ¶ ö ×(e A + e A + e A¶¶)çz÷xx ¶xy ¶

47、;y¶xy xz xzèø+ ¶Ay= ¶Ax+ ¶Az(1.2.22)¶x¶y¶z1-11根据散度的表，可以得到下列散度的基本公式：Ñ× C = 0( C 为)(1.2.23)Ñ × (aA) = aÑ × A( a 为常数)Ñ×( A + B) = Ñ× A + Ñ× BÑ×(uA) = uÑ× A + A×Ñu ( u 为

48、标量函数)(1.2.24)(1.2.25)(1.2.26)值得注意的一点是：这些基本公式均与坐标系的类型无关。它们不但在直角坐标系中成立，在其他坐标系中仍然成立。设 R 表示空间某两个点 P ( x, y, z ) 与 P¢( x¢, y¢, z¢) 之间的距离，试求Ñ ×Ñ 1例 1.2.2。Rr - r¢ =( x - x¢)2 + ( y - y¢)2 + ( z - z¢)2R =解依式(1.2.15)可知x - x¢ - e y - y¢ - e z -

49、z¢Ñ 1RR= -= -exyzR3R3R3R3则æ x - x¢ ö -æ y - y¢ ö - ¶ æ z - z¢ ö¶¶Ñ ×Ñ 1 = -R¶x ç÷¶y ç÷¶z ç÷èR3øèR3øèR3ø13( x - x¢)2 ù13( y - y

50、2;)2 ù3( z - z¢)2 ùééé1= ê-+R3ú + ê-+R3ú + ê-+R3úúûR5R5R5êë= -úûêëúûêë23 + 3RR3R5即Ñ ×Ñ 1 = 0( R ¹ 0)(1.2.27)R值得提醒注意的一点是：在上述计算中，需假设距离 R 不等于零。否则，函数 1 将出现奇异点。不过，R

51、函数将式(1.2.27)推广成为了方便说明问题，可以借助Ñ×Ñ 1R式(1.2.28)将会在第 3 章讨论镜像法时加以证明。= -4( R)(1.2.28)1.2.4. 矢量场的环量和1.矢量场的环量矢量场 A 沿空间一条闭合曲线l 的线积分，称为矢量场 A 沿该闭合曲线的环量，记为GG = òl A ×dl，即(1.2.29)式中， dl = el dl 称为长度元矢量， el 表示该长度元的正切线方向环绕方向。从上式可见，矢量场的环量是一个标量。与通量一样，它可以大于零、小于零或等于零。它的大小和矢量，它的取向为所设定的闭合曲线正负取决于矢

52、量场 A 沿空间曲线l 的分布以及该闭合曲线积分的环绕方向。因此，环量可以矢量场的旋涡特性。以后将看到，静电场中电场强度矢量沿任意闭合曲线的环量始终为零，即不一个“旋1-12涡源”。而恒定磁场的磁场强度矢量沿包围着传导电流的闭合曲线的环量就不一定等于零。这说明，恒定磁场旋涡源。2.矢量场的已给矢量场 A 和空间一小闭合曲线l ，该闭合曲线所包围的小面积为DS ，该小面积的法线矢量为 en ，它与曲线l 的环绕方向符合右手螺旋，如图 1.2.7 所示。当这块小面积DS 无限地向点 P 收缩时，矢量 A 沿闭合曲线l 的环量与小面积DS 之比的极限òl A×dlDSlimDS

53、®0图 1.2.7 矢量场的环量和称为矢量场 A 在点 P 沿en 方向的环量密度。由于环量与en 有关，所以矢量场的环量密度的大小也与方向en 有关。这有点像标量场的数，它r的大小与方向el 有关。由此，可以给出矢量场已给矢量场 A ，若在空间某给定点 P 处的定义。这样一个矢量，它的大小等于该点最大的环量密度，它的方向为取得最大环量密度的那块小面积 DS 的法线方向，则这个矢量称为矢量 A 在 P 点的curl)，记为rotA (或记为curlA )。(rotation 或在空间某给定点，假如DS 法线没有达到最大值，而是rotA 在en矢量en 方向与rotA 方向不相同，则

54、A 沿DS的投影，如图 1.2.8 所示，即l 的环量就òl A×dlDS(rotA) = (rotA)× e = lim(1.2.30)nDS ®0n图 1.2.8 不同闭合路径位置情况下的环量就像矢量场的散度描述了空间每一点的场矢量与通量源之间的一样，矢量场的描述了空间每一点的场矢量与旋涡源的。静电场中的电场强度矢量沿空间任意闭合曲线的环量均为零，这意味着这一矢量场的处处为零，为无旋场(也称保守场)；而恒定磁场的磁力线都是闭合曲线，所以磁场强度矢量就不等于零，即恒定磁场为有旋场。在环量密度和 的定义中，仅要求小面积DS 收缩至一点，但未对该小面积DS

55、 的形状做任何限制。在直角坐标系中，为简单起见，可以在空间点P(x, y, z)附近取一个以该点为中心的小矩形面积DS ，使该面积平行于 yz 平r矢量为面并取其边长分别为 Dy 和 Dz 。 DS 的法线DS = DyDz ，如图 1.2.9 所示。ex ， 它的面积为l 的环量为沿这个矩形小面积的)(bcdaòA ×dl =+ò +ò +òA ×dlò(1.2.31)图 1.2.9表示式的推导labcd1-13先计算上式中的第一个线积分，它为A×dl =e A + e A + e A )× e dyb

56、(bòòxxy yz zyaaæDz öbò=Aydy»Ay ç x, y, z -÷Dyè2øaDæz ö将 Ax, y, z -按级数展开并略去Dz 的二次方以上的y ç÷，得到è2ø1 ¶Ay (x, y, z)Dz öæ()Ay ç x, y, z -÷ = Ay-2Dzx, y, z¶zè2ø即有1 ¶Ay ( x, y, z )bA &

57、#215;dl = Ay ( x, y, z ) Dy -2òDS¶za同理可得( x, y, z ) Dz + 1 ¶Az ( x, y, z ) DScA×dl = Aòz2¶yb1 ¶Ay ( x, y, z )dA ×dl = - Ay ( x, y, z ) Dy -2òDS¶zc( x, y, z ) Dz + 1 ¶Az ( x, y, z ) DSaA×dl = - Aòz2¶yd将上面诸式代入式(1.2.31)得出沿该矩形小框的环量为&#

58、182;æ ¶AöAòlA ×dl =-yDSzç÷(1.2.32)¶y¶zèørr因为该矩形小面积DS 的法线矢量是ex ，所以该环量也就是最大的环量在该小面积法线方向ex 的方向的投影，即投影。由此得到矢量rotA 在rexòl A×dl = ¶Az- ¶Ay(rotA) = limDS¶y¶zxDS ®0可以得到矢量rotA 在另外两个坐标轴方向的投影。它们为用类似的分析= ¶Ax - ¶A

59、z(rotA)(rotA)¶z¶xy= ¶Ay- ¶Ax¶x¶yz将(rotA) ， (rotA) ， (rotA) 三式合起来，则得出xyz的表示式为¶æ ¶Ayæ ¶AzööAæ ¶Ax¶¶AöArotA = e-y+ e-+ e-zxx ç÷÷z ç÷y ç(1.2.33)¶y¶z¶z¶x¶x¶

60、;yèøèøèø同样可以借助哈密顿算子Ñ 将rotA 简洁地表示为算子Ñ 与矢量 A 的矢量积，即1-14rotA = Ñ´ A = æ e+ e+ e ¶ ö´(e A + e A + e A )¶¶çz÷xx ¶xy ¶y¶xy yz zzèø¶Ay ör æ ¶Ayr æ ¶Az¶Ax ör æ ¶Ax¶Az ö= e ç-÷ + ey ç-÷ + ez ç-÷(1.2.3