2018届九年级数学上学期第一次月考试题北师大版及答案

1、1 2017-2018学年九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1. 方程 2x2- 6x- 5=0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 6、2、5 B. 2、- 6、5 C. 2、- 6、- 5 D.- 2、6、5 2. 用配方法解方程 X2+4X-仁 0,下列配方结果正确的是（ ） 2 2 2 2 A. （x+2） =5 B. （x+2） =1 C. （x - 2） =1 D. （x - 2） =5 3. 一元二次方程 x2- 2x - 3=0 的两根分别是 X1、X2，贝U X1+x2的值是（） A. 3 B. 2

2、C.- 3D. - 2 4. 正方形具备而菱形不具备的性质是（ ） A.对角线互相平分 B 对角线互相垂直 C.对角线相等 D 每条对角线平分一组对角 5. 下列说法正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 6. 如图，在?ABCD 中，对角线 AC 丄 AB, O 为 AC 的中点，经过点 O 的直线交 AD 于 E,交 BC 于 F,连 结 AF、CE 现在添加一个适当的条件，使四边形 AFCE 是菱形，下列条件： OE=OAEF 丄 AC; AF 平分/ B

3、ACE 为 AD 中点.正确的有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 7. 已知关于 x的方程 x2 - 2x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值是 _. 8. 菱形的对角线长分别为 6 和 8,则此菱形的面积为 _ . 2 2 9. 方程 ： - 是一元二次方程，则 m _ . 10. 矩形 ABCD 勺两条对角线相交于 O, / AOD=120 , AB=3cm 贝 U BD= _ cm. 11. 写出以 4,- 5 为根且二次项的系数为 1 的一元二次方程是 _ .2 三、（本大题共 5 小题，每小题 6

4、分，共 30 分） 15. 如图，矩形 ABCD 勺对角线相交于点 O, DE/ AC CE/ BD. 16. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E, F 分别在边 BC CD 上, AE BF 交于点 O, / AOF=90 .求证: BE=CFABCD 勺边 AB 为对角线作第二个正方形 AEBG）,再以 BE 为对角线作第 n个正方形的面积 Sn= _ 13.解方程：（x - 1） 2=4, 解方程：X2+2X- 3=0. 14.已知关于X的一元二次方程 X2- 4x+m-仁 0 有两个相等的实数根，求 m 的值及方程的12.如图，以边长为 1 的正方形 ,，则所作的第 3 17. 如图

5、，菱形 ABCD 中, AE BC 于点 E, BE=CE AD=4cm (1) 求菱形 ABCD 勺各角的度数； (2) 求 AE 的长. 四、(本大题共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分) 18. 如图，在 ABC 中，DE 分别是 AB, AC 的中点，BE=2DE 延长 DE 到点 F,使得 EF=BE 连 CF (1) 求证：四边形 BCFE 是菱形； (2) 若 CE=6 / BEF=120，求菱形 BCFE 的面积. 2 19. 关于 x的一元二次方程 x+2x+2m=0 有两个不相等的实数根. 4 (1)求 m 的取值范围;5 (2)若 xi, X2是一元二次方程 x2+

6、2x+2m=0 的两个根，且 Xi2+X22=8,求 m 的值. 20. 已知：如图，在 ABC 中，AB=AC AD丄BQ 垂足为点 D,人“是厶 ABC 外角/ CAM 的平分线，CE 丄 AN,垂足为点 E, (1) 求证：四边形 ADCE 为矩形； (2) 当厶 ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？并给出证明. 五、(本大题 10 分) 22. 阅读下列材料: 21. 如图，在宽为 20m 长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分) 上草坪.要使草坪的面积为 540m，求道路的宽. (部分参考数据： 322=1024 , 522=2704 , 482

7、=2304) ，余下的部分种 6 问题：已知方程 x2+x - 1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍. 解：设所求方程的根为 y，则 y=2x，所以 x=，把 x= ，代入已知方程， 2 y y v 得(二)2 + 二-1=0. - 化简，得 y2+2y- 4=0, 故所求方程为 y2+2y - 4=0 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”. 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式) ： (1) 已知方程 x2+2x- 1=0,求一个一元二次方程， 使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方 程为 _ ； (2) 已知关于

8、 x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 ( 0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方 程，使它的根分别是已知方程根的倒数. 六、(本大题 12 分) 23. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E、点 F 分别在边 BC DC 上，BE=DF / EAF=60 . (1) 若 AE=2,求 EC 的长； (2) 若点 G 在 DC 上，且/ AGC=120，求证： AG=EG+FG 7 2017-2018 学年崇仁一中九年级（上）第一次月考 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1. 方程 2x2- 6x- 5=0 的二次项系数、一次项

9、系数、常数项分别为（ ） A. 6、2、5 B. 2、- 6、5 C. 2、- 6、- 5 D.- 2、6、5 【分析】一元二次方程 ax2+bx+c=0 （ a, b, c 是常数且 0）的 a、b、c 分别是二次项系数、一次 项系数、常数项. 【解答】 解：方程 2x2- 6x- 5=0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 2、- 6、- 5; 故选 C. 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式： ax2+bx+c=0 （a, b, c 是常数且 a*0）特别要注意 a 工 0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中 ax2叫二次项，bx 叫一次项，c 是 常数项其中 a

10、, b, c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项. 2. 用配方法解方程 x2+4x-仁 0,下列配方结果正确的是（ ） 2 2 2 2 A. （x+2） =5 B. （x+2） =1 C. （x - 2） =1 D. （x - 2） =5 【分析】在本题中，把常数项-1 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数 4 的一半的平方. 【解答】 解：把方程 x2+4x- 1=0 的常数项移到等号的右边，得到 x2+4x=1 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 x2+4x+4=1+4 配方得（x+2） 2=5. 故选：A. 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程.配方法的一般步骤： （1

11、） 把常数项移到等号的右边； （2） 把二次项的系数化为 1; （3） 等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1, 一次项的系数是 2 的倍数. 3. 一元二次方程 x2- 2x - 3=0 的两根分别是 X1、X2，贝U X1+X2的值是（ ） A. 3 B. 2 C.- 3D. - 2 8 【分析】根据韦达定理可得. 【解答】 解：T一元二次方程 x2- 2x+3=0 的两根分别是 X1、X2, / X1+X2=2, 故选： B 【点评】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键 4. 正方形具备而菱形

12、不具备的性质是（ ） A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.每条对角线平分一组对角 【分析】 正方形具有矩形和菱形的性质，故根据正方形和菱形的性质即可解题 【解答】 解：（1）平行四边形的对角线互相平分，所以菱形和正方形对角线均互相平分，故本选项 错误； （2） 菱形和正方形的对角线均互相垂直，故本选项错误； （3） 正方形对角线相等，而菱形对角线不相等，故本选项正确； （4） 对角线即角平分线是菱形的性质，正方形具有全部菱形的性质，所以本选项错误. 故选 C . 【点评】 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形和菱形的性质，熟悉掌握菱形、 正方形的性质是解

13、本题的关键. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【分析】 根据菱形、正方形、矩形、平行四边形的判定定理，即可解答. 【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误； B、 有一个角是直角的菱形是正方形，正确； C、 对角线相等的平行四边形是矩形，故错误； D 组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故错误； 故选： B. 【点评】 本题考查了多边形，解决本题的关键是熟记菱形、正方形、矩形、平行四边形的判定定理. 9 6. 如图，在?A

14、BCD 中，对角线 AC 丄 AB, O 为 AC 的中点，经过点 0 的直线交 AD 于 E,交 BC 于 F,连 结 AF、CE 现在添加一个适当的条件，使四边形 AFCE 是菱形，下列条件： 0E=0AEF 丄 AC; AF 平分/ BACE 为 AD 中点.正确的有（ ）个.2 10 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【分析】由在?ABCD 中, O 为 AC 的中点，易证得四边形 AFCE 是平行四边形；然后由一组邻边相等的 平行四边形是菱形与对角线互相垂直的平行四边形是菱形，求得答案. 【解答】 解：四边形 ABCD 是平行四边形， AD/ BC, / AEO=Z CFO T

15、O 为 AC 的中点， OA=OC 在厶 AOE 和厶 COF 中， rZABO=ZCFO 空 ZACE=ZC0F, LOA=OC AOEA COF( AAS , OE=OF 四边形 AFCE 是平行四边形； OE=OA AC=EF 四边形 AFCE 是矩形；故错误； EF 丄 AC, 四边形 AFCE 是菱形；故正确； AF 平分/ BAC AB 丄 AC, / BAF=Z CAF=45 , 无法判定四边形 AFCE 是菱形；故错误； AC 丄 AB, AB/ CD, ACL CD E 为 AD 中点， 11 AE=CE= AD, 四边形 AFCE 是菱形；故正确. 故选 B. 【点评】此题

16、考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质注意首 先证得四边形 AFCE 是平行四边形是关键. 二、填空题(本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分) 7. 已知关于 x的方程 x2 - 2x+m=0 有两个相等的实 数根，则 m 的值是 1 . 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出 =4 - 4m=Q 解之即可得出结论. 【解答】 解：T关于 x的方程 x2- 2x+m=0 有两个相等的实数根， 2 = (- 2) - 4m=4- 4m=Q 解得：m=1. 故答案为：1. 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当 =0 时，方程有两个相等的实数根”是解题

17、的关键. 8. 菱形的对角线长分别为 6 和 8,则此菱形的面积为 24 . 【分析】由菱形的对角线长分别为 6 和 8,根据菱形的面积等于对角线积的一半，可求得菱形的面 积. 【解答】 解：如图，AC=6 BD=8 四边形 ABCD 是菱形， ACL BD, OA= AC=3 OBBD=4, 2 2 AB= I.-=5， 面积是：1 AC?BD= X 6X 8=24. 2 2 故答案为：24. 【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用. 9. 方程： ， | -是一兀二次方程，则 m _二2_. 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为 0,未知

18、数的次数为 2,可得 m 的取值范围. 12 【解答】解：关于 x的方程:- :，| -是一元二次方， 缶-2H 0 异-2 二 2 解得：m=- 2. 故答案为：-2. 【点评】 本题考查了一元二次方程的定义，属于基础题，注意掌握一元二次方程的定义是解答本题 的关键. 10. 矩形 ABCD 勺两条对角线相交于 0, / AOD=120 , AB=3cm 贝 U BD=_6_cm. 【分析】 根据矩形性质得出 AC=BD 0A=0C= AC, B0=D0=BD,推出 0A=0B 求出/ AOB=60，得出 2 2 A0B 是等边三角形，推出 0B=A0=AB=3cm 即可得出答案. 四边形

19、ABCD 是矩形， AC=BD 0A=0C= AC, B0=D0= BD, 2 2 0A=0B / A0D=120 , / A0B=60 , A0B 是等边三角形， 0B=A0=AB=3cm BD=20B=6cm 故答案为：6. 【点评】本题考查了矩形性质和等边三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对角线互相平分且 相等. 11. 写出以 4 , - 5 为根且二次项的系数为 1的一元二次方程是 x2+x - 20=0 . 【分析】先简单 4 与-5 的和与积，然后根据根与系数的关系写出满足条件的方程. 【解答】 解： 4+ ( - 5) =- 1 , 4X( - 5) =- 20, 以 4,

20、- 5 为根且二次项的系数为 1 的一元二次方程为 x2+x - 20=0. 故答案为 x2+x 20=0 . 13 【点评】 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 ( 0)的根与系数的关系：若方程两个为 X1, X2,14 则 Xl+X2= 工，X1?X2=. a a 12. 如图，以边长为 1 的正方形 ABCD 勺边 AB 为对角线作第二个正方形 AEBO,再以 BE 为对角线作 S4的值，即可求得规律所作的第 n个正方形的面积 S= 【解答】解：正方形 ABCD 的边长为 1 , AB=1, AC=二 AE=AO= 一 , 2 则：AO=_LAB=, 2 2 S3= , s=

21、, 4 8 故答案为: 三、（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分） 13. 解方程：（x 1） 2=4. 【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可. 【解答】 解：两边直接开平方得：x 仁土 2, x 1=2 或 x 1 = 2, 解得：X1=3, X2=- 1 . 【点评】此题主要考查了直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边, 把常数项移项等号的右边，化成 x2=a （a 0）的形式，利用数的开方直接求解. （1）用直接开方法 第三个正方形 EFBO,如此作下去，则所作的第 n个正方形的面积 Sn=: T 【分析】由正方形 ABCD 勺边长为 1

22、,根据正方形的性质，即可求得 AO, EQ 的值，则可求得 S2, S3, A, 作的n个正方形的面积 Sn= . 2匕1 【点评】此题考查了正方形的性质.解题的关键是找到规律：所作的第 n个正方形的面积 15 求一元二次方程的解的类型有： x2=a (a0); ax2=b (a, b 同号且 0); (x+a) 2=b (b 0); a(x+b)16 2=c (a, c 同号且 a丰0).法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为 1，再开平方取正 负，分开求得方程解”. (2)用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点. 2 解方程：x+2x- 3=0. 【分析】观察方程

23、x2+2x- 3=0，可因式分解法求得方程的解. 【解答】解：x2+2x - 3=0 /( x+3) (x- 1) =0 二 xi=1, X2= - 3. 【点评】 解方程有多种方法，要根据实际情况进行选择. 14. 已知关于 x的一元二次方程 x2 - 4x+m- 1=0 有两个相等的实数根，求 m 的值及方程的根. 【分析】 首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出 m 的值，即可确定原一元二次方程，进而 可求出方程的根. 2 【解答】 解：由题意可知厶=0,即(-4) - 4 ( m- 1) =0,解得 m=5. 当 m=5 时，原方程化为 x2- 4x+4=0 .解得 X1=x2=2

24、 . 所以原方程的根为 X1=X2=2. 【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系： ( 0?方程有两个不相等的实数根； (2) =0?方程有两个相等的实数根； (3) 0, 解得：m 0. .m 的值为-1. 【点评】 本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题 的关键是：(1)结合题意得出 4 - 8m 0; ( 2)结合题意得出 4 - 4m=8 本题属于基础题，难度不大， 解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键. 22 20. 已知：如图，在 ABC 中，AB=AC AD 丄 BQ 垂足为点 D,人“是厶 ABC 外

25、角/ CAM 的平分线，CE 丄 AN,垂足为点 E, (1) 求证：四边形 ADCE 为矩形； (2) 当厶 ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？并给出证明. 【分析】(1)根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形， 已知 CEL ANADX BC,所以求证/ DAE=90 , 可以证明四边形 ADCE 为矩形. (2)根据正方形的判定，我们可以假设当 AD= BC,由已知可得，DC= BC,由(1)的结论可知四 2 2 边形 ADCE 为矩形，所以证得，四边形 ADCE 为正方形. 【解答】(1)证明：在厶 ABC 中，AB=AC ADL BC, / BAD=Z DAC

26、/人“是厶 ABC 外角/ CAM 的平分线， / MAE=/ CAE / DAE=Z DACf CAE= 180 =90, 2 又 AD 丄 BC, CE1 AN, / ADC=Z CEA=90 , 四边形 ADCE 为矩形. (2)当厶 ABC 满足/ BAC=90 时，四边形 ADCE 是一个正方形. 理由： AB=AC / ACB=Z B=45 , / ADL BC, / CAD=/ ACD=45 , DC=AD 四边形 ADCE 为矩形， 23 矩形 ADCE 是正方形. 当/ BAC=90 时，四边形 ADCE 是一个正方形. 【点评】 本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，

27、正方形的判定，等腰三角形的性质，及 角平分线的性质等知识点的综合运用. 21. 如图，在宽为 20m,长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分） ，余下的部分种 上草坪.要使草坪的面积为 540m，求道路的宽. （部分参考数据： 322=1024 , 522=2704 , 482=2304） 【分析】 本题可设道路宽为 x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面 积之和就变为了（ 32 - x） （20 - x）米2,进而即可列出方程，求出答案. 【解答】解法（1）: 解：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为 x 米， 根据题意得：（20 - x） （ 3

28、2 - x） =540 整理得：x2- 52x+100=0 解得：Xi=50 （舍去），X2=2 答：道路宽为 2 米. 解法（2）: 解：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为 x 米, 2 根据题意得：20 X 32 -（ 20+32） x+x =540 整理得：x2- 52x+100=0 解得：xi=2, X2=50 （舍去） 答：道路宽应是 2 米. 24 【点评】 这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列 出方程，求出答案另外还要注意解的合理性，从而确定取舍. 五、（本大题 10 分） 22. 阅读下列材料： 问题：已知方程 X+x - 1=0,

29、求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍. 解：设所求方程的根为 y，则 y=2x，所以 x=，把 x= ，代入已知方程， 2 y y Z 得（二）2 + - 1=0. 化简，得 y2+2y- 4=0, 故所求方程为 y2+2y - 4=0 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”. 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） ： （1） 已知方程 x2+2x- 1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方 程为 _ ； （2） 已知关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 （ 0）有两个不等于零的实数根，求一

30、个一元二次方 程，使它的根分别是已知方程根的倒数. 【分析】（1）设所求方程的根为 y,贝 U y= - x，所以 x= - y,代入原方程即可得； （2）设所求方程的根为 y,贝 U y4 （x丰0）,于是 x=Z （y丰0）,代入方程 ax2+bx+c=0 整理即可得. x y 【解答】解：（1）设所求方程的根为 y,则 y= - x，所以 x= - y, 把 x=- y 代入方程 x2+2x- 1=0，得：y2- 2y -仁 0, 故答案为：y2 - 2y -仁 0; （2）设所求方程的根为 y，则 y= （x丰0）,于是 x（y丰0）, K y 把 x=一代入方程 ax2+bx+c=0,得 a （一）2+b （一） +c=0, y y y 2 去分母，得 a+by+cy =0, 若 c=0,有 ax2+bx=0