第二十一讲常数项级数的审敛法ppt课件

1、第二节第二节 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛1.1.定义定义: :，中中各各项项均均有有如如果果级级数数0 1 nnnuu这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数. ., , 211 nnnsssu有有对对于于正正项项级级数数2. 2. 正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件: :定理定理. 有界有界部分和数列部分和数列正项级数收敛正项级数收敛ns一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法 . 为单调增加数列为单调增加数列即部分和数列即部分和数列ns

2、证明证明nnuuus 21且且 1)1(nnv 设设,nnvu , 即部分和数列有界，即部分和数列有界，.1收收敛敛 nnunvvv 21. ), 2 , 1( 111111发发散散发发散散，则则反反之之，若若收收敛敛；收收敛敛，则则若若且且均均为为正正项项级级数数和和设设比比较较审审敛敛法法 nnnnnnnnnnnnnnvuuvnvuvunns )()2( nsn设设,nnvu 且且, .1发散发散 nnv. ) ( )( )( ) ( 11发发散散收收敛敛，则则且且为为非非零零常常数数，发发散散收收敛敛若若推推论论： nnnnnnnnvvkuNnkuvku , 不不是是有有界界数数列列即即

3、n 那么那么解解, 1 p设设,11nnp .级数发散级数发散则则 P nnppxdxn 1 1 . 1 p设设考虑级数考虑级数, 1)1(1211 nppnn)0.( 14131211 1 pnPpppp的的收收敛敛性性级级数数讨讨论论例例,11 1 ppxnnxn- 有有时，时，因为当因为当所以所以1)1(11111 ppnnp. 级级数数收收敛敛因因此此 P 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数, 1 , 1 ppP 1)1(11211 nkppnnns, 1)1(11(limlim 1 pnnnns因因为为 , 1)1(1 211收收敛敛故故 nppnn. )1(111 pn证明证

4、明,11)1(1 nnn, 11 1 nn发散发散而级数而级数. )1(1 1 nnn发散发散级数级数. )1(1 2 1 nnn是发散的是发散的证明级数证明级数例例4. 4. 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式. )3( 0 )2( 0 )1( lim 111111发散发散发散，则发散，则时，若时，若当当收敛；收敛；收敛，则收敛，则时，若时，若当当敛散性；敛散性；时，两个级数有相同的时，两个级数有相同的当当，则，则都是正项级数，如果都是正项级数，如果与与设设 nnnnnnnnnnnnnnnuvluvlllvuvu证明证明, lim )1(lvunnn 由由, 02 l 对于对于,N ,

5、 时时当当Nn ,22llvullnn )()23()2( Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, , 得证得证. .5. 5. 极限审敛法极限审敛法为正项级数，为正项级数，设设 1 nnu；发散发散级数级数，则，则如果如果 )lim( 0lim 1 nnnnnnunulnu. lim , 1 1收敛收敛存在，则级数存在，则级数使得使得如果如果 nnnpnuunp解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 原级数发散原级数发散. .)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,311收收敛敛 nn故原级数收敛故原级数收敛. .;31

6、)2( ;1sin )1( 311 nnnnn：判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性例例. )1ln(1 )3(12 nn(3)(3)考察考察).11ln(lim22nnn ，并应用重要极限，有，并应用重要极限，有代替代替用实变量用实变量nx)11ln(lim22xxn 2)11(limln2xnx eln 1 因而因而. 1)11ln(lim22 nnn. )1ln(1 12收敛收敛根据极限审敛法知级数根据极限审敛法知级数 nn证明证明, 为有限数时为有限数时当当 , 0 对对,N , 时时当当Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即6. 6. 比值审敛法达朗贝尔判别法）比值审敛

7、法达朗贝尔判别法）,lim 11 nnnnnuuu 是正项级数，如果是正项级数，如果设设. 1 )lim ( 1 1 1发发散散时时级级数数可可能能收收敛敛也也可可能能发发散散；时时级级数数或或时时级级数数收收敛敛；则则 nnnuu,1时时当当 ,1时时当当 ,1 取取, 1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu, 111 mNmur收收敛敛而而级级数数,11收敛收敛 NnummNuu级数收敛级数收敛. ., 1 取取, 1 r使使,时时当当Nn ,1nnnuruu . 0lim nnu级数发散级数发散. .注意注意: :, 11发发散散级级数数例例如如，

8、 nn,112收敛收敛级数级数 nn. 1 1 时时比比值值审审敛敛法法失失效效；当当 解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n. !1 1收收敛敛故故级级数数 nn.2)12(1 (3) ; 10! (2) ; !1 )1( 411n1 nnnnnnn：判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性例例),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1发散发散故级数故级数 nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值审敛法失效比值审敛法失效, , 改用比较审敛法改用比较审敛法,12)12(12nnn ,112收

9、敛收敛级数级数 nn . )12(211收敛收敛故级数故级数 nnn,1 , 1 nnn设级数设级数例如例如nnnnnu1 n1 ),(0 n级数收敛级数收敛. .7. 7. 根值审敛法柯西判别法）根值审敛法柯西判别法），是正项级数，如果是正项级数，如果设设 nnnnnuulim 1. 1 )lim ( 1; 1 发散发散时级数可能收敛也可能时级数可能收敛也可能级数发散；级数发散；时时或或时级数收敛时级数收敛则则 nnnu定义定义: : 正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数. . )1()1(111nnnnnnuu 或或. )0( nu其其中中. , 0lim )2(

10、);, 3 , 2 , 1( )1( 111 nnnnnnnurrusunuu的的绝绝对对值值，其其余余项项则则级级数数收收敛敛，且且其其和和：如如果果交交错错级级数数满满足足条条件件莱莱布布尼尼茨茨定定理理二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法证明证明nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu,2是单调增加的是单调增加的数列数列ns,2是是有有界界的的数数列列ns)(limlim12212 nnnnnuss, s . ,1uss 且且级级数数收收敛敛于于

11、和和),(21 nnnuur余余项项,21 nnnuur满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件, ,.1 nnur解解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x, 1 单单调调递递减减故故函函数数 xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原级数收敛原级数收敛. . 1)1( 5 2 nnnn的收敛性的收敛性判别级数判别级数例例定义定义: : 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. .证明证明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv显显然然,nnuv 且且,1收敛收敛 nnv),2(11 nnnnnuvu又又. 11收收敛敛收收敛敛，则则若若定定理理 nnnnuu三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛解解,1sin22nnn ,112收收敛敛而而 nn,sin12 nnn收敛收敛故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛. . sin 6 12 nnn的的收收敛敛性性判判别别级级数数例例 . ; 11111为条件收敛为条件收敛收敛，则称收敛，则称发散，而发