第二节 洛必达法则ppt课件

1、第二节第二节 洛必达法则洛必达法则 在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为未定式，记为洛必达法则是求函数极限的一种重要方法洛必达法则是求函数极限的一种重要方法. . ，00. 及及(1)(1)0)(lim)(lim xgxfaxax； ( (2 2) )(xf和和)(xg在在点点0 x的的某某去去心心邻邻域域内内可可导导，且且0)( xg； 则则 Axgxfax )()(lim( (或或 ) ). . ( (3 3) )Axgxfax )()(lim( (或或 ) ), , 00设设函函数数)(xf和和)(xg在在点点ax 的的

2、定理定理(洛必达法则洛必达法则) ( (证略证略) ) 某去心邻域内有定义且可导某去心邻域内有定义且可导, ,且满足下列条件：且满足下列条件： 00 和和型未定式型未定式一、一、)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax 1 1. .ax 可可改改为为 x； 2 2. . )(lim)(limxgxfaxax时时洛洛必必达达法法则则仍仍成成立立； 3 3. .若若不不是是 “00” 或或 “ ” 未未定定式式, ,不不能能使使用用洛洛必必达达法法则则； 4 4. .当当)()(limxgxf 不不存存在在时时, ,且且不不是是 , ,不不能能断断言言)()(limxgxf不不存存在在

3、, , 说明：说明： 5.5.洛必达法则可多次使用。洛必达法则可多次使用。 只能说此时使用洛必达法则失败只能说此时使用洛必达法则失败, ,需另想它法；需另想它法； )()(lim)()(limxgxfxgxfxx 例例13245lim241 xxxxx12333lim221 xxxx266lim1 xxx.23 )00(用用“洛必达法则求极限例洛必达法则求极限例题题练习练习:123lim2331 xxxxxx2254lim31 xxx.41 比较比较:因式分解，因式分解，)3)(1()4)(1(lim231 xxxxxxx原原式式.41 例例2xxx1)1(lim0 1)1(lim10 xx.

4、 )00(比较比较:xxxxx)1ln()1ln(1)1(lim0 原原式式,1)1(tx 令令, )1ln()1ln(tx 则则.0,0tx时时当当. xxttxt)1ln(lim)1ln(lim00 )0( 练习练习:2031)cos(sinlimxxx xxxx6cos)sin(sinlim0 .61 2031)cos(sinlimxxx 22032/sinlimxxx .61 或解或解等价无穷等价无穷小替换小替换例例3xxx1sinarctan2lim 22111limxxx 221limxxx . 1 )00(xxx1arctan2lim 例例4)00(xxxx10)1(elim ，

5、xxy1)1( ，xxy)1ln(ln 2)1ln(1xxxxyy )1()1ln()1()1(lim210 xxxxxxxx 2010)1ln()1(lim1)1(limxxxxxxxxx xxx2)1ln(lime0 .2e 及时分离非零因子及时分离非零因子 例例5)( 注注: :0lnlim xxx, ,0 . . xxxlnlim xxx211lim xx2lim .0 注注: : xxxelim, ,0 . . 例例65elimxxx )( 45elimxxx . ! 5elimxx 例例6xxx3tantanlim2 xxx3sec3seclim222 xxx222cos3cosl

6、im31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxxxxxsin3sinlimcos3coslim22 .3 )( 或解：或解：xxx3tantanlim2 xxxxxxcos3coslim3sinsinlim22 xxxsin3sin3lim2 .3 及时及时分离分离非零非零因子因子 xxxsin3sin3lim2 00例例7解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式)sin1(limxx 洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原原式式. 1 .1lim2xxx 求求练习练习不能使用洛必达法则。不能使用洛必达法则。.111lim2

7、0 xx原式原式解解极限不存在极限不存在221lim1limxxxxxx xxx21lim 二、其它类型的未定式二、其它类型的未定式,0 例例8)0( 解法：转化为解法：转化为 或或 型不型不定式。定式。00 型型） 0 1 步骤步骤:,10 .0100 或或xxxlnlim0 ( (0 ) ) xxxlnlim010/1lim xxx xx 0lim1.0 , ,00,1 0 例例9)( 0101 0000 型型） 2步骤步骤: xxx1)1ln(1lim0)1ln()1ln(lim0 xxxxx 20)1ln(limxxxx xxx2111lim0 )1(21lim0 xx )00(.21

8、 步骤步骤:型型00,1,0)3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 例例10)0(00e . 1 xxxtan0lim xxxlntanlim0e xxx20sinlime xxxlntan0elim 对数恒等式对数恒等式xxlne xxxcotlnlim0e 例例11xxx 111lim)1( xxxln111elim xxx 1lnlim1e11 lim1e xx.e1 或解或解( (重要极限法重要极限法) )： xxx 111lim xxx 111)1(1lim.e1 例例12.)(cotlimln10 xxx )(0 ,ln)ln(cotln xxy 取取对对数数得得xxx

9、ln)ln(cotlim0 xxxx1csccot1lim20 xxxxsincoslim0 ,1 .e1 原式原式,)(cotln1xxy 令令解解.)arctan2(lim xxx 求求.e2 所以原极限所以原极限例例13解解,)arctan2( xxy 设设, )arctanln2ln(ln xxy 则则所以所以)arctanln2ln(limlnlimxxyxx xxx/1arctanln2lnlim 22111arctan1limxxxx xxxxarctan11lim22 ,2 练习练习)1( 解解,)sin(21xxxy 记记200lnsinlnlimlnlimxxxyxx xx

10、xxxxsin2sincoslim20 206cossincoslimxxxxxx ,61 .)sin(lim210 xxxx求求.e 61 原原式式xxxxx21sincoslim0 302sincoslimxxxxx 求求 nnnnba)2(lim ,0( a,)0 b. 解解,1xn 令令，原原式式xxxxba10)2(lim ，令令xxxbay1)2( ，则则xbayxx2ln)ln(ln )1( 2)ln(e ab 原原式式xxxxxbabbaa lnlnlim0 xbayxxxx2ln)ln(limlnlim00 )00(，2)ln(ab .ab 例例14 这是数列极限这是数列极限

11、, , 不能直接使用洛必达法则不能直接使用洛必达法则, , 要先化为函数极限要先化为函数极限. .或解或解xxxxba10)2(lim 原式原式xxxxba10)2111(lim xbabaxxxxxxxba2111120)2111(lim xbaxxx211lim0e 2lnlneba .ab axaxln1 )0(x求求 nnnnba)2(lim ,0( a,)0 b. 例例14小结小结洛必达法则洛必达法则型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 3. 3. 假设假设 不存在时不存在时, ,不能断定原极限是否存不能断定原极限是否存在在, ,此时法则失效此时法则失效, ,改用其它方法改用其它方法. .洛必达法则并不洛必达法则并不能解决一切未定式的极限问题能解决一切未定式的极限问题. .)()(limxgxfax 应用洛必达法则应注意的几个问题应用洛必达法则应注意的几个问题: :1. 1. 应用洛必达法则时要分别求分子及分母的导数应用洛必达法则时要分别求分子及分母的导数, ,切忌不要把函数当做整个分式来求导切忌不要把函数当做整个分式来求导. .2. 2. 洛必达法则可以累次使用洛