113角平分线的性质%2B

1、11.311.3角平分线的性质角平分线的性质 2. 叫做全等三角形。互相重合的角叫做互相重合的边叫做 其中：互相重合的顶点叫做 1.能够重合的两个图形叫做 。全等形全等形4.全等三角形的 和 相等对应边对应边对应角对应角对应顶点对应顶点知识回顾知识回顾 能够重合的两个三角形3.“全等”用符号“ ”来表示，读作对应边对应边对应角对应角5.书写全等式时要求全等于全等于字母位置对应知识回顾：知识回顾：三角形三角形 全等的条件：全等的条件：1 1）定义（重合）法；）定义（重合）法；SSSSSS；SASSAS；ASAASA；AAS.AAS.2 2）解题）解题中常用的中常用的4 4种方法种方法3）HL直角

2、三角形全等用直角三角形全等用复习提问复习提问1 1、角平分线的概念、角平分线的概念oBCA12下图中能表示点下图中能表示点P到直线到直线l的距离的是的距离的是线段线段PC的长的长思考：思考： 如图如图,是一个平分角的仪器是一个平分角的仪器,其中其中AB=AD,BC=DC.将点将点A放在角的顶点放在角的顶点,AB和和AD沿着角的两边放下沿着角的两边放下,沿沿AC画一条射线画一条射线AE,AE就是角平分线就是角平分线.你能说明它的道你能说明它的道理吗理吗?经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的方法吗？小组内互相交流一下吧！方法吗？小组内互相交流一下吧！

3、探究探究1-想一想想一想证明：证明： 在在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知） DC=BC（已知）（已知） CA=CA（公共边）（公共边） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三（全等三角形的对应边相等）角形的对应边相等） AC平分平分DAB（角平分线（角平分线的定义）的定义）尺规作角的平分线尺规作角的平分线画法：画法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 1/2 的长的长为半径作弧两弧在为半径作弧两弧在的内部交于的内部交于作射线作射线射线即为所求射线即为所求为什么为什么OCOC是角平分线呢？是角

4、平分线呢？ 想一想：想一想：已知：已知：OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC。求证：求证：OCOC平分平分AOBAOB。证明证明：在：在OMCOMC和和ONCONC中，中， OM=ONOM=ON， MC=NCMC=NC， OC=OCOC=OC， OMC OMC ONCONC（SSSSSS） MOC=NOCMOC=NOC 即：即：OCOC平分平分AOBAOB1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，以后，把它反向延长得到直线把它反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线ABAB是什么关系？是什么关系？ 3 3结论：作

5、平角的平分线即可平分平角，结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。线的方法。ABOCD探究角平分线的性质 (1)实验实验：将：将AOB对折，再折出一个直角对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2)(2)结论结论: :角的平分线上的点到角的角的平分线上的点到角的两边的距离相等两边的距离相等. .已知：如图，已知：如图，OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC

6、上，上，PDOA，PEOB，垂足分别是，垂足分别是D，E。求证：求证：PD=PE证明：证明： PDOA，PEOB（已知）（已知）PDO=PEO=90（垂直的定义）（垂直的定义）在在PDO和和PEO中中 PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） PDO= PEO AOC= BOC OP=OP PDO PEO（AAS）角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。DP PEAOBC证明几何命题的一般步骤：1、明确命题的已知和求证2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。角平分

7、线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？说一说AOBPED用符号语言表示为：用符号语言表示为： 1= 2 1= 2 PD OA PD OA ，PE OBPE OBPD=PEPD=PE( (角角的的平分线上的点到角的两边平分线上的点到角的两边的距离相等的距离相等) ) 1、如图，、如图， AD平分平分BAC（已知）（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（） 2、如图，、如图， DCAC，DBAB （已知）（已知）

8、 = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（）3、 AD平分平分BAC, DCAC，DBAB （已（已知）知） = ，（ ） DBDC在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。ADCB4、如图，、如图， OC是是AOB的平分线，的平分线， 又又 _PD=PE ( )PDOA，PEOBBOACDPE 角的平分线上的点角的平分线上的点 到角的两边的距离相等到角的两边的距离相等w已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.w

9、求证:EB=FC. BAEDCF证明： DEAB,DFAC BED=CFD=90 AD平分BAC， DE=DF【角平分线上的点到两边的距离相等角平分线上的点到两边的距离相等】又 在RtBDE和RtCDF中 BD=CD DE=DFRtBDE RtCDF（HL）EB =FC到角的两边的距离相等的点到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。在角的平分线上。 QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上利用三角形全等，我们可以得到：利用三角形全等，我们可以得到：1、如图, ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等ABCPMNDEF证明：过点证明：过点P作作P

10、DAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F BM为为ABC的角平分线PD=PE同理同理,PE=PF. PDPE=PF即点即点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等你能得出什么结论？你能得出什么结论？如图，的如图，的的外角的平分线与的外角的平分线与的外角的平分线相交于点的外角的平分线相交于点求证：点到三边，所在直线求证：点到三边，所在直线的距离相等的距离相等F FGH更上一层楼！更上一层楼！思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺米，应建在何处？（比例

11、尺 1：20 000）公路铁路回味无穷回味无穷w 定理（文字语言）定理（文字语言）: : 角平分线上的点角平分线上的点到这个角的两边的距离相等到这个角的两边的距离相等. .w 符号语言：符号语言：w 1 12 PDOA,PEOB(2 PDOA,PEOB(已知）已知） PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角的角平分线上的点到这个角的两边距离相等两边距离相等).).w 用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线. .OCB1A2PDE，1 1、在、在RtRtABCABC中，中，BDBD是角平分线，是角平分线，DEABDEAB，垂足为垂足为E E，DEDE与与DCDC相等吗？为什么？相等吗？为什么？ ABCDE 2 2、如图、如图,OC,OC是是AOBAOB的平分线的平分线, ,点点P P在在OCOC上上,PD ,PD OA,PEOB,OA,PEOB,垂足分别是垂足分别是DD、E,PD=4cm,E,PD=4cm,则则PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC知识应用知识应用4cm1 . 1 . 如图，如图，DEABDEAB，DFBCDFBC，垂足，垂足分别是分别是E E，F F， DE