第二节微积分基本公式ppt课件

1、第五章第五章 定积分定积分第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式引引 言言积分学要解决两个问题积分学要解决两个问题:第一个问题是原函数的求第一个问题是原函数的求法问题法问题,我们在第我们在第4章已经对它做了讨论章已经对它做了讨论;第二个问第二个问题就是定积分的计算问题题就是定积分的计算问题.如果我们要按定积分的如果我们要按定积分的定义来计算定积分定义来计算定积分,那将是十分困难的那将是十分困难的.因而因而,一种计算定积分的有效方法一种计算定积分的有效方法键键.我们知道我们知道,不定积分作为原函数的概念与定积分不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念作为积分和的极限的概念寻求寻

2、求但是但是,牛顿和莱布尼茨不仅发现而且找到了这两个牛顿和莱布尼茨不仅发现而且找到了这两个概念之间存在着的深刻的内在联系概念之间存在着的深刻的内在联系, 即所谓的微即所谓的微便成为积分学发展的关便成为积分学发展的关是完全不相干的两个概念是完全不相干的两个概念.引引 言言但是但是,牛顿和莱布尼茨不仅发现而且找到了这两个牛顿和莱布尼茨不仅发现而且找到了这两个概念之间存在着的深刻的内在联系概念之间存在着的深刻的内在联系, 即所谓的微即所谓的微并由此巧妙地开辟了求定积分的并由此巧妙地开辟了求定积分的- 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式.微分学一起构成变量数学的基础学科微分学一起构成变量数学的基础学科学

3、学. 牛顿和莱布尼茨也因此作为微积分学的奠基牛顿和莱布尼茨也因此作为微积分学的奠基人而载入史册人而载入史册.积分基本定理积分基本定理”,新途径新途径从而使积分学与从而使积分学与-微积分微积分考察变速直线运动中位置函数与速度函数的联系考察变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(TTdttv另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs 问题的提出问题的提出Introduction)Introduction)(1) ).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 即即说明由于位置函数是速度函数的原函数说明由于位置

4、函数是速度函数的原函数所以所以1 1式表示，速度函数的定积分就是其原函式表示，速度函数的定积分就是其原函数在区间上的增量数在区间上的增量积分上限函数积分上限函数定义定义 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上连续上连续,x为为,ba上的变量上的变量, 那么那么dttfxxa)()( 变上限定积分变上限定积分是为定义在区间是为定义在区间,ba上的函数上的函数, 称其为积分上限称其为积分上限函数函数.几何意义几何意义 :注注:dttfdxxfxaxa)()( 注意等式左边作为积分变量的注意等式左边作为积分变量的x与作为积分上限与作为积分上限x的区别的区别.积分上限函数的导数积分上限函数的导数设函

5、数设函数)(xf在区间在区间,ba上连续上连续, 定义积分上限定义积分上限函数函数,)()( xadttfx ,bax (1).( x 求求 xadttfdxdx)()( )(xf ).(bxa 补充补充).( )()()(xxfdttfdxdxa 讨论讨论 )()(?)(xbxadttfdxd).( )()( )()()()(xaxafxbxbfdttfdxdxbxa 例例1解解求求.cos02 xtdtdxd xtdtdxd02cos.cos2x 例例2解解求求.321 xtdtedxd 2323xex 623xex例例3解解设设)(xf是连续函数是连续函数, 试求以下各函数的导数试求以下

6、各函数的导数. xxtfdtexFsincos)(;)(1)(2) xdttxfxF0;)()(2)(1)(xF )(xF .sincos)(cos)(sinxexexfxf .)()(0 xdttfxxf例例4解解设函数设函数)(xfy 由方程由方程0sin0022 tdttdexyt所确定所确定. 求求.dxdy在方程两边同时对在方程两边同时对求导求导:x.2sin4yyexdxdy 例例5解解.lim21cos02xdtextx 求求分析分析: 这是这是00型未定式型未定式, 应用洛必达法则应用洛必达法则.21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e

7、例例6证证在在设设)(xf),( 内连续内连续, 且且. 0)( xf函数函数 xxdttfdtttfxF00)()()(在在), 0(内为单调增加函数内为单调增加函数.证明证明)(xF ,)()()()(200 xxdttfdttftxxf).0(0)( xxF故故在在), 0(内为单调增加函数内为单调增加函数.)(xF原函数存在定理原函数存在定理定理定理 假如假如)(xf在在,ba上连续上连续, 则积分上限的函数则积分上限的函数 xadttfx)()( 就是就是)(xf在在,ba上的一个原函数上的一个原函数.重要意义重要意义:(1)(2)联络联络.肯定了连续函数的原函数是存在的肯定了连续函

8、数的原函数是存在的;初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式定理定理假设假设)(xF是连续函数是连续函数)(xf在区间在区间,ba上的一个原函数上的一个原函数, 那么那么 baaFbFdxxf).()()(牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式注注:根据上节的补充规定可知根据上节的补充规定可知,当当ba 时时, 该公该公式仍成立式仍成立.牛顿莱布尼茨公式又称为微积分牛顿莱布尼茨公式又称为微积分基本公式基本公式,它表明它表明:一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于它的任意一个原函数

9、在区间上的定积分等于它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量,求定积分的问题就转化为求原求定积分的问题就转化为求原函数的问题函数的问题.babaxFdxxf| )()( )()(aFbF 例例7解解求求.102dxx dxx 102.31 1033x 例例8 求求.112 dxx解解dxx 121. 2ln 12|ln x例例9解解求求.)(20dxxf 设设,21, 510,2)( xxxxf如图如图, 在在2 , 1 上规定上规定:Oxy212x y5 y, 5)( xf当当时时,1 x. 6 dxxfdxxf 2110)()(例例10解解计算计算.|12|10dxx 因为因为|12

10、| x 21, 1221,21xxxxdxx 10|12|.21 dxxdxx 12/12/11)12()21(例例11解解求定积分求定积分.cos13/2/2dxx dxx 3/2/|sin| dxxxdx 3/002/sinsin .23 例例12解解求求.,max222dxxx 由图形可知由图形可知)(xf 21,10,02,22xxxxxx,max2xx dxxx 222,max.211 例例13解解计算由曲线计算由曲线xysin , 0 x在在 x之间及之间及轴所围成的图形的面积轴所围成的图形的面积x.A如图如图, 根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义,所求面积所求面积A为为 0

11、sin dxxA. 2 例例14解解汽车以每小时汽车以每小时 36km 速度行驶速度行驶, 到某处需要到某处需要减速停车减速停车. 设汽车以等加速度设汽车以等加速度m/s25 刹车刹车.问从开始刹车到停车问从开始刹车到停车, 汽车驶过了多少距离汽车驶过了多少距离?设设360 vkm/hs.m/10 t avtv 0)(.510t 2020)510()(dttdttvs10 (m),例例15证证设函数设函数在闭区间在闭区间上连续上连续,)(xf,ba证明在证明在开区间开区间),(ba内至少存在一点内至少存在一点, 使使).)()()(baabfdxxfba ).()()(aFbFdxxfba )

12、,)()()(abFaFbF ),(ba ),)()(abfdxxfba ).,(ba 1. 设设)(xf在在,ba上连续，上连续， 那么那么dttfxa )(与与duufbx )(是是x的函数还是的函数还是t与与u的函数的函数? 它们的导数存在吗？它们的导数存在吗？如果存在等于什么如果存在等于什么 ？2. 用定积分定义和性质求极限用定积分定义和性质求极限.212111lim nnnn3. 计算定积分计算定积分.11022dxxx 课堂练习课堂练习内容小结内容小结1. 积分上限函数及其导数积分上限函数及其导数(1) 积分上限函数积分上限函数 xadttfx;)()(2) 积分上限函数的导数积分上限函数的导数).()(xfx 2. 牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式假设假设)(xF是是)(xf在在,ba上的一个原函数，上的一个原函数，即即),()(xfxF 那么那么.)()()()(babaxF