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1、;要设计一个容量为V的长方形开口水箱，试问长方形的长、宽、高各等于多少时，其表面积最小？为此，设水箱的长、宽、高分别为x,y,z，则表面积为S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy.依题意，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求xo,y0,z0）,而且还必须满足条件xyz=V.这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.;在条件组的限制下，求目标函数其拉格朗日函数是：)( ,2 ,1 ,0),(21nmmkxxxnk.的极值 ),(21nxxxfy),(2121mnxxxLmknkknxxxxxxf11121),( ),(.为拉格朗日常数 , 其中21m;如今，我们重新回去解决水箱问题。
2、这时所求的问题的拉格朗日函数是：Lx,y,z, ）=2(xz+yz)+xy+ (xyz-V)对L求偏导数, 并令它们都等于020202()00 xyzLzyyzLzxxzLxyxyLxyzV求方程组的解，解得此时，水箱的面积在约束条件下确实存在最小值33422 ,.2xyzVV 233 2SV;例：抛物面 被平面x+y+z=1 截成一个椭圆,求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离 . 解：设椭圆上一点的坐标为x,y,z），所求问题即转化为求在限制条件 与 下的极小值问题。 22xyz222, ,f x y zxyz( , , )10 x y zxyz 222221212( , , , , )()(1)Lx yzxyzxyzx y z ;解得由此可解决该问题.12121212
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