231~2离散型随机变量的均值、方差习题课

1、离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望与方差习题课习题课要点梳理要点梳理1.1.若离散型随机变量若离散型随机变量X X的分布列为的分布列为 X Xx x1 1x x2 2x xi ix xn nP Pp p1 1p p2 2p pi ip pn n(1)(1)均值均值 称称E E( (X X)=_ )=_ 为随机变量为随机变量X X的均的均值或值或_._.它反映了离散型随机变量取值的它反映了离散型随机变量取值的_._.x x1 1p p1 1+ +x x2 2p p2 2+x xi i p pi i+x xn n p pn n数学期望数学期望平均水平平均水平平均偏离程度平均偏离程度()

2、D X算数平方根2.离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差nniipEXxpEXxpEXxDX22121)()()( 其中其中_为随机变量为随机变量X的标准差的标准差.(2)方差方差称称D(X)= 为随机变量为随机变量X的方差的方差,它刻画了随机变量它刻画了随机变量X与其均值与其均值E(X)的的_注：方差是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它注：方差是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值于均值。XDX为标准差3.3.均值与方差的性质均值与方差的

3、性质 (1)(1)E E( (aXaX+ +b b)=_.)=_. (2) (2)D D( (aXaX+ +b b)=_.()=_.(a a, ,b b为常数为常数) )4.4.两点分布与二项分布的均值、方差两点分布与二项分布的均值、方差 (1)(1)若若X X服从两点分布服从两点分布, ,则则E E( (X X)=)=p p, ,D D( (X X)=_.)=_. (2) (2)若若XBXB( (n n, ,p p),),则则E E( (X X)=_,)=_,D D( (X X)=_. )=_. aEaE( (X X)+)+b ba a2 2D D( (X X) )p p(1-(1-p p)

4、 )npnp(1-(1-p p) )npnp【例例1 1】设随机变量设随机变量具有分布具有分布P P( (= =k k)= )= k k=1,2,3,4,5,=1,2,3,4,5,求求E E2 2, ,D D(2(2-1), -1), ,51. ) 1( D. 3515515514513512511)(E.11515514513512511)(22222E题型一、题型一、 均值与方差性质的应用均值与方差性质的应用解解 利用性质利用性质E(a+b)=aE()+b, D(a+b)=a2D(). .)()()()()()()(241014515135513451335132513122222 D.

5、2)() 1(DDD(2-1)=4D()=8, 2.2.从从4 4名男生和名男生和2 2名女生中任选名女生中任选3 3人参加演讲比赛人参加演讲比赛, ,设设随机变量随机变量X X表示所选表示所选3 3人中女生的人数人中女生的人数. .(1)(1)求求X X的分布列的分布列; ;(2)(2)求求X X的数学期望和方差的数学期望和方差; ;(3) (3) 求求“所选所选3 3人中女生人数人中女生人数X X1”的概率的概率.超几何分布超几何分布练练3.3.有一批产品有一批产品, ,其中有其中有1212件正品和件正品和4 4件次品件次品, ,从中任取从中任取 3 3件件, ,若若表示取到次品的个数表示

6、取到次品的个数, ,则则E E( ()=_.)=_. 43练练. .(2009(2009上海理，上海理，7)7)某学校要从某学校要从5 5名男生和名男生和2 2名女生名女生 中选出中选出2 2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数表示选出的志愿者中女生的人数, ,则数学期望则数学期望 E E( ()=_()=_(结果用最简分数表示结果用最简分数表示).).74题型三题型三 均值与方差的实际应用均值与方差的实际应用 (2)设设表示表示10万元投资乙项目的收益，则万元投资乙项目的收益，则的分布列为：的分布列为：22P练习练习5甲、乙、

7、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试公甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试公司规定面试合格者可签约甲、乙面试合格司规定面试合格者可签约甲、乙面试合格 就签约；丙、丁就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签约设每人面试合面试都合格则一同签约，否则两人都不签约设每人面试合格的概率都是格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响求：，且面试是否合格互不影响求： (1)至少有三人面试合格的概率；至少有三人面试合格的概率； (2)恰有两人签约的概率；恰有两人签约的概率； (3)签约人数的数学期望签约人数的数学期望解：解：(1)设设“至少有至少有3人面试合格人面试合格”为事件为事件A，则则P(A)(2)设设“恰有恰有2人签约人签约”为事件为事件B，“甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约”为事件为事件B1；“甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约”为事件为事件B2；则：则：BB1B2P(B)P(B1)P(B2)(3)设设X