第章高等数学ppt课件

1、1解释原函数、不定积分、定积分的概念2掌握不定积分的运算法则、熟悉基本积分公式、列出定积分的性质、概述微积分基本公式3说出计算不定积分的换元积分法和分部积分法、写出定积分换元积分公式及分部积分公式.能用这两个公式计算定积分。4能运用定积分理论解决实际问题5简述广义积分收敛与发散的概念 一、不定积分的概念一、不定积分的概念 1 1、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念 定义定义1 1如果在区间如果在区间I I上，可导函数上，可导函数F Fx x的导函数为的导函数为f(x)f(x)，即对任一，即对任一xIxI，都有都有=f(x) =f(x) 或或 dF(x)=f(x)dxdF(x)=f(

2、x)dx 那末函数那末函数F(x)F(x)就称为就称为 f(x) f(x) 在区间在区间I I上的一个原函数。上的一个原函数。一个函数的原函数不是惟一的。一个函数的原函数不是惟一的。 )(xF定义定义2 2 如果在区间如果在区间I I上函数是函数上函数是函数f(x)f(x)的一个原函数，的一个原函数，则称的全体原函数则称的全体原函数 为为 f(x) f(x) 在区间在区间I I上的不上的不定积分，记为定积分，记为其中记号其中记号 称为积分号，称为积分号，f(x)f(x)称为被积函数，称为被积函数，f(x)dxf(x)dx称称为被积表达式，为被积表达式，x x称为积分变量，任意常数称为积分变量，

3、任意常数 C C 称为积称为积分常数。分常数。由此定义及前面的说明可知，如果由此定义及前面的说明可知，如果F(x)F(x)是是f(x)f(x)在区间在区间I I上上的一个原函数，那么的一个原函数，那么F(x)+CF(x)+C就是就是f(x)f(x)的不定积分，即的不定积分，即 因而不定积分因而不定积分 可以表示可以表示f(x)f(x)的任意一个原函数。的任意一个原函数。 CxF)(dxxf)(CxFdxxf)()(dxxf)( 2不定积分的性质 )()(xfdxxfdxxfdxxfd)()(CxFdxxF)()(CxFxdF)()(二、不定积分的基本公式与运算法则二、不定积分的基本公式与运算法

4、则1 1不定积分的基本公式不定积分的基本公式 (k(k是常数是常数) ) ckxkdx （1） Cxdxx11Cxdxx|ln1Cxdxxarctan112Cxdxxarcsin112CxxdxsincosCxxdxcossinCxxdxdxxtanseccos122Cxxdxdxxcotcscsin122CxxdxxsectansecCxxdxxcsccotcscCedxexxCaadxaxxlnCchxshxdxCshxchxdx Cdx02不定积分的运算法则：（1）、两个函数代数和的不定积分等于各个函数不定积分的代数和，即 （2）、求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外

5、面来,即 ( k是常数,k0)dxxgdxxfdxxgxf)()()()(dxxfkdxxkf)()(一、换元积分法一、换元积分法 1 1两类换元法两类换元法 把复合函数的微分法反过来求不定积把复合函数的微分法反过来求不定积分分, ,利用中间变量的代换利用中间变量的代换, ,得到复合函数得到复合函数的积分法的积分法, ,称为换元积分法称为换元积分法, ,简称换元法简称换元法. .换元法通常分成两类换元法通常分成两类. .（1 1） 第一类换元法凑微分法）第一类换元法凑微分法） 定理定理1 1 设设f(u)f(u)具有原函数具有原函数 , u = (x), u = (x)可导可导, , 则有换元

6、公式则有换元公式CxGCuGduufdxxxfxu)()()()()()()(uG（2 2） 第二类换元法第二类换元法 定理定理2 2 设设 是单调的、可导的函数是单调的、可导的函数, , 并且并且 0. 0. 又设又设f f 具有原函数具有原函数 ，则有换元公式，则有换元公式其中其中 是是x= x= 的反函数的反函数. .第二类换元法应满足的条件：应当注意，使用第二换元第二类换元法应满足的条件：应当注意，使用第二换元法时，应满足以下条件：法时，应满足以下条件：（1 1） 可导，可导， 连续且连续且 ；（2 2） 存在反函数存在反函数 。 )(tx)(t)(t)(t)(tGCxGdtttfdx

7、xfxt)()()()(1)(1)(1xt)(t)(tx)(t0)( t)(tx)(1xt二、分部积分法二、分部积分法 设函数设函数u=u(x)u=u(x)及及v=v(x)v=v(x)具有连续的导数，具有连续的导数， vdxuuvdxuvvduuvudv三、有理函数积分简介三、有理函数积分简介 有理函数是指由两个多项式的商所有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具有如下形式的函数：表示的函数，即具有如下形式的函数： mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110.)()(一般的，有理真分式 的不定积分可按下列三个步骤进行： )()(xQxP（1将 在实数范围内分解为

8、一次因式 与二次因式 的乘积，其中 ， 为正整数。 )(xQkax)( lqpxx)(2042 qplk , （2根据 的分解结果，将所给有理分式拆成若干个部分分式之和这里所指部分分式是分母为一次或二次质因式的正整数次幂），具体做法是：若分母 中含有因式 ，则分解后含有下列k个部分分式之和： ；若分母 中含有因式 ，则分解后含有下列个部分分式之和： 其中上面两式中的 均为待定常数，可通过待定系数法求得。 )(xQ)(xQkax)( kkaxAaxAaxA)()()(221)(xQlqpxx)(2llllqpxxBxAqpxxBxAqpxxBxA)()(22222211iiBA , （3求出各部

9、分分式的原函数。 一、定积分的概念一、定积分的概念 1 1求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积具体步骤如下：具体步骤如下：(1) (1) 分割分割(2) (2) 近似代替近似代替 (3)(3)取极限取极限 iniixfS10)(lim2定积分的概念定积分的概念 badxxf)(iniixxf10)(lim其中 称为被积函数， 称为被积表达式， 为积分变量， 称为积分下限， 称为积分上限， 称为积分区间。 )(xfdxxf)(xab,ba 为了以后在计算上方便，作以下两点补充规定(1)定积分上下限互换时，定积分变号，即 (2) dxxfdxxfabba)()(0)(dxxfaa3定积分的几何意义定积

10、分的几何意义 定积分定积分 表示由曲线表示由曲线 ，直线，直线， 及及OX 轴所围图形各部分面积的代数轴所围图形各部分面积的代数和和 dxxfba)()(xfax bx 二、定积分的性质二、定积分的性质性质性质1 1 被积函数的常数因子可以提到积分被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即号外面，即 （为常数）（为常数） 性质性质2 2 两个可积函数代数和的积分等于两个可积函数代数和的积分等于各个函数积分的代数和，即各个函数积分的代数和，即 dxxfkdxxkfbaba)()(dxxgdxxfdxxgxfbababa)()()()(性质性质3 3 假如，那么假如，那么性质性质4 4 如果在区间如

11、果在区间 上，恒有上，恒有 ，那么，那么dxxfdxxfdxxfbccaba)()()(,ba1)(xfabdxba性质性质5 5 如果在区间如果在区间 上有上有 ，那么，那么特别地，特别地， ，则有，则有,ba)()(xgxfdxxgdxxfbaba)()(0)(xf0)(dxxfba性质性质6 6 如果函数如果函数 在区间在区间 上的最大值上的最大值为为 ，最小值为，最小值为 ，那么，那么 性质性质7 7 （积分中值定理）（积分中值定理） 如果函数如果函数 在区间在区间 上连续，那么在此区间上至少有一点上连续，那么在此区间上至少有一点 ，使得，使得 成立成立 )(xf,baMm)()()(

12、abMdxxfabmba)(xf,ba)()(abfdxxfba)(ba一、微积分基本公式定义 设函数 在 上连续，x为 上任意一点，则由 所定义的函数称为积分上限函数。 )(xfb , ab , axadttfx)()(定理定理1 1 如果函数如果函数 在区间在区间 上连续上连续, ,那么那么积分上限函数积分上限函数是函数是函数 在区间在区间 上的一个原函数上的一个原函数. .即即 )(xf,badttfxxa)()()(xf,ba)()(xfx 定理定理2 2 如果函数如果函数 是连续函数是连续函数 在区间在区间 上上的一个原函数，那么的一个原函数，那么 此公式叫做牛顿此公式叫做牛顿莱布尼

13、兹莱布尼兹NewtonNewtonLeibnizLeibniz公式公式 )(xF)(xf,ba)()()(aFbFdxxfba二、定积分的换元积分法二、定积分的换元积分法 定理定理3 3 设函数设函数 在区间在区间 上连续，上连续，令令 ，假如，假如 (1) (1) 在区间在区间 上是具有连续导数的单值上是具有连续导数的单值函数；函数；(2)(2)当当t t在区间在区间 上变化时，上变化时，x x 在区间在区间 上变上变化，且化，且 ，那么有换元积分，那么有换元积分公式公式 )(xf,ba)(tx)(t,baba)(,)(dtttfdxxfba)()()(三、定积分的分部积分法三、定积分的分部

14、积分法 定理定理4 4 设函数设函数 在区间在区间 上具上具有连续导数，那么有连续导数，那么)(),(xvvxuu,babababavduvuudv四、数值积分法四、数值积分法 所谓数值积分法就是利用被积函数在一些所谓数值积分法就是利用被积函数在一些点的函数值来近似计算定积分的方法。数值积点的函数值来近似计算定积分的方法。数值积分法有两种。分法有两种。1 1梯形法梯形法 2 2抛物线法抛物线法 一、定积分的元素法 在定积分的定义中，我们先把整体量进行分割，然后在局部范围内“以直代曲”，求出整体量在局部范围内的近似值；再把所有这些近似值加起来，得到整体量的近似值，最后当分割无限加密时取极限得定积

15、分即整体量）。 二、平面图形的面积二、平面图形的面积 badxxgxfA)()(三、旋转体的体积三、旋转体的体积由曲线由曲线 和直线和直线 及及x轴围成的曲边梯轴围成的曲边梯形绕形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积轴旋转一周而成的旋转体的体积V )(xfy bxax ，badxxfV2)(四、四、 医学上的应用医学上的应用 1.1.基础代谢基础代谢 2.2.药物的有效度药物的有效度 五、物理上的应用五、物理上的应用 1功功 2液体的静压力液体的静压力 六、平均值六、平均值连续函数连续函数 在区间在区间a,b上的平均值上的平均值,等于等于函数函数f(x)在区间在区间a,b上的定积分除以区间上的定积

16、分除以区间a,b的长度的长度b-a,即即 )(xfy badxxfaby)(1一、 广义积分的概念 定义1设函数f(x)在区间a , + 上连续，取ba，若极限 存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间a , + 上的广义积分，记作 ，即= 这时也称广义积分 收敛；若上述极限不存在， 称为广义积分发散。 dxxfbab)(limdxxfa)(dxxfa)(dxxfbab)(limdxxfa)(dxxfa)(二、二、 无界函数的广义积分无界函数的广义积分定义定义2 2设函数设函数f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)上连续，而在上连续，而在点点a a的右邻域内无界，取的右邻域内无界，取 ，如果

17、极，如果极限限 存在，则称此极限为函存在，则称此极限为函数数f(x)f(x)在在(a,b(a,b上的广义积分，仍然记作上的广义积分，仍然记作，这时也称广义积分，这时也称广义积分 收敛，否则收敛，否则就称广义积分发散。其中就称广义积分发散。其中a a称为瑕点，此称为瑕点，此积分也称为瑕积分。积分也称为瑕积分。 0dxxfba)(lim0dxxfba)(dxxfba)(1频率 我们研究随机现象，不仅需要分析它在一定条件下可能发生哪些事件，更重要的是进一步分析各种事件发生的可能性的大小，揭示发生这些事件的内在规律，即统计规律性，为我们的日常生活和工作实际服务。定义1 若在重复n次试验中，随机事件A发

18、生nA次，我们把比率 叫做事件A 的频率。记作fnA）。即 nnAnnAfAn)( 医药工作中通常说的发病率、病死率、出生率、有效率、治愈率等都是频率。 显然，频率具有三个性质：对任一事件A，有0 1；必然事件的频率总等于1，记 =1；不可能事件的频率总等于0，记 =0。 )(Afn)(nf)(nf2概率 定义2 在同一组条件下所作的大量重复试验中，如果事件A发生的频率总是在一个确定的常数p附近摆动，并且逐渐稳定于p，那么数p就表示事件发生的可能性大小，并称它为事件A的概率，记作 PA），即 pAP)(例3 用某种药物对患有流感的600个病人进行治病，结果538人有明显疗效，现有某流感病人欲服

19、此药，你对其效果作何估计？ 因为有明显疗效的频率是 ，我们近似地把它看成概率，所以，某流感病人若服此药其明显疗效约有89.7%的可能性。 %7 .896005383概率的性质性质1 事件的概率满足 0PA）1性质2 必然事件 的概率是1，即P（ ）=1；性质3 不可能事件 的概率是0，即P（ ）=0 定义 在古典概型中，如果基本事件的总数为n，事件A包含有其中的m个基本事件,称 为事件A的概率，记为PA） nmnm 这个定义只适用于古典概型，所以称为概率的古典定义，定义本身给出了概率的求法，但 n 和 m 的计算要用到排列和组合的知识。例 一个笼子内有小白鼠5只，灰鼠3只，现要从中任取2只去做

20、实验，求恰好取到1只白鼠，1只灰鼠的概率。解 假设每只鼠被取到的可能性都是相等的，那么现从8只鼠中任取2只，共有 种等可能的结果。设任取2只，恰好取到1只白鼠，1只灰鼠为事件A，那么事件A包含的基本事件共有 种。 所以事件A的概率PA） 0.54 C28CC1315CCC2813152815一、事件的并及互不相容事件1事件的并 定义1 在一次试验中事件A与事件B至少有一个发生所构成的事件称为事件A与事件B的并或和），记作AB或AB。2互不相容事件也叫互斥事件） 定义2 在一次试验中，若事件A、B不能同时发生，则称A、B为互不相容事件。 为容易理解，我们用图72来表示互不相容性，若A、B为互不相

21、容事件，则事件A、B没有相同的基本事件，在图中表现为事件A，B没有公共部分 一般地，在一次试验中，如果n个事件A1，A2，An的任何两个事件都不能同时发生，则称事件A1，A2，An为两两互不相容事件。 图 7-2 二、互不相容事件的概率的加法公式 一般地，如果事件A1，A2，两两互不相容，则有P（ ）PA1）PA2）PAn） 上述两个公式称为互不相容事件的概率加法公式。 niiA1例 一个口袋中有红球4只，白球7只，黑球6只，黄球5只，从中任取一只，求取出的一只是红球或白球的概率。解 设任意取出一只球是红球为事件A，任意取出一只是白球为事件B，则AB表示取出的一只是红球或白球的事件。口袋中共有

22、球476522只，而红球为4只，白球为7只，所以PA） PB）根据题意，事件A、B为互不相容事件，因而PAB）PA）PB） ,22422722422721定义3 在一次试验中，如果A、B互不相容，且AB，则称A、B为互逆事件简称A，B互逆事件A的逆事件记作 （也可记B ，或A ）。 逆事件概率的计算公式 P（ ）1PA） AABA一、事件的交 定义1 在一次试验中事件A与事件B同时发生所构成的事件称为事件A与事件B的交或积） 记作AB （或AB），有时也简记为AB。 二、条件概率与概率乘法公式二、条件概率与概率乘法公式 在实际问题中，除了要计算在实际问题中，除了要计算A A的概率的概率P PA A外，有时还需要计算在外，有时还需要计算在“事件事件B B已已发生的条件下，事件发生的条件下，事件A A发生的概率，这发生的概率，这时用记号时用记号P PA|BA|B表示，由于增加了新表示，由于增加了新的条件：的条件：“事件事件B B已发生已发生”，所以称，所以称P PA|BA|B为条件概率。为条件概率。 概率的乘法公式概率的乘法公式 P PABAB）=P=PA AP PB|AB|A）=P=PB BP PA|BA|B） 三、事件的独立性三、事件的独立性定义定义2 2 设事件设事件A A、