2017年数学中考考点专题讲解(动点问题)

1、1 1数学中考考点讲解动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射 线或弧线上运动的一类开放性题目解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用 有关数学知识解决问题.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系那么,我们怎样建立这种函数解析式呢？下面结合中考试题举例分析一、应用勾股定理建立函数解析式例 1 )如图 1,在半径

2、为 6,圆心角为 90的扇形 OAB 的弧 AB 上，有一个动点 P,PH 丄 0A,垂足为 H, OPH 的重心为 G.当点 P 在弧 AB 上运动时，线段 GO GP GH 中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设 PH 二x,GP 二y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域(3)如果 PGH 是等腰三角形，试求出线段 PH 的长.解:(1)当点 P 在弧 AB 上运动时，0P 保持不变，于是线段 GO GR GH22 1中，有长度保持不变的线段，这条线段是GH=-NH=2- OP=2.33 2(2)在 Rt POH 中，OH二OP2 PH2=

3、；36x2,11 -MH OH36 -x2.22在 Rt MPH 中 ,MP = . PH2MH2 x29 -1x2=1、36 3x2V42二y=GP=2MP=33x2(0 x6).33(3) PGH 是等腰三角形有三种可能情况：1GP=PH 时,-J36 *3x$ = x,解得 x =.经检验，x =J6是原方程的根，且符合题意32GP=GH 时,.36 3x2=2,解得x =0.经检验，X二0是原方程的根，但不符合题意(即自变量x的取值范围).图 12 233 3数解析式还成立？试说明理由.解:在厶 ABC 中,/ AB=AC,ZBAC=30 ,ZABC 玄 ACB=75 ,/-ZABDZ

4、ACE=105vZBAC=30 ,ZDAE=105 又ZDAB+ZADB=Z ABC=75 ZDAB+ZCAE=75 ZCAE 玄 ADB,ADBAEAC,AB BDCE AC1/ y.X(2)由于ZDAB+ZCAE=,又ZDAB+ZADB* ABC=90 - -,且函数关系式成立2* n住 卜卜/ 90=： -，整理得90.2 2ad1当90时,函数解析式y成立.2x例 4 如图，在厶 ABC 中，ZBAC=90 ,AB=AC=2 2,OA 的半径为1.若点 O 在 BC 边上运动(与点 B、C不重合),设 BO=x, AOC 的面积为y.(1) 求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域.

5、(2) 以点 O 为圆心,BO 长为半径作圆 O,求当OO 与OA 相切时，AOC 勺面积.解:(1)过点 A 作 AHI BC,垂足为 H.vZBAC=90 ,AB=AC=2、2,BC=4,AH=!BC=2.OC=4-x.21v SAOCOC AH, /y = x 4( 0：x：4).当OO 与OA 外切时，在 Rt AOH 中 ,OA=x 1,OH=2-X,(X 1)2=22(2 - X)2.解得717此时，AOC 勺面积y=4丄=厘6 6当OO 与OA 内切时,在 Rt AOH 中 ,OA=x -1,OH=x -2,(X -1)2=22(x -2)2.解得PH=GH 寸,x = 2.综上

6、所述,如果 PGH 是等腰三角形,那么线段 PH 的长为,6 或 2.、应用比例式建立函数解析式例 2 如图 2,在厶 ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动.设 BD=X,CE=y.(1)如果/ BAC=30，/ DAE=105 ,试确定y与x之间的函数解析式；(2)如果/ BAC 的度数为:-,ZDAE 的度数为一：，当:-,满足怎样的关系式时,(1)中y与X之间的函图 2图 834 420（3）当以边AC为直径的OO与线段DE相切时，BE二一071此时，AOC 勺面积y=4.2 2171综上所述,当OO 与OA 相切时,AOC 的面积为或.专题二：动态几何型压轴题动

7、态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系; 分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是 中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯 形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键 给以点拨。一、以动态几何为主线的压轴题（一）点动问题.(1)(2)1 （0909 年徐汇区）如图，ABC中，AB=AC=10,BC=12，点D在边BC上，且BD = 4, 以点D为顶点作EDF二/B，分别交边AB于点E，交射线CA于点当A

8、E =6时，求AF的长；当以点C为圆心CF长为半径的OC和以点A为圆心AE长为半径的O求BE的长；当以边AC为直径的OO与线段DE相切时，求BE的长.A相切时,（3） 题型背景和区分度测量点本题改编自新教材九上 相似形24.5（4）例六，典型的一 线三角（三等角）问题，试题在原题的基础上改编出第一小题 当 E 点在 AB 边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系（相切问题）的存在性的研究形成了第二小题，加入直线与圆的位置 关系（相切问题）的存在性的研究形成了第三小题区分度测 量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，从而利用方程思想来求解.区分度性小题处理手法1 直线与圆的相切的存在性的处理方法：

9、利用d=r 建立方程.2.圆与圆的位置关系的存在性（相切问题）的处理方法：利用 d=R r（R r）建立方程.3解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段.略解CFCD解：(1)证明CDFs.EBD ，代入数据得CF=8 ,二 AF=2BD BE32(2)设 BE=x,则d = AC =10, AE =10 -x,利用(1)的方法CF二一,x相切时分外切和内切两种情况考虑:外切，10 = 10 - x聖,x = 4、2；x内切,10= 10-xx =10 _2 170：x 10当OC和OA相切时,BE的长为4、2或10-2 J75 5本题以矩形为背景，结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到.

10、 一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线 AB 边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆 的位置关系（相切问题）的存在性的研究形成了区分度测量点二.区分度性小题处理手法-找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，图形用割补法.2直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程.3解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段.略解(1)TA是矩形ABCD勺对称中心二AB=AA= -AC2 AB= AB, A吐3二AC= 6 BC =3.3类题 一个动点：09 杨浦 25 题（四月、五月）、09 静安 25 题、两个动点：09 闸北 25 题

11、、09 松江 25 题、09 卢湾 25 题、09 青浦 25 题.（二）线动问题在矩形 ABCD 中，AB = 3，点 O 在对角线 AC 上，直线 I 过点 O，且与 AC 垂直交 AD 于点 E.（1）若直 线 I 过点 B，把厶 ABE 沿直线 I 翻折，点 A 与矩形1若直线 l 与 AB 相交于点 F，且 AO = - AC，设4形 BCDEF 的面积为 S求 S 关于x的函数关系式，围；ABCD 的对称中心 A /AD 的长为X，五边并指出 x 的取值范3探索：是否存在这样的x，以 A 为圆心，以X-长为半径的圆与4直线 I 相切，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由.题型

12、背景和区分度测量点重合，求 BC 的长;AC二x29，AO= jx2+9，4AF(x29)，12x29AE二二4x-S.AEF=2AEAF_(x29)2-96x，S=3x一必型96x42Sx 270 xT(3：X：33)96x若圆A与直线l相切，则x- =丄寸 x2+ 9， x144不存在这样的 x，使圆A与直线l相切.类题09 虹口 25 题.（三）面动问题=0（舍去）, X2如图，在ABC中，AB二AC =5,BC =6,D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE/BC，以DE为边，在点A的6 67 7异侧作正方形DEFG.(1)试求ABC的面积；(2)当边FG与

13、BC重合时，求正方形DEFG的边长；(3)设AD =x,ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于 x 的函数关系式，并写出定义域；(4)当BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长.题型背景和区分度测量点例七,典型的共角相似三角形问题，试题为了形成坡度， 在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第 一小题，当 D 点在 AB 边上运动时，正方形DEFG整体动起来，GF 边落在 BC 边上时，恰好和教材中的 例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段 AD 的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一

14、，用 等腰三角形的存在性来设置区分测量点二.区分度性小题处理手法图3-51 找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图3-1、3-2 重叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况.2正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5 用方程思想解决.3解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段.略解解：(1)SABC=12.(2)令此时正方形的边长为a，则-=匕？，解得a=12.645(3)当0 x_2时，y=x=36x2, 祐丿256 424242当2x5时，y x 5 -xx x.5 5525AD125 2573 112078 8类题改编自 09 奉贤 3 月考 25 题

15、，将条件(2) “当点 M、N 分别在边 BA、CA 上时”，去掉，同时加到第(3)题中.已知：在 ABC 中，AB=AC,ZB=30o, BC=6，点 D 在边 BC上，点 E 在线段 DC 上，DE=3, DEF 是等边三角形，边DF、EF 与边 BA、CA 分别相交于点 M、N.FNMDE9 9(1) 求证：BDM sCEN;(2)设 BD=x, ABC与厶DEF 重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域.(3)当点 M、N 分别在边 BA、CA 上时，是否存在点 D ,使以 M 为圆心,BM 为半径的圆与直线 EF 相切,如果存在，请求出 x 的值；如不存在，请说明理由

16、.例 1:已知OO 的弦 AB 的长等于OO 的半径，点 C 在OO 上变化(不与 A、B)重合，求/ ACB 的 大小分析：点 C 的变化是否影响/ ACB 的大小的变化呢？我们不妨将点 C 改变一下，如何变化呢？可能在 优弧 AB上，也可能在劣弧 AB 上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C 在优弧 AB 上变化时，/ ACB 所对的弧是劣弧 AB，它的大小为劣弧 AB 的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结A0、B0,则由于 AB=OA=OB，即三角形 ABC 为等边三角形，则/AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：/ ACB=2/ AOB=300 ,当点 C

17、在劣弧 AB 上变化时，/ ACB 所对的弧是优弧 AB，它的大小为优弧 AB 的一半，由/AOB=600 得，优弧 AB 的度数为 3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与 圆周角的关系得出：/ACB=1500 ,因此，本题的答案有两个，分别为300 或 1500.反思：本题通过点 C 在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。从 而需要分类讨论。这样由点 C 的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常 出现。变式1:已知 ABC 是半径为 2 的圆内接三角形，若AB 二2：3，求/C的 大小.本题与例 1 的区别只是 AB 与圆的半径的关系发生了一些变化，其解题方法与上sin1 A

18、O2A 3 丄AOB=60。面一致，在三角形AOB 中，2OB2,则2，AOB =120-C = 60当点 C 在劣弧 AB 上变化时，/ C 所对的弧是优弧 AB，它的大小为优 弧 AB 的一半，由/ AOB=1200 得，优弧 AB 的度数为 3600-1200=2400 ,则 由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：/ C=1200 ,因此C = 600或/ C=1200.变式2:如图,半经为 1 的半圆 O 上有两个动点 A、B,若 AB=1 , 判断/ AOB 的大小是否会随点 A、B 的变化而变化，若变化，求出变化范 围，若不变化，求出它的值。四边形 ABCD 的面积的最大值。解：(

19、1)由于 AB=OA=OB，所以三角形 AOB 为等边三角形，则/从而当点C 在优弧 AB 上变化时，/C 所对的弧是劣弧AB，它的大小为劣弧AB 的一半，即BACOOAEA1010AOB=600，即/ AOB 的大小不会随点 A、B 的变化而变化。,3(2)四边形 ABCD 的面积由三个三角形组成，其中三角形AOB 的面积为4，而三角111OD AF OC BG (AF BG)形 AOD 与三角形 BOC 的面积之和为222，又由梯形1(AF+BG )=EH的中位线定理得三角形 AOD 与三角形 BOC 的面积之和2，要四边形ABCD 的面积最大，只需 EH 最大，显然 EH OE=2，当

20、AB / CD 时，EH=OE，因此3.33.3四边形 ABCD 的面积最大值为4+2=4对于本题同学们还可以继续思考：四边形 ABCD 的周长的变化范围.变式3：如图,有一块半圆形的木板，现要把它截成三角形板块三角形的 两个顶点分别为 A、 B， 另一个顶点 C 在半圆上， 问怎样截取才能使截出的三角形 的面积最大？要求说明理由(广州市2000 年考题)分析：要使三角形 ABC 的面积最大，而三角形 ABC 的底边 AB 为 圆的直径为常量，只需 AB 边上的高最大即可。过点 C 作 CD 丄 AB 于点 D，连结 CO,由于 CD CO,当 O 与 D 重合，CD=CO，因此，当 CO 与

21、 AB 垂直时， 即 C 为半圆弧的中点时，其三角形 ABC 的面积最大。本题也可以先猜想，点 C 为半圆弧的中点时，三角形 ABC 的面积最大， 故只需另选一个位置 C1 (不与 C 重合)，证明三角形 ABC 的面积大于 三角形 ABC1 的面积即可。如图XC1O=三角形 ABC 的面积,因此，对于除点 C 外的任意点 C1,都有三角形 ABC1 的面积小于三角形三角形ABC 的面积,故点 C 为半圆中点时，三角形 ABC 面积最大.本题还可研究三角形 ABC 的周长何时最大的问题。提示： 利用周长与面积之间的关系。 要三角形 ABC 的周长最大， AB 为常 数， 只需 AC+BC最大，

22、而(AC+BC ) 2=AC2+CB2+2ACXBC=AB2+4X ABC 的面积，因此 ABC的面积最大时，AC+BC 最大，从而 ABC 的周 长最大。显然三角形ABC1 的面积=2ABXC1D，而 C1D C1O=CO,贝 U 三角形ABC1 的面积=2ABXC1DAD+DB(B)AC+CBAD+DB(D) AC+CB 与 AD+DB 的大小关系不确定例 4 ）在OO 中，C 为弧 AB 的中点，D 为弧 AC 上任一点（与 A、C 不重合），则分析：本题可以通过动手操作一下，度量 AC、CB、AD、DB 的长度，可以尝试换几个位置量一量， 得出结论（C）例 5:如图，过两同心圆的小圆上

23、任一点C 分别作小圆的直径 CA 和非直径的弦 CD，延长 CA 和CD 与大圆分别交于点 B、E,则下列结论中正确的是（*）（A）DE二AB（B）DE AB（C）DE: AB（D）DE,AB的大小不确定分析：本题可以通过度量的方法进行，选（B）本题也可以可以证明得出结论，连结DO、EO,则在三角形 OED中，由于两边之差小于第三边，则OE ODDE,即 0B OA BM,只有在 B、N、M 三点共线时， BN+NM=BMB BO OD D因此 DN+MN 的最小值为 BM=BC2CM2=5本题通过建立平面上三个点中构成的三角形中的两边之和大于第三边 及共线时的两边之和等于第三边的特殊情况求最

24、小值，最后通过勾股定 理计算得出结论。例 7:如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边 BC=4，OA BC 于 0,点 E 和点 F 分别在边 AB、AC 上滑动并保持 AE=CF,但点 F 不与 A、C 重合，点 E 不与 B、A 重合。 判断四边形 AEOF 的面积是否随点 E、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它 的值AEF 的面积是否随着点 E、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。 （即例 3的第 2、第 3 问）分析：（2）本题的方法很多，其一，可以建立四边形AEOF 与AE 长的函数关系式，如设 AE=x，则 AF=22- X ,2、2而三

25、角形 AOB 的面积与三角形 AOE 的面积之比=X，而1汉OB汽OA = 2三角形 AOB 的面积=2，则三角形 AOE 的面积x2、2 - x=2，同理三角形 AOF 的面积=-2Cx(2?X)=22;即AEOF 的面积不会随点 E、F 的变化而变化，是 当然，本题也可以这样思考，由于三角形 三角形 AOC 的面积相等，而 AOC 的面积为 2,因此 一个定值，且为 2.本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系，因此四边形 AEOF 的面积= 个定值，且为2.与三角形 COF 全等，则四边形 AEOF 的面积与AEOF 的面积不会随点 E、F 的变化而变化，是AOE，然后通过简单的计算得出

26、结论的方法应用比较14141515广泛.1X(2J2 x)=第问也可以通过建立函数关系求得,=AEF 的面积=2X 的变化范围为 :X :2,由二次函数知识得.: AEF 的面积的范围为：0- AEF 的面积-本题也可以根据三角形AEF 与三角形 OEF 的面积关系确定:AEF 的面积范围：不难证明AEF 的面积WOEF 的面积，它们公用边 EF,取腰直角三角形，则 OH 丄 EF，作 AG 丄 EF,显然 AG W AH=AGOEF 的面积，而它们的和为 2，因此”：:AEF 的面积乞1.本题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多问题研究：比如，比较线段 EF 与 AO 长度大小等(可以通过 A

27、、E、0、 多结论)例&如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm , BC=6cm，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 2 厘米/秒的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1 厘米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用 t 秒 表示移动的时间(WtW6)，那么：(1 )当 t 为何值时，三角形 QAP 为等腰三角形？(2) 求四边形 QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论；(3)当 t 为何值时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与 ABC 相 似？分析：(1 )当三角形 QAP 为等腰三角形时，由于/ A 为直角，只能是 AQ=AP，建立等量关系,2t

28、=6 -t，即t = 2时，三角形 QAP 为等腰三角形；(2)四边形 QAPC 的面积=ABCD 的面积一三角形 QDC 的面积一三角形 PBC 的面积1 112 612 X (12-2x) 6=22=36，即当 P、Q 运动时，四边形 QAPC 的面积不变。(3) 显然有两种情况： PAQ ABC， QAP ABC，2x 12 2x _6_由相似关系得6_x6或6_x12，解之得X= 3或x =J2建立关系求解，包含的内容多，可以是函数关系，可以是方程组或不等式等，通过解方程、或函数的最大值最小值，自变量的取值范围等方面来解决问题；也可以是通过一些几何上的关系，描述图形的特征，如全等、相似

29、、共圆等方面的知识求解。 作为训练同学们可以综合上述方法求解：本大类习题的共性:1 代数、几何的高度综合(数形结合)；着力于数学本质及核心内容的考查 分类讨论、方程、函数.2 以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值.专题三：双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题它主要以几何图形为载体，运动变化为主线,集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的EF 的中点 H，显然由于 厶 OEF 为等EF(=2)，所以厶 AEF 的面积WF 四点在以 EF 为直径的圆上得出很;四大数学思想：数学结合、1616

30、实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏1 以双动点为载体，探求函数图象问题例 1 (2009 年杭州市)在直角梯形 ABCD 中，/ C=90，高 CD=6cm(如图 1).动点 P, Q 同时从点 B 出发，点 P沿 BA , AD , DC 运动到点 C 停止，点 Q 沿 BC 运动到点 C 停止，两点运动时的速度都是 1cm/s. 而当点 P 到达点 A时，点 Q 正好到达点 C.设 P, Q 同时从点 B 出发，经过的时间为 t(s)时， BPQ 的 面积为 y(cm)2(如图

31、2).分别以 t,y 为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点 P 在 AD 边上从 A 到 D 运动 时，y 与 t 的函数图象是图 3 中的线段 MN.(1) 分别求出梯形中 BA , AD 的长度；(2) 写出图 3 中 M , N 两点的坐标；(3) 分别写出点 P 在 BA 边上和 DC 边上运动时，y 与 t 的函数关系式(注明自变量的取值范围)，并在 图 3 中补全整个运动中 y 关于 x 的函数关系的大致图象评析本题将点的运动过程中形成的函数解析式与其相应的函数图象有机的结合在一起，二者相辅 相成，给人以清新、淡雅之感本题彰显数形结合、分类讨论、函数建模与参数思想在解题过程中的灵活

32、运用解决本题的关键是从函数图象中确定线段AB、梯形的高与 t 的函数关系式，建立起 y 与 t 的函数关系式，进而根据函数关系式补充函数图象2 以双动点为载体，探求结论开放性问题例 2 如图 5, Rt ABC 中，/ B=90，/ CAB=30 它的顶点 A 的坐标为(10 , 0)，顶点 B 的坐标为(5 , 53), AB=10，点 P 从点 A 出发，沿 ATBC的方向匀速运动，同时点 Q 从点 D(0 , 2)出发，沿 y 轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点 C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒(1) 求/ BAO 的度数.(2) 当点 P 在 AB 上运动时， OPQ

33、 的面积 S(平方单位)与时间 t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部 分，(如图 6)，求点 P 的运动速度(3) 求(2)中面积 S 与时间 t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点 P 的坐标如果点 P , Q 保持中的速度不变，那么点 P 沿 AB 边运动时，/ OPQ 的大小随着时间 t 的增大 而增大；沿着 BC 边运动时，/ OPQ 的大小随着时间 t 的增大而减小，当点 P 沿这两边运动时，使/ OPQ=90 的点 P 有几个？请说明理由解(1) / BAO=60 (2)点 P 的运动速度为 2 个单位/秒 评析 本题是以双点运动构建的集函数、开放、最值问题于一体的综合题区分度

34、，是一道具有很好的选拔功能的好题解决本题的关键是从图象中获取与 t 的函数关系式，利用函数的性质解得问题(3).本题的难点是题(4)，考生要从题目的信息中确定建立以B 为直角顶点的三角形，以B 为临界点进行分类讨论，进而确定点的个数问题3 以双动点为载体，探求存在性问题例 3 如图 8，矩形 ABCD 中，AD=3 厘米，AB=a 厘米(a3).动点 M, N 同时从 B 点出发，分别沿 BTA, BTC运动，速度是 1 厘米/秒过 M 作直线垂直于 AB，分别交 AN , CD 于 P, Q.当点 N 到达终 点 C 时，点 M 也随之停止运动设运动时间为 t 秒(1) 若 a=4 厘米，t

35、=1 秒，贝 U PM=厘米；(2) 若 a=5 厘米，求时间使厶 PNB PAD，并求出它们的相似比；(3) 若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等，求 a 的取值范围；是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形 PQDA，梯形 PQCN 的面积都相等？若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理由评析本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题试题由浅入深、层层递进，将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3)，解决此题试题有难度、有梯度也有P 的速度为 2,然后建立 S1717的关键是

36、运用相似三角形的性质用t 的代数式表示 PM，进而利用梯形面积相等列等式求出t 与 a 的函数图 1例 1 题图图 2关系式，再利用 t 的范围确定的 a 取值范围.第(4)小题是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中， 要有全局观念以及对问题的整体把握4 以双动点为载体，探求函数最值问题例 4 )如图 9，在边长为 82cm 的正方形 ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上的两个动点，它们分别从点 A、C 同时出发，沿对角线以1cm/s 的相同速度运动，过 E 作 EH 垂直 AC 交 Rt ACD 的直角边于 H;过 F 作 FG 垂直 AC 交 Rt ACD 的直角边于 G ,连

37、结 HG、EB.设 HE、EF、FG、GH 围成的图形面积 为 S 1，AE、EB、BA 围成的图形面积为.这里规定：线段的面积为0).E 到达 C，F 到达 A 停止.若 E 的运动时间为 x(s)，解答下列问题：(1) 当 0X若 y 是 S 1 与 S 2 的和，求 y 与 x 之间的函数关系式；(图 10 为备用图)2求 y 的最大值.解 以 E、F、G、H 为顶点的四边形是矩形，因为正方形 ABCD 的边长为 82，所以 AC=16，过 B 作 BO 丄AC 于 0,则 OB=89 ,因为 AE=x ,所以 S 2=4x ，因为 HE=AE=x ,EF=16-2x，所以 S 1=X(

38、16-2x), 当 时，4x=x(16-2x)，解得 X!=0(舍去),X2=6，所以当 x=6 时，；(2) 当 OWx8 时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20 x ,当 8 x 16 寸，AE=x , CE=HE=16-x , EF=16-2(16-x)=2x-16,所以 S 1=( 16-x)(2x-16), 所以 y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.当 0Wx8 时，y=-2x2+20 x=-2(x-5)2+50，所以当 x=5 时，y 的最大值为 50.当 8 x 16 寸，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82,所以当 x=13

39、 时，y 的最大值为 82.综上可得，y 的最大值为 82.评析本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题要求学生认真读题、领会题意、画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的 思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题例题 如图 1，已知抛物线的顶点为A (2 , 1)，且经过原点 O,与 x 轴的另一个交点为 B。求抛物线的解析式；(用顶点式求得抛物线的解析式为若点

40、 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四 边形，求D 点的坐标；连接 OA、AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点P,使得 OBP 与厶 OAB 相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。19192020分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以0、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论：按 0B 为边和对角线两种情况2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径1求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边.和角的特点，进而得出已知三角形是否为特

41、殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。2或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。3若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。(1)求抛物线的解析式(由一般式 得抛物线的解析式为y- -2x25 3x)33(2)过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛 物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直 线PC及两坐标轴围成矩形OABC.是否存在点Q,使得OPC与PQ

42、B相似？若存在，求出Q点 的坐标；若不存在，说明理由.(3) 如果符合(2)中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形申yOPC,APQB,AOQP,AOQA之间存在怎样的关系？为什么？练习 2、如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在 x 轴上，点 C 在 y轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点 D 处。已知折叠CE = 5、5，且tan EDA二-。及原点0(0,0).22121(1) 判断AOCD与厶ADE是否相似？请说明理由;(2) 求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标；(3)是否存在过点 D 的直线 I，使直线 I、直

43、线 CE 与 x 轴所围成的三角形和直线 I、直线 CE 与 y 轴 所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。例 1(20081(2008 福建福州) )如图，已知 ABC 是边长为 形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、 中点 P 运动的速度是 1cm/s,点 Q 运动的速度是 2cm/s,当点 Q 到达点C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为t(s)，解答下列问题：(1 )当 t = 2 时，判断 BPQ 的形状，并说明理由；(2 )设厶 BPQ 的面积为 S(cm2),求 S 与 t 的函数关系式；(3)作 QR

44、/BA 交 AC 于点 R,连结 PR,当 t 为何值时， APRsPRQ? 分析：由 t = 2 求出 BP 与 BQ 的长度，从而可得 BPQ 的形状；1作 QE 丄 BP 于点 E,将 PB,QE 用 t 表示，由SBPQ二一XBPXQE 可得2S 与 t 的函数关系式；先证得四边形 EPRQ 为平行四边形，得 PR=QE, 再由 APRsPRQ,对应边成比例列方程，从而 t 值可求.解: :(1) BPQ 是等边三角形，当 t=2 时,AP=2X1=2,BQ=2X 2=4,所以 BP=AB-AP=6-2=4, 即 BQ=BP.又因为/B=60,所以 BPQ 是等边三角形.(2)过 Q

45、作 QE 丄 AB,垂足为 E,由 QB=2t,得 QE=2tsin60=. 3t,11厂yJ 32r因为 QR/ BA,所以/ QRC= / A=60,/ RQC= / B=600,又因为/ C=600, 所以 QRC 是等边三角形，这时BQ=2t,所以 QR=RC=QC=6-2t.1因为 BE=BQ cos600= X2t=t,AP=t,所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,2所以 EP=QR,又 EP / QR,所以四边形 EPRQ 是平行四边形，所以 PR=EQ,3t,由 AP=t,得 PB=6-t,所以SBPQ= XBPXQE= (6-t)X3t= t +3 3t ；2

46、2 22222APPRtJ3f6由厶 APRPRQ,得到一二一，即一，解得 t=-,PRRQv3t 6-2t5所以当 t=6时，APFSPRQ.5点评：本题是双动点问题.动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大，对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变2323化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动例 2(20082(2008 浙江温州) )如图，在RtAABC中，A = 90；,AB = 6,AC = 8 , D,E分别是边AB, AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点

47、P作PQ _ BC于Q,过点Q作QR/BA交AC于R, 当点Q与点C重合时，点P停止运动.设BQ二x,QR二y.( 1)求点D到BC的距离DH的长;(2) 求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3) 是否存在点P，使PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有 满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.分析：由厶 BHD BAC,可得 DH;由厶 RQCABC,可得y关于x的函数关系式；由腰相等列方程可得x的值；注意需分类讨论.解：(1) ; .A = Rt,AB = 6,AC =8,. BC =10.1” 点D为AB中点，.BD AB =3.2BD312AC8 =BC105(2)Q

48、R/AB,QRC二.A = 90：.；.C =C,RQC ABC,B = B.BHD BAC,DH BDACBC，RQ _QCAB一BC_y _ 10 -x6一10即y关于x的函数关系式为:-x 6. 5(3)存在.按腰相等分三种情况:当PQ =PR时，过点P作PM _QR于M，则QM1. 2 =90 ,. C 2 =90 , . 1 C.8cos 1 = cosC =10I1218x =53122当PQ = RQ时，x6 =,55x = 6.3当PR二QR时， 贝U R为PQ中垂线上的点,于是点R为EC的中点,.CRCEAC =2 .247 tan C览二BA CRCA-3x 615x二23

49、 3点评: :建立函数关系式，实质就是把函数 y 用含自变量 x 的代数式表示；要求使PQR为等腰三角形的x的值,可假设PQR为等腰三角形，找到等量关系，列出方程求解，由于题设中没有指明等腰三角形的腰 故还须分类讨论、以圆为载体的动点问题动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关， 只要巧妙地构造圆，以圆为载体，禾悯圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻 味。例 1.在中，AC= 5, BC= 12,ZACB= 90, P 是 AB 边上的动点（与点 A B 不重合），Q 是BC 边上的动点（与点 B、C 不重合），当 PQ 与 AC

50、 不平行时， CPQ 可能为直角三角形吗？若有可能，请 求出线段 CQ 的长的取值范围；若不可能，请说明理由。（03 年广州市中考）分析：不论 P、Q 如何运动，/ PCQ 都小于/ ACB 即小于 90,又因为 PQ 与 AC 不平行，所以/ PQC不等于 90,所以只有/ CPQ 为直角， CPQ 才可能是直角三角形，而要判断 CPQ 是否为直角三角形， 只需构造以 CQ 为直径的圆，根据直径所对的圆周角为直角，若 AB 边上的动点 P 在圆上，/ CPQ 就为直角,否则/ CPQ 就不可能为直角。以 CQ 为直径做半圆 Db当半圆 D 与 AB 相切时，设切点为 M 连结 DM 则DM

51、丄 AB, 且 AC= AM= 5 所以设，贝 U在中,解得：，所以即当且点 P 运动到切点 M 的位置时， CPQ 为直角三角形。当时，半圆 D 与直线 AB 有两个交点，当点 P 运动到这两个交点的位置时， CPQ为直角三角形。当时，半圆 D 与直线 AB 相离，即点 P 在半圆 D 之外，0ZCPQ90,此时， CPG 不可能为直角三角形。所以，当时， CPG 可能为直角三角形。例 2.如图 2，直角梯形 ABCD 中, AD/ BC, / B= 90, AD+ BC DC 若腰 DC 上有动点 P,使APIBP,则这样的点有多少个？分析：由条件 APIBP,想到以 AB 为直径作圆，若

52、 CD 与圆相交，根据直径所对 的圆周角是 90。，两个交点即为点 P;若 CD 与圆相切，切点即是点 P;若 CD 与圆1616综上所述，当x为18或6或125时PQR为等腰三角形.，即图22525相离，则 DC 上不存在动点 P,使 AP 丄 BP。解：如图 3,以 AB 为直径做O0,设OO 与 CD 切于点 E因为/ B=ZA= 90所以 AD BC 为O0 的切线即 AD= DE BC= CE所以 AD+ BC= CD而条件中 AD+ BC DC 我们把 CD 向左平移，如图 4, CD 的长度不变，AD 与 BC 的长度缩短，此时 AD+ B DC,点 0 到 CD 的距离 0E

53、小于O0 的半径 OE CD 与O0 相交，和是直径 AB 所对的圆周角，都为 90,所以交点即为所求。因此，腰 DC 上使 APIBP 的动点 P 有 2 个。专题七、2017中考数学热点专题突破训练一一动点问题动点试题是近几年中考命题的热点，与一次函数、二次函数等知识综合，构成中考试题的压轴题动点试题大致分为点动、线动、图形动三种类型动点试题要以静代动的解题思想解题下面就中考动点试题进行分析速度沿 ATB-C的路线匀速运动，过点 P 作直线 PM 使 PMLAD.1. 当点 P 运动 2 秒时，设直线 PM 与 AD 相交于点巳求厶 APE 的面积；2. 当点 P 运动 2 秒时，另一动点

54、 Q 也从 A 出发沿 ATB的路线运动，且 在 AB 上以每秒 1cm 的速度匀速运动，(当 P、Q 中的某一点到达终点，则两 点都停止运动)过 Q 作直线 QN 使 QN/ PM 设点 Q 运动的时间为 t 秒(0 t 8),直线 PM 与 QN 截平行四边形 ABCD 所得图形的面积为 S ( cni)(1)求 S 关于 t 的函数关系式；(2)求 S 的最大值.1. 分析：此题为点动题，因此，1)搞清动点所走的路线及速度，这样就能求出相应线段的长；2)分析在运动中点的几种特殊位置由题意知，点 P 为动点，所走的路线为：ATBTC速度为 1cm/s。而 t=2s，故可求出 AP 的值，进

55、而 求出 APE的面积r-瓦二丄二逅略解：由 AP=2，/ A=60 得 AE=1, EP=U 因此 二3 .2. 分析：两点同时运动，点 P 在前，点 Q 在后，速度相等，因此两点距出发点 A 的距离相差总是 2cmP 在 AB边上运动后，又到 BC 边上运动因此 PM QN 截平行四边形 ABCD 所得图形不同故分两种情况：例 1 如图，在平行四边形ABCD 中, AD=4cm / A=60 , BDL AD一动点P 从 A 出发，以每秒 1cm 的fl C图 4D DC C2626(1)当 P、Q 都在 AB 上运动时，PMQN 截平行四边形 ABCD 所得的图形永远为直角梯形 此时 O

56、Wt 6.当 P 在 BC 上运动，而 Q 在 AB 边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边形DFQBPG 不规则图形面积用割补法此时 6vtW8.略解：当 P、Q 同时在 AB 边上运动时，OWtW6.迢 PG= -(10- t).SMG=PC- PG= (10- t) (10-t)= 一 (10-t) S=16 二-t2-(10-t)2_ %存(f(f 8i)8i) + + 6 6(6vtW8分析：求面积的最大值时，应用函数的增减性求.若题中分多种情况，那么每一种情况都要分别求出 最大值，AQ=t,AP=t+2, AF=二 亶J- t,QF= t,AG= - (t+2),由三角函数 PG

57、=(t+2),1 11 11 1l l 冶冶,FG=AG-AF= (t+2)-t=1.S = (QF+PG)FG= 一 t+(t+2) 1 二二 t+ -当 6vtW8时，S=S平行四边形ABCDSAQF-SGCF.易求 S平行四边形ABC=16,SMQF= AF QF= - t2.而 SACG= PC- PG,PC=4BP=4-(t+2-8)=10-t.PC PG CGID.ID. PGPG _ _CG由比例式匚广乩二 可得 I ；C C2727然后综合起来得出一个结论 .此题分两种情况，那么就分别求出 0WtW6和 6vtW8时的最大值2828OWtW6时,是一次函数，应用一次函数的性质，

58、由于一次项系数是正数，面积 S 随 t 的增大而增大当 6vtW8时,是二次函数,应用配方法或公式法求最值 .学_场 2 2 +6+6 曲由于 S=（6vtW8,所以综上所述,当 t=8 时， S最大=6 .-.练习 1 如图所示，在直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AD 在 x 轴上，点 A 在原点，AB= 3, AD= 5.若 矩形以每秒 2 个单位长度沿 x 轴正方向作匀速运动.同时点 P 从 A 点出发以每秒 1 个单位长度沿 A- B C D 的路线作匀速运动.当 P 点运动到 D 点时停止运动，矩形 ABCD 也随之停止运动.求 P 点从 A 点运动到 D 点所需的时间；设 P

59、点运动时间为 t （秒）.当 t = 5 时，求出点 P 的坐标；若OAP 的面积为 s,试求出 s 与 t 之间的函数关系式（并写出相应的自变量t 的取值范围）.解：（1） P 点从 A 点运动到 D 点所需的时间=（3+5+3）+ 1= 11 （秒）.（2）当 t = 5 时，P 点从 A 点运动到 BC 上，此时 OA=10,AB+BP=5 二 BP=2.过点 P 作 PEL AD 于点 E,贝 U PE=AB=3,AE=BP=2.OE=OA+AE=10+2=1.2.点 P 的坐标为（12, 3）.分三种情况：.当 3vtW8时，点 P 在 BC 上运动，此时 OA=2t，. s=二X2

60、tX3=3 t.当 8vtv11 时，点 P 在 CD 上运动，此时 OA=2t,AB+BC+CP= t，略解:由于-_1- 所以 t=6 时,t=8 时，S最大=6- .当 0vtW3时，点 P 在 AB 上运动，此时OA=2t,AP=t， s=二X2tXt= t29291 DP=(AB+BC+CD) AB+BC+CP)=11- t. / s= 2x2t X (11 - t)=- t2+11 t.综上所述，s 与 t 之间的函数关系式是：当 OvtW3时，s= t2;当 3vtW8时，s=3 t ;当 8vtv11 时，s=- t2+11 t .1、( 09 包头)如图，已知ABC中，AB=