最值（范围）问题

1、 7已知函数的定义域是，记的最大值为，则的最小值是_14已知函数，若恰有两组解，使得在定义域上的值域也为，则实数的取值范围为_14已知，且满足，则的取值范围为_【答案】【解析】换元，用斜率处理；将看作整体14若，且满足，则的最大值为_1的最大值为_【答案】【解析】，故，当且仅当时取等号13.设是等差数列的前项和，若数列满足且，则的最小值为 3是不同的正整数，若集合，为正整数，则的最小值是 4若实数满足，则的取值范围是_5若二次函数的值域为，且当时，不等式恒成立，则实数的最大值为 8已知函数，若函数的图象与轴有且只有两个不同的交点，则实数的取值范围为 14在平面直角坐标系中，设为函数的图象与轴的

2、两个交点，为函数图象上的两个动点，且在轴上方（不含轴），则的取值范围为_14由题意A(1，0)，B(1，0)，设C(x1，1x12)，D(x1，1x12)，1x1，x21，则·(x11)(x21)(1x12)(1x22)(x21)(x21)x12x1x2记f(x)(x21)x2xx2，1x1（1）当1x2时，则02(x21)1，1，又x210，所以f(x)在(1，1)上单调递增，因为f(1)0，f(1)2，所以0f(x)2又x210，所以2(x21)·0根据1x2，则4·0（2）当x21时，则12(x21)1，1又x210，所以f(x)在(1，1)上先减后增，x时

3、取的最小值f()x2，又f(1)2，所以x2f(x)2又x210，所以2(x21)·x2(1x2)令g(x)x(1x)，则g(x)x2x，g'(x)12x，当x时，g'(x)0；x1时g'(x)0；所以g(x)在(，1)上先增后减，所以g(x)maxg()又2(x21)3，所以3·综上，·的取值范围是(4，利用方程有解分析的方法 14已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为 【答案】1，5圆的方程为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值是_6已知中，点满足，则的最小值为_备选题1若实数满足，则的取值范围是_2若直

4、线与圆有公共点，则的最小值是_3设，且满足，则的取值范围是_12已知，且，设的最大值和最小值分别为，则_3已知点分别在曲线上，则的最小值为_14记数列的前项和为，若不等式对任意等差数列及任意都成立，则实数的最大值为_4在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”，则椭圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值为_正方体中，是线段上的动点，则到直线距离的最小值为 13.已知函数，若存在实数，满足，其中，则取值范围是 解析：注意，12.如图，在直角梯形中，为线段（含端点）上一个动点，设，记，则函数的值域为_A BD CP ABCDONM6.如图，已知正方形ABCD的边长为1，过正方形中心O 的

5、直线MN分别交正方形的边AB，CD于点M，N，则当取最小值时，CN= 3已知，且，则的最大值为_4设 ，则的取值范围为_11若函数，点在曲线上运动，作轴，垂足为，则（为坐标原点）的周长的最小值为_. 1使关于的不等式有解的实数的取值范围是_5已知直线与平行，点是这两直线之间的一定点，且点到这两直线的距离分别为1和2，以为直角顶点的直角三角形另两顶点分别在直线、上，则当运动时，直角三角形面积的最小值为 3为常数，若抛物线：对任何实数都经过定点，则当_时，抛物线截轴所得的弦最长6在中，内角的对边分别为，若，为的外心，点在所在平面上，且，则边上的高的最大值是_14. 已知数列满足，且，其中，若，则实

6、数的最小值为 420.已知点及圆O ： ；（1）如左图，若点N（1,1）为圆C上一点，直线m ：；过原点O与MN垂直的直线交m于点Q，试证明：QN与圆O相切；（2）如右图，当r =2，且在的圆P上运动时，过向圆O引两条切线，切点记为A、B，试求的最大、最小值？5. 已知实数满足，则的最大值为 解法:1：，当且仅当时取等号.解法2：(x2+y2)+z=1且x、y、zR+， 故可令z=(sin)2，(x2+y2)=(cos)2， 而x=(cos)2sin，y=(cos)2cos， 其中，、(0，/2. 于是，代入所求式整理，得 xy+2xz =sin/(2-cos)2(cos)2-cos(cos)

7、2cos(cos)2+2(sin)2 sin/(2-cos)(2(cos)2-cos(cos)2+cos(cos)2+2(sin)2)/22 =sin/(2-cos). 令tan(/2)=t，则依万能代换公式有， xy+2xz 2t/(1+t2)/2-(1-t2)/(1+t2) =2t/(1+3t2) 2t/(23t) =3/3. 当x=3/3，y=z=1/3时，上式取等号. 即xy+2xz的最大值为3/3。1已知直角三角形的三内角的对边分别为，且不等式恒成立，则实数的最大值为 4已知函数与函数在区间上都有零点，则的最小值为 分析：，1若，且，则的最大值为_提示：注意到与两角和的正切公式结构一

8、致，考虑三角代换.设，由题意易得，当且仅当时取等号1若，则的最大值为_解析：只需考虑的情形，由逐步调整法，易知最大值必在时取到，设求导得14当时,不等式恒成立,则的最大值是_.解法1 当时, ,又有 , +×2,得,即.由,得,.解法2 , 又 , , 即, 当且仅当 且 , 即 时取等号. 恒成立, . 于是.解法3 原不等式等价于 ,由 ,可知. 由 “两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”, 可知只需, 即即可, 故, 于是.解法4 即 成立，又恒成立， 只要满足就能使恒成立.由式，得，.由于对称轴，由二次函数的性质，当时，要式恒成立，则 .解法5 设（），则=+=.1），即2，则，于是，由已知，得.OO x解法6 设则表示在坐标系第一象限内以原点为圆心，为半径的圆及其外部.由得又它表示双曲线位于第一象限内的一支及其上方部分.依题意，双曲线相切或相离，从而，即 .评析 恒成立，.故问题的实质就是求的最小值（关于的式子）大于等于2的解.因而在的条件下，如何求的最小值成了问题的关键.解法1运用“两个互为倒数的正数的和大于等于2”, 解法2运用配方再放缩, 解法3运用均值不等式及“两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”,解