基于轮廓波维纳滤波的图像压缩传感重构

1、基于轮廓波维纳滤波的图像压缩传感重构*李林，孔令富，练秋生（燕山大学信息科学与工程学院秦皇岛066004）摘要：图像压缩传感重构利用自然图像可稀疏表示的先验知识，从比奈奎斯特采样率低得多的随机投影观测值中重构原始图像。为了克服传统的压缩传感重构中正交小波方向选择性差和未利用变换系数的邻域统计特性的缺点，利用了轮廓波维纳滤波去噪算子替代迭代阈值法中的阈值算子，进而提出了基于轮廓波维纳滤波的图像压缩传感的重构算法。实验结果表明，该算法提高了重构图像的峰值信噪比和视觉效果，保护了图像的细节，加快了重构算法的收敛速度。关键词：压缩传感；轮廓波；迭代维纳滤波；邻域系数中图分类号：TP391文献标识码：A

2、国家标准学科分类代码：510.4050Image compressed sensing reconstruction based on contourlet Wiener filteringLi Lin, Kong Lingfu, Lian Qiusheng（Institute of Information Science and Technology, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China）Abstract：Image compressed sensing reconstruction uses the sparse prior of t

3、he natural image and can reconstruct the original image from far fewer measurements of random projection than Nyquist sampling rate. To overcome the poor directional selectivity of orthogonal wavelet bases and not exploiting the statistic characteristics of transform coefficients in neighborhood, th

4、e contourlet Wiener filtering denoising operator is used to replace the threshold operator in iterative thresholding algorithm. And then a reconstruction algorithm is proposed, which combines contourlet with Wiener filtering. Experiment results show that the proposed algorithm improves the peak sign

5、al-to-noise ratio and visual quality, protects image details, and accelerates the convergence of reconstruction algorithm.Key words：compressed sensing; contourlet; iterative Wiener filtering; neighborhood coefficient1引言随着科技进步，信号带宽越来越宽，并在某些场合是不可知的，传统的香农抽样定理在应用中受到了挑战。对此Candes和Donoho等学者提出了压缩传感(compress

6、ed sensing)理论1-2，它通过对可稀疏表示的信号f进行随机投影3抽样，得到了比奈奎斯特抽样频率少得多的非相干观测值，结合信号在某一变换域可稀疏表示的先验知识重构原始信号，观测值数量取决于信号表示的稀疏性而非信号的带宽。收稿日期：2009-01Received Date：2009-01*基金项目：国家自然科学基金（60772079）资助项目图像压缩传感与传统的图像压缩不同，由于在抽样之前无法知道哪些变换系数是显著系数，不能直接抽取，所以需对图像进行随机投影抽样，得到，其中ai为随机基向量，并与图像稀疏表示的基函数不相干。重构图像f时，需结合图像的先验知识，在尽量满足随机投影观测值约束条

7、件下，使f的稀疏性最大。Donoho的理论结果表明2，对于像素数为M的K-稀疏图像，利用O(Klog(M)个随机投影观测值和l1范数最小化准则可以重构原始图像，重构误差和K个显著系数的逼近误差相当。目前的图像压缩传感重构算法中主要采用正交小波进行图像的稀疏表示，并利用迭代阈值法解决信号的重构问题。小波是表示具有点奇异性目标函数的最优基，常用的二维小波是一维正交小波的张量积，仅有水平、垂直和对角线3个方向，且各向同性，难以表示轮廓、边缘和纹理等更高维的几何特征。为了克服正交小波的上述缺点，Do和Vetterli在2002年提出了各向异性的非自适应、多方向、多分辨率几何表示方法轮廓波变换4，它比二

8、维正交小波有更高的稀疏性。目前采用的迭代阈值法只对变换系数自身进行阈值处理，并没有利用系数的邻域统计特性。而维纳滤波是一种基于最小均方误差准则的估计方法，利用了变换系数的邻域统计特性，可作为稀疏表示的先验知识替代迭代阈值法中的阈值算子。针对上面提到的压缩传感系统所涉及的稀疏表示方法和邻域系数利用问题，本文提出了基于轮廓波维纳滤波的图像压缩传感重构算法。实验结果证明，该算法改善了重构图像的质量，提高了重构算法的收敛速度。2图像压缩传感重构图像压缩传感系统采用随机投影矩阵A对原始信号x进行随机抽样，得到观测值y=Ax。对于长度为N的一维信号x，得到观测值yRn()，则随机投影矩阵。本文利用PDCT

9、(将原始图像进行随机置乱后抽取部分DCT系数)得到观测值y。在图像压缩传感系统中，随机投影抽样并不需要任何的先验知识，但是在图像重构时需要利用图像表示的稀疏性，稀疏性越强，K越小，达到相同重构效果需要的随机投影观测值也越少。在满足观测值的条件下获得信号的最佳稀疏表示需满足： (1)式中：稀疏表示基函数与A互不相干，a为变换系数，表示变换系数中非零系数的数量。式(1)是一个l0范数最小化的NP组合难题，但是在信号可稀疏表示的前提下，l0范数最小化与l1范数最小化近似等价，因而常用l1替代l0，将非凸集优化转换为凸集优化问题来解决： (2)l1问题可采用贪婪递归策略(匹配追踪(matching p

10、ursuit, MP)5、正交匹配追踪(orthogonal matching pursuit, OMP)6和逐步正交匹配追踪(stagewise orthogonal matching pursuit, StOMP)7等)、代价函数的松弛算法(基追踪(basis pursuit, BP)8等)或迭代阈值法9来解决。但是上述这些算法没有利用变换系数邻域的统计特性作为先验知识进行压缩传感重构。求解式(2)时设代价函数f(x)： (3)式中：用于平衡代价函数中两部分比重。将f(x)最小化就可以得到最优解： (4)3轮廓波变换轮廓波变换是一种新的多尺度几何分析方法，通过多尺度分解和多方向分解两部分实

11、现，如图1所示。图1离散轮廓波的塔式方向滤波器组结构Fig.1 The contourlet filter bank首先利用拉普拉斯塔式结构(LP)对图像进行多尺度分解获得多分辨率特性(LP结构可将2维图像分成低通和高通2个子带)，再用方向滤波器组(DFB)对各尺度的高通子带进行多方向轮廓波分解。原始的轮廓波变换的最大缺点是：基函数在频域中是非局部的，使得空域中基函数沿主脊方向不够平滑且出现模糊现象。为了克服这个缺点，Lu和Do提出了频率局部化的轮廓波变换10，练秋生等人提出了非抽样轮廓波变换11。在Lu和Do提出的轮廓波中仍然采用DFB进行多方向分解，但与原始轮廓波不同，它采用可控塔式分解取

12、代了拉普拉斯塔式分解，如图2所示。也就是说，第1级低通滤波不是固定以2进行下抽样的，而是以d（d=1、3/2、2）进行可控下抽样。另外，这种可控塔式结构与拉普拉斯塔式结构的重要区别是：第1级采用了严格带限的低通滤波器，降低了DFB的频域混叠。此外，不同的d值和滤波器参数与冗余度有直接的关系10。例如当d=2时，轮廓波的冗余度约为2.33。图2改进的轮廓波变换框图Fig.2 The block diagram of the new contourlet transform4基于轮廓波维纳滤波的压缩传感重构为了克服目前压缩传感算法中存在的正交小波变换方向选择性差和未利用变换系数邻域统计特性的缺点，

13、本文提出的算法采用了冗余度为2.33的轮廓波进行稀疏表示，并通过迭代维纳滤波实现重构。传统的迭代阈值法可表示为： (5)式中：AT代表IPDCT，Hs(·)通常采用硬阈值算子： (6)式中：T为阈值，Hs(·)仅与当前变换系数自身有关，与邻域中其他系数无关。本文利用维纳滤波器在邻域中估计当前变换系数，构造了维纳滤波算子Hw(·)，并用其代替阈值算子Hs(·)进行迭代重构。因此轮廓波域迭代维纳滤波法可表示为： (7)式中：表示轮廓波基函数。4.1轮廓波维纳滤波算子构造及作用对原始图像进行随机投影得到的观测值是独立同分布的高斯信号1，可认为是在纯净图像中加入

14、了高斯白噪声，而通常轮廓波系数是条件独立的高斯随机变量，噪声是统计独立的零均值高斯变量4，则降质图像ID的轮廓波系数cn可表示为：cn=cr+n (8)式中：cr为纯净图像I的轮廓波系数，n为噪声的轮廓波系数。维纳滤波器是最小均方误差滤波器，滤波器系数a可表示为： (9)式中：为轮廓波系数的方差，由于轮廓波系数与噪声是相互独立，则由5×5 LAWMAP估计算法12可得：(10)式中：N(k)在本文中代表以为中心的5×5邻域，M为N(k)中的系数数量，参数采用文献12中的估计方法。是ID中噪声的轮廓波系数的标准差，为得到，首先通过式(11)估计降质图像中噪声的标准差： (11

15、)式中：cD是ID的第1层haar小波分解的对角线子带系数，然后利用生成纯噪声图像In，再对In进行轮廓波分解，获得。则cr的最佳线性估计可表示为： (12)本文中轮廓波维纳滤波算子Hw(·)为： (13)针对式(13)的维纳滤波去噪算子，进行了性能验证，用加有零均值白噪声的Lena图像作为测试图像，图像大小为512×512。将冗余度2.33的轮廓波维纳滤波算法与轮廓波硬阈值去噪算法的PSNR指标进行对比(如表1所示)，“ContourletSD”代表冗余度为2.33的轮廓波。采用了4级分解，各级的方向数分别为8、8、4、4。表1两种去噪算法PSNR对比Table 1 Th

16、e PSNR of the denoised images图像方法噪声标准偏差n304050LenaContourletSD-hard29.4428.0827.03ContourletSD- Wiener30.1928.9127.89PeppersContourletSD-hard29.1327.7326.71ContourletSD- Wiener29.6628.3227.29由上表可见，当噪声均方差为50时(PSNR=14.17 dB)，轮廓波维纳滤波算法比轮廓波硬阈值算法提高了0.86 dB。视觉效果如图3所示(为便于观察细节，只画出Lena图像的帽子部分)，图3(d)相比图3(c)较好

17、地保留了图像的边缘，并且消除了图3(c)中图像边缘附近的伪迹效应。 (a) 原始图像 (b) 加噪图像(PSNR=14.17 dB)(a) Original image (b) Noisy image (PSNR=14.17 dB) (c) 轮廓波硬阈值去噪结果 (d)轮廓波维纳滤波去噪结果(PSNR=27.03 dB) (PSNR=27.89 dB)(c) Contourlet hard threshold (d) Contourlet Wiener filtering denoised image (PSNR=27.03 dB) denoised image (PSNR= 27.89 dB

18、)图3图像去噪结果对比Fig.3 Denoising results由以上结果可知，轮廓波维纳滤波算子Hw(·)有很好的去噪效果，将其代替迭代阈值法的算子Hs(·)进行迭代重构是可行的。4.2轮廓波维纳滤波对代价函数的影响下面证明迭代维纳滤波算法的重构效果优于迭代域值法，即证明本文算法的代价函数更小，如式(14)所示：(14)式中：为轮廓波迭代阈值法的重构图像，为轮廓波维纳滤波法重构图像，由于维纳滤波是一种最小均方误差估计，但硬阈值去噪不具备这样的性质，则式(15) (15)成立。图4为大小为256×256的Lena图像在观测值数量为25 000(占总采样点的38

19、.15%)迭代100次时，本文算法与轮廓波迭代阈值法的l2范数比值曲线。由于迭代初始时噪声较大，维纳滤波的估计误差也较大，因此图中省略了前20次迭代的曲线。图4两种算法的l2范数比值曲线Fig.4 The ratio curve of l2-norm由图4可知，本文算法比轮廓波迭代阈值法的l2范数更小且收敛速度更快，实验中对于其他标准测试图像也得到了相似的结果。随迭代次数k增加，迭代阈值和迭代维纳滤波两种重构方法都会使重构图像更加趋近于原始图像，重构图像的噪声会逐渐减小，则迭代阈值法的阈值T0，由轮廓波硬阈值公式(16)： (16)可得；而迭代维纳滤波方法中，则由式(12)可得。由此可知式(1

20、7)： (17)成立。图5为前述条件下，本文算法与轮廓波迭代阈值法的l1范数比值曲线。由图5可见，随迭代次数k增加，本文算法与轮廓波迭代阈值法有非常接近的l1范数，对于其他标准测试图像也得到了相似的结果。也就是在相同的紧标架下，两种方法的代价函数主要依赖于l2范数的关系，因此式(14)成立。图5两种算法的l1范数比值曲线Fig.5 The ratio curve of l1-norm综上所述，本文算法的重构效果应优于轮廓波迭代阈值法。4.3图像压缩传感系统实现本文算法的核心是在迭代逼近过程中构造基于邻域系数统计特性的轮廓波维纳滤波算子实现迭代重构。算法的具体实现步骤如下：1)初始化：初始化重构

21、图像，其中k为迭代次数，且k=1；2)随机投影：对原始图像x进行随机投影抽样，得到观测值y=Ax；3)进行轮廓波维纳滤波法迭代，则式(7)表示为： (18)4)利用式(19)对每次迭代的重构结果进行全变差13调整： (19)式中：为全变差调整步长，5)迭代次数k=k+1；6)重复步骤35直至k=M(M为最大迭代次数)完成迭代重构。5压缩传感重构的实验结果实验中原始图像是大小为的标准灰度图像：Lena、Peppers、Boats和Cameraman。图6给出了Lena图像在观测值数量为25 000点时，本文算法与轮廓波迭代阈值法的重构结果对比。由图6(c)可见，其整体重构效果更接近原始图像，并且

22、更好地保留了重构图像的细节，而图6(b)可见轻微伪迹效应。从重构结果的峰值信噪比（PSNR）指标上看，图6(c)的PSNR为35.8 dB，比图6(b)高2.0 dB。(a)原始图像及局部细节(a) Original image and the local details(b)轮廓波硬阈值重构结果及局部细节(PSNR=33.8 dB)(b) Contourlet hard threshold reconstructed image and the local details (PSNR=33.8 dB)(c)轮廓波维纳滤波重构结果及局部细节(PSNR=35.8 dB)(c) Contourle

23、t Wiener filtering reconstructed image andthe local details (PSNR=35.8 dB)图6两种模型压缩传感重构结果及局部细节对比Fig.6 Reconstructed results and the local detailsusing two reconstruction methods图7为本文算法和轮廓波迭代阈值法对Lena图像在 25 000个观测值，迭代100次时的峰值信噪比对比曲线。图中“ContourletSD-Hard-TV”代表结合全变差调整的轮廓波迭代阈值法重构模型，“ContourletSD- Wiener-T

24、V”代表结合全变差调整的轮廓波迭代维纳滤波重构模型。可以看出维纳滤波可以提高图像的峰值信噪比和重构的收敛速度。图7相同迭代次数时PSNR比较曲线Fig.7 Comparison of PSNR between two methodsafter the same iterations表2给出了本文算法与文献3, 14提出的两种算法针对不同标准测试图像在不同观测值数量条件下的压缩传感重构结果对比。文献3是基于全变差最小化，利用POCS算法在小波域进行软阈值处理实现图像重构；文献14则是利用块压缩传感理论实现重构。表2取不同数量的观测值时本文算法与文献3，14重构图像的PSNR比较Table 2 C

25、omparison of PSNR using differentmeasurements and algorithms图像方法观测值数量10 00015 00020 00025 000Lena文献326.528.730.432.1文献1426.528.630.632.2本文算法29.432.034.335.8Peppers文献321.625.327.529.4文献1427.230.332.734.7本文算法29.932.534.435.9Boats文献326.729.831.833.7文献1427.029.932.534.8本文算法29.532.535.036.8文献326.228.730.

26、933.0Camera文献1424.026.127.929.4本文算法28.230.432.534.7由表2中数据可知，本文算法在峰值信噪比指标上较文献3, 14中的算法有较大的提高。例如，对Lena图像的25 000点观测值重构，本文算法的重构结果比文献3和文献14分别提高了3.7 dB和3.6 dB。6结论为克服正交小波在图像压缩传感重构中的局限性并充分利用变换系数的邻域统计特性，本文提出了基于轮廓波维纳滤波的压缩传感重构算法。本文算法提高了重构的主观效果，保持了图像的主要纹理成分，同时在PSNR指标上有了较大提高。文中将维纳滤波与轮廓波硬阈值方法相结合提高了重构收敛速度。综上所述，本文算

27、法对图像压缩传感重构有很好的效果。参考文献1 CANDES E, ROMBERG J, TAO T. Robust uncertainty principles: Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency informationJ. IEEE Transactions on Information Theory, 2006,52(2):489-509.2 DONOHO D L. Compressed sensingJ. IEEE Transac-tions on Information Theory, 2006,5

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