无私奉献椭圆第二定义

1、词清平乐禁庭春昼，莺羽披新绣。百草巧求花下斗，只赌珠玑满斗。日晚却理残妆，御前闲舞霓裳。谁道腰肢窈窕，折旋笑得君王。椭圆第二定义学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化教学目标知识目标：椭圆第二定义、准线方程；能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景；2 了解离心率的几何意义；3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义；4使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用；5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；情感与态度目标：通过问题的引入和变式， 激发学生学习的兴趣， 应用运动变化的观点看待 问题，体现数学的美学价值 .教学重点：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；

2、教学难点：椭圆的第二定义的运用；教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：激发学生的学习热情， 激发学生的求知欲， 培养严谨的学习态度，培养积极进取 的精神.教学过程： 学生探究过程：复习回顾2 21 椭圆9x y -81的长轴长为18，短轴长为6-，半焦距为6 2，离心率为焦点坐标为（0,一6-、2），顶点坐标为（0,_9）（_3,0）,（准线方程为y二）432.短轴长为8，离心率为-的椭圆两焦点分别为5两点，贝V ABF2的周长为 20.引入课题F1、F2，过点F1作直线l交椭圆于A、B22【习题4 （教材P50例6）】椭圆的方程为 +- = 1 , M1 , M2为椭圆上的点2516 求

3、点M1 （4, 2.4）到焦点F （3, 0）的距离 2.6. 若点M2为（4, y°）不求出点M2的纵坐标，你能求出这点到焦点F（ 3, 0）的距离吗?解:|MF |= ,（4二3厂丫242 yo22516=1代入消去y。2 得 |MF2 2【推广】你能否将椭圆 冷耸=1上任一点M(x, y)到焦点F(c,0)(c . 0)的距离表示成a b点M横坐标x的函数吗?i mf i*（x【c）2yI 22x y12 , 2 1a b| MF | =b 2x - 2 cx c b xa,（；x-a）22 2cc aa=| xa| |x| = e|x |aa cc问题1 ：你能将所得函数关系

4、叙述成命题吗？(用文字语言表述)2a椭圆上的点M到右焦点F(c,0)的距离与它到定直线 x的距离的比等于离心率c问题2 :你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？(逆命题中不能出现焦点与离心率)a2动点M到定点F (c,0)的距离与它到定直线x 的距离的比等于常数cc （a c）的点的a轨迹是椭圆.【引出课题】椭圆的第二定义当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数个点的轨迹是椭圆.定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线，常数ce (0 ： e ： 1)时，这 ae是椭圆的离心率.2 2对于椭圆务每=1，相应于焦点a b2F(c,0)的准线方程是c根据对称性，相应于焦2 2 2 2

5、 点F (-c,0)的准线方程是x - -玄.对于椭圆 £ 务=1的准线方程是y -二玄.ca bc可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义.由椭圆的第二定义.也口 =e可得：右焦半径公式为d2 2aa| MF右 | = ed 二e|x| = a-ex；左焦半径公式为 | MF左 F ed = e| x -() a excc典型例题2 2例1、求椭圆 H 1的右焦点和右准线；左焦点和左准线;2516解：由题意可知右焦点2F(c,O)右准线x =亠；左焦点cF(-c,O)和左准线x -22变式：求椭圆9x y =81方程的准线方程;2222

6、7 A2解：椭圆可化为标准方程为：H 1，故其准线方程为y = _.二819c4小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出2 2例2、椭圆 y 1上的点M到左准线的距离是 2.5，求M到左焦点的距离为2516变式：求M到右焦点的距离为解：记椭圆的左右焦点分别为F1, F2到左右准线的距离分别为d1, d2由椭圆的第二定义可知:|MF | e|MF1|edd1E = 3 . | MF1 |=ed1 =32.5 =1.5. I MF1 F1.5a 55另解：点M到左准线的距离是2.5,所以点M到右准线的距离为-2.5 =岂3856|MF2 |d2e. | MF2 = ed?

7、3 858.556又由椭的第一定义可知：I MF1 MF2 =2a =10. MF2 1=8.5小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用例1、点P与定点A( 2，0)的距离和它到定直线 X = 8的距离的比是1 : 2，求点P的轨迹；J(x _2)2 + v21x2v2解法一：设P(x, y)为所求轨迹上的任一点，则1由化简得11，x-821612故所的轨迹是椭圆。2解法二：因为定点 A (2，0)所以c = 2，定直线x = 8所以x = = 8解得a = 4，又因cc 1x2y2为e故所求的轨迹方程为1a 216 12变式：点P与定点A(2，0)的距离和它到定直线 x = 5的距离的比是1

8、 : 2，求点P的轨 迹；分析：这道题目与刚才的哪道题目可以说是同一种类型的题目, 来解呢？那么能否用上面的两种方法解法一：设P（x, y）为所求轨迹上的任一点，则|x5|1=-由化简得23x2 _6x 4y2 -9 = 0配方得（X _1）2-1，故所的轨迹是椭圆，其中心在（1，0）3解法二：因为定点A（2, 0）所以c = 2，定直线=5解得a2 =10，故所求的轨迹方程为=12y1长轴顶点、焦点、准线方程分别为：（_2,0），（_1,0） x = _4 ；310问题1:求出椭圆方程2x42y3=1 和（X-1）242y =1的长半轴长、短半轴长、半焦距、3离心率；22/八22问题2:求出

9、椭圆方程xy=1 和（x 1）-y1长轴顶点、焦点、准线方程；43432222x解：因为把椭圆xy =1向右平移一个单位即可以得到椭圆（x 1）-y1所以问题43431中的所有冋题均不变，均为a= 3,b 二.3,c =1,e 仝二-2© 山 y1长轴顶点、焦点、准线方程分别为：（_2 1,0），（_1 T,0） x二4 1 ；4 3反思：由于是标准方程，故只要有两上独立的条件就可以确定一个椭圆，而题目中有三个条c 21件，所以我们必须进行检验，又因为e = 另一方面离心率就等于 一这是两上矛盾a v102的结果，所以所求方程是错误的。又由解法一可知，所求得的椭圆不是标准方程。小结：

10、以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是采用求轨迹方程的思路，但是这种方法计算量比较大；解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据可以符合课本例4的关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准方程，则只能用解法一的思维来解。例4、设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以AB为直径的圆必与椭圆的右准线（）A.相切B.相离C.相交D.相交或相切分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？解：设AB的中点为M，则M即为圆心，直径是|AB| ;记椭圆的右焦点为 F,右准线为I ; 过点A、B、M分别作出准线|的垂线，分别记为d1,d2,d由梯形的中位线可知 d /

11、 d22又由椭圆的第二定义可知 LAL =e LBLJ =e即| AF | | BF e(d1 d2)did2又-叫1AF| |BF|=e3 且d 但1故直线与圆相离2 2 2 22 2X y例5、已知点M为椭圆1的上任意一点，F1、F2分别为左右焦点；且 A(1,2)求25165| MA | | MF 1 |的最小值3分析：应如何把|MFi |表示出来解：左准线|1 :X-兰哲，作MO于点D,记d=|MDc 3由第二定义可知:| MF 1 |c 3e = da 5|MFi I=3d ?55|MFi |5故有 |MA|MF1 h| MA| d =|MA| |MD |3所以有当A、M、D三点共线

12、时，|MA|+|MD|有最小值:528即| MA | MF1 |的最小值是33变式1： 3|MA | 5| MFi |的最小值;=285 28解：|MA| 5| MF1 3(|MA|MF1 |3 -33变式2： |MA| |MF1 |的最小值；5&3353 28解：|MA| | MF1 | (|MAp-|MF1 |)=5535 328_ 5f /AD巩固练习i已知是椭圆上一点，若厂到椭圆右准线的距离是，则厂到左焦 点的距离为.2 .若椭圆X +御 =1的离心率为2 ，则它的长半轴长是 .66答案：1 .2. 1或2 教学反思1. 椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程;2. 椭圆定义的简单

13、运用；3离心率的求法以及焦半径公式的应用； 课后作业1例题5的两个变式； 2已知/ , B为椭圆 a 3a 上的两点，九是椭圆的右焦点.若0她啊丁 r的中点到椭圆左准线的距离是，试确定椭圆的方程.解：由椭圆方程可知h,由椭圆定义有5-a21、两准线间距离为中占I八、5a.设所以，J到右准线距离分别为-匸，4憾卜陀匕心+心卜中，则二到右准线距离为 ，于是到左准线距离为所求椭圆方程为.- 思考:1方程 2、.(x-1)2 (y -1)2 =| x y 2|表示什么曲线?解:(x-1)2 (y-1)2|x y 2|-<1 ；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比2 2常数（且该常数小于 例n、（06四川高考1)15)方程表示椭圆如图把椭圆的长轴 AB分成8等分，过每个等分点作 X轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|RF | "F | |P?F | =c 35解法一：e，设P的横坐标为Xi，贝U x = -5i不妨设其焦点为左焦点a 542,| Pi F | c 3a、l3/l5.、c3.由