常微分方程试题库试卷库

1、常微分方程期终考试试卷(1一、 填空题（30%）1、方程有只含的积分因子的充要条件是（ ）。有只含的积分因子的充要条件是_。、_称为黎卡提方程，它有积分因子_。、_称为伯努利方程，它有积分因子_。、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是_。、形如_的方程称为欧拉方程。、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_。、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（）1、若试求方程组的解并求expAt、求方程经过（0，0）的第三次近似解三、证明题（）、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。试卷答案一填空题、 、 、零稳定中心二计算题、解：因为，所以

2、此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得所以解为 即另外y=0也是解、线性方程的特征方程故特征根 是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0 所以原方程的解为、解：解得此时 k=1 由公式expAt= 得、解：方程可化为令则有（*）（*）两边对y求导：即由得即将y代入（*）即方程的 含参数形式的通解为：p为参数又由得代入（*）得：也是方程的解 、解： 三、    证明题由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：考虑从而是线性无关的。常微分方程期终试卷(2 一、填空题 30%1、

3、形如_的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。2、 形如_的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n 3、 如果存在常数_对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。4、 形如_-的方程，称为欧拉方程，这里5、 设的某一解，则它的任一解_-。二、 计算题40%1、 求方程2、 求方程的通解。3、 求方程的隐式解。 4、 求方程三、 证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t=(t- t其中t为某一值.  常微分方程期终试卷答卷一、 填空题（每空

4、5分）1 2、 z=34、5、二、 计算题（每题10分）1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.2、解：积分：故通解为：3、解：齐线性方程的特征方程为，故通解为不是特征根，所以方程有形如把代回原方程 于是原方程通解为4、解 三、证明题（每题15分）1、证明：令的第一列为(t=,这时(t=(t故(t是一个解。同样如果以(t表示第二列，我们有(t= (t这样(t也是一个解。因此是解矩阵。又因为det=-t故是基解矩阵。2、证明：（1）,(t- t是基解矩阵。（2）由于为方程x=

5、Ax的解矩阵，所以(t也是x=Ax的解矩阵，而当t= t时，(t(t=E, (t- t=（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得(t=(t- t3、设为方程（为常数矩阵）的标准基解矩阵（即，证明其中为某一值。3、证明：为方程的基解矩阵为一非奇异常数矩阵，所以也是方程的基解矩阵，且也是方程的基解矩阵，且都满足初始条件，所以 常微分方程期终考试试卷（5）一 填空题 （30分）1称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 _ 。 2函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果 _ 。3 若为毕卡逼近序列的极限，则有_ 。4方程定义在矩形域上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _

6、 。 5函数组的伏朗斯基行列式为 _ 。6若为齐线性方程的一个基本解组，为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 _ 。7若是的基解矩阵，则向量函数= _是的满足初始条件的解；向量函数= _ 是的满足初始条件的解。8若矩阵具有个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别为，那么矩阵= _ 是常系数线性方程组的一个基解矩阵。9满足 _ 的点，称为驻定方程组。二   计算题 （60分）10求方程的通解。11求方程的通解。12求初值问题 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。13求方程的通解。14试求方程组的解三证明题 （10分）16如果是满

7、足初始条件的解，那么常微分方程期终考试试卷答案一填空题 （30分）12在上连续，存在，使，对于任意34567 89二计算题 （60分）10解： 积分因子两边同乘以后方程变为恰当方程： 两边积分得：得：因此方程的通解为：11解：令 则得：那么因此方程的通解为：12解：，解的存在区间为即令又误差估计为：13解：是方程的特征值， 设得：则得：因此方程的通解为：14解： 得 取 得 取则基解矩阵因此方程的通解为： 三证明题 （10分）16证明：由定理8可知又因为所以又因为矩阵所以常微分方程期终考试试卷(6三 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。1、 当_时，方程M(x,ydx+N(x,

8、ydy=0称为恰当方程，或称全微分方程。2、_称为齐次方程。3、求=f(x,y满足的解等价于求积分方程_的连续解。 4、若函数f(x,y在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程的解 y=作为的函数在它的存在范围内是_。5、若为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是_。6、方程组的_称之为的一个基本解组。7、若是常系数线性方程组的基解矩阵，则expAt =_。8、满足_的点（），称为方程组的奇点。9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（共6小题，每题10分）。1、求解方程：=2、 2、解方程： (2x+2y-1dx+(

9、x+y-2dy=03、讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：5、试求方程组的一个基解矩阵，并计算三、证明题（共一题，满分10分）。试证：如果满足初始条件的解，那么 常微分方程期末考试答案卷一、 一、 填空题。（30分）1、2、3、y=+4、连续的5、w6、n个线性无关解7、8、X(x,y=0,Y(x,y=09、为零 稳定中心二、计算题。（60分）1、解： (x-y+1dx-(x+3dy=0xdx-(ydx+xdy+dx-dy-3dy=0即d-d(xy+dx-3dy=0所以2、解：，令z=x+y则所以 z+3ln|z+1|=x+，

10、 ln=x+z+即3、解： 设f(x,y= ,则故在的任何区域上存在且连续，因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，显然，是通过点（0，0）的一个解；又由解得，|y|=所以，通过点（0，0）的一切解为及|y|=4、解： (1齐次方程的通解为x=(2不是特征根，故取代入方程比较系数得A=，B=-于是通解为x=+5、解： det(=所以，设对应的特征向量为由取所以，= 三、证明题。 （10分）证明： 设的形式为= （1）（C为待定的常向量）则由初始条件得=又=所以，C=代入（1）得= 即命题得证。常微分方程期终试卷(11 一 填空1 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为

11、 。2 称为黎卡提方程，若它有一个特解 y(x,则经过变换 ，可化为伯努利方程。3若（x）为毕卡逼近序列的极限，则有（x） 。4若（i=1,2,n）是齐线形方程的n 个解，w(t为其伏朗斯基行列式，则w(t满足一阶线性方程 。5若（i=1,2,n）是齐线形方程的一个基本解组，x(t为非齐线形方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为 。6如果A(t是n×n矩阵，f(t是n维列向量，则它们在 atb上满足 时，方程组x= A(t x+ f(t满足初始条件x（t）=的解在atb上存在唯一。7若（t）和（t）都是x= A(t x的 基解矩阵，则（t）与（t）具有关系：。8若（t）是常系数

12、线性方程组的 基解矩阵,则该方程满足初始条件的解=_9.满足 _的点（），称为方程组的奇点。10当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部_ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为 _ 。二计算题（60分）123求方程经过（0，0）的第三次近似解45若试求方程组的解并求expAt6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三.证明题(10分设及连续,试证方程dy-f(x,ydx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.答案一. 填空1. 2. 3.4. 5. 6 A(t f(t连续7 8。9中X(x,y=0,Y(x,y=0 10.为0 稳定中心二计算题1 1   解：因为

13、，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得所以解为 即另外y=0也是解2 2   解：方程可化为令则有（*）（*）两边对y求导：即由得即将y代入（*）即方程的 含参数形式的通解为：p为参数又由得代入（*）得：也是方程的解 3解： 4 线性方程的特征方程故特征根 是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0 所以原方程的解为5 解：解得此时 k=1 由公式expAt= 得6 解：由解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则因为=1+1 0故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）为稳定焦点。三证明题证明：1 若该方程为线

14、性方程则有（*）此方程有积分因子 只与x有关2 若该方程有只与x有关的积分因子则 为恰当方程,从而 其中于是方程化为即方程为一阶线性方程.- 常微分方程期终测试卷(12一、填空题（30%）1若y=y1(x，y=y2(x是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 2方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 3连续是保证方程初值唯一的 条件一条积分曲线.4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个，其中，5二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是 6方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 7方程的所有常数解是 8方程所有常数解是 9线性齐次微分

15、方程组的解组为基本解组的 条件是它们的朗斯基行列式10阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个二、计算题（40%）求下列方程的通解或通积分：1. 2345三、证明题（30%）1试证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在2设在上连续，且，求证：方程的任意解均有3设方程中，在上连续可微，且，求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在参考答案一、填空题1 2平面 3充分 4 5线性无关 6平面 7， 8； 或9充分必要 10二、计算题1解：令，则当时等号两边积分 2解：令，则代入方程得 即 再令，则得 所以 3解 由于，所以原方程是全微分方程 取，原方程的通积分为 即 4解 特征方程为即 特征根为 ， 对应特征向量应满足可确定出 同样可算出对应的特征向量为 所以，原方程组的通解为 5解：特征方程为 特征根为 满足解得 取 ，则 于是 三、证明题1证： 由于 在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件又显然是方程的两个特解现任取，记