方案设计型问题

1、方案设计问题方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求， 寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优方 案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力方案设计型问题，主要有以下几 种类型：(1) 讨论材料，合理猜想一一设置一段讨论材料，让考生进行科学的判断、推理、证明； 画图设计，动手操作一一给出图形和若干信息，让考生按要求对图形进行分割或设计美 观的图案；(3)设计方案，比较择优一一给出问题情境，提出要求，让考生寻求最佳解决方案. 操作型问题是指通过动手实验，获得数学结论的研究性活动这类问题需要动手操作、合 理猜想和验证，有助于

2、实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯常见 类型有：(1)图形的分割与拼接；(2)图形的平移、旋转与翻折；(3)立体图形与平面图形之 间的相互转化.三个解题策略(1) 方程或不等式解决方案设计问题：首先要了解问题取材的生活背景；其次要弄清题意， 根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围；最后再结合实 际问题确定方案设计的种数.(2) 择优型方案设计问题：这类问题一般方案已经给出，要求综合运用数学知识比较确定哪 种方案合理此类问题要注意两点：一是要符合问题描述的要求，二是要具有代表性.(3) 操作型问题：大体可分为三类，即图案设计类、图形拼接类、图形分割类等

3、对于图案 设计类，一般运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决；对于图形拼接类，关键是 抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系，然后逐一组合；对于图形分割类，一般 遵循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程.1 (2015 河北)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要 拼一个与原来面积相等的正方形，则()A.甲、乙都可以 B .甲、乙都不可以C.甲不可以、乙可以 D .甲可以、乙不可以1 1 2 2 1、1Z1. 1礼1/才Ff1V才%1 X1IXIZ17甲乙2. (2014 江西)如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于 是他把纸灯罩

4、对齐压扁，剪去上面一截后，正好合适以下裁剪示意图中，正确的是( )3. 一位园艺设计师计划在一块形状为直角三角形且有一个内角为60°的绿化带上种植四种不同的花卉，要求种植的四种花卉分别组成面积相等，形状完全相同的几何图形图案.某 同学为此提供了如图所示的五种设计方案.其中可以满足园艺设计师要求的有A. 2种 B . 3种 C . 4种 D . 5种4小明家春天粉刷房间，雇用了5个工人，每人每天做 8小时，做了 10天完成.用了某种涂料150升，费用为4800元；粉刷的面积是150 m2.最后结算工钱时，有以下几种方案： 按工算，每个工 60元（1个工人干1天是一个工）：按涂料费用算，

5、涂料费用的60%乍为工钱；按粉刷面积算，每平方米付工钱24元；按每人每小时付工钱8元计算.你认为付钱最划算的方案是 （）A . B . C . D .5. （2014 黄冈）如图，在一张长为 8 cm，宽为6 cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5 cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点 在矩形的边上）则剪下的等腰三角形的面积为 cm2.利用方程（组）、不等式、函数进行方案设计【例1】（2015 泸州）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A, B两种花草，第一次分别购进A, B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进 A、B两种花草12棵

6、和5棵两次共花费940元（两次购进的A, B两种花草价格均分别相同）.（1）A , B两种花草每棵的价格分别是多少元？ 若购买A, B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于 A种花草的数量的2倍，请你给 出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用.对应训练1. （2015 临沂）新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售，某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2,从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120米2.若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：方案一：降价8%另外每套楼房赠

7、送 a元装修基金；方案二：降价10%没有其他赠送.（1）请写出售价y（元/米2）与楼层x（1 <x w 23, x取整数）之间的函数关系式；（2）老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更 加合算图形类方案设计【例2】（2015 义乌市）某校规划在一块长 AD为18 m宽AB为13 m的长方形场地 ABCD 上，设计分别与 AD, AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮.（1）如图，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比 AM： ANk 8 : 9,问通道的宽是多少？ 为了建造花坛，要修改（1

8、）中的方案，如图，将三条通道改为两条通道，纵向的宽度 改为横向宽度的2倍，其余四块草坪相同，且每一块草坪均有一边长为8 m,这样能在这些草坪上建造花坛.如图，在草坪RPCQ中，已知 RELPQ于点E, CF丄PQ于点F,求花坛RECF的面积.图形的分割与拼接【例3】（2014 广安）在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室.现有平 行四边形ABCD的邻边长分别为 1, a（a > 1）的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形, 在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，依此类推，请画出剪三次 后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a的值.3. （2015 泉州

9、）如图是某个多面体的表面展开图. 请你写出这个多面体的名称，并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点； 如果沿BC, GH将展开图剪成三块，恰好拼成一个矩形，那么 BMC应满足什么条件？（不 必说理）M图形的平移、旋转与翻折【例4】（2014 江西）如图，边长为 4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A, B重合），点F在BC边上（不与点B, C重合）.第一次操作：将线段 EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点第二次操作：将线段 FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点依此操作下去BFC图BF C圏g FC备用图(1)图中的三角形EFD是经过两次操作后得到的，其形状为

10、等边三角形，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH(3)请判断四边形EFGH的形状为,此时AE与BF的数量关亥曰' 系是;(4)以中的结论为前提，设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y,求y与x的函数关系式及面积y的取值范围.(5)对应训练4. (2015南昌)(1)如图，纸片？ABCD中，A» 5, S?ABCD= 15,过点 A作AE丄BC,垂足 为E,沿AE剪下 ABE将它平移至 DCE的位置，拼成四边形 AEE D,则四边形AEE D的形状为A 平行四边形 B 菱形 C 矩形 D 正方形如图，在(1)中的四边形纸片AEE'D中，在EE&

11、#39;上取一点F,使EF= 4,剪下AEF,将它平移至 DE F '的位置，拼成四边形 AFF' D. 求证：四边形 AFF D是菱形. 求四边形AFF' D的两条对角线的长.立体图形与平面图形之间的相互转化【例5】(2015 山西)综合与实践：制作无盖盒子任务一：如图，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为4 cm，容积为616 cm3的无盖长方体盒子(纸板厚度忽略不计).(1) 请在图的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.(2) 请求出这块矩形纸板的长和宽.任务二：图是一个高为4 cm的无盖的五棱柱盒子(直棱柱)，图是

12、其底面，在五边形ABCDE中 BC= 12 cm , AB= DC= 6 cm，/ ABC=Z BCD= 120。，/ EAB=Z EDC= 90 ° .(1) 试判断图中AE与DE的数量关系，并加以证明.(2) 图中的五棱柱盒子可按图所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少 cm?请直接写出结果(图中实线表示剪切线， 虚线表示折痕.纸 板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计).图对应训练5. （2015资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12 cm,底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器

13、外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A. 13 cm B . 2 61 cm C. 61cm D . 2 34 cm方案设计与动手操作型问题一、选择题（每小题6分，共30分）1. （2015荆州）如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是 （）,A),B),C),D)2. (2014台湾)图为歌神KTV的两种计费方案说明.若晓莉和朋友们打算在此KTV的一间包厢里连续欢唱 6 小时，经服务生试算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费 方案便宜，则他们至少有多少人在同一间包厢里欢唱？ ()A . 6 B . 7

14、C . 8 D . 9ABC现由水厂A向B，C两厂供水，要 ( 图中实线为铺设管道路线 ) ，其中最合3 如图，水厂A和工厂B, C正好构成等边 在 A， B， C 间铺设输水管道，有如下四种设计方案 理的方案是 ()4. （2013黄石）把一副三角板如图甲放置，其中/ ACB=Z DEC= 90。，/ A= 45°,/ » 30°,斜边AB= 6, DC= 7,把三角板 DCE绕点C顺时针旋转15°得到 DCE（如图乙）， 此时AB与CD交于点O,则线段AD的长为（）A. 3 B. 5 C. 4 D.5. （2015莆田）数学兴趣小组开展以下折纸活动：

15、（1）对折矩形ABCD使AD和 BC重合，得到折痕 EF,把纸片展平；（2）再一次折叠纸片，使点 A落在EF上，并使折痕经过点 B,得到折痕BM同时得到线 段 BN. 观 察 ， 探 究 可 以 得 到 / ABM 的 度 数 是 （）A. 25°B. 30°C. 36°D. 45°二、填空题（每小题6分，共18分）6某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有种购买方案.7 .动手折一折：将一张正方形纸片按下列图示对折3次得到图，在 AC边上取点D,使AD= AB沿虚线BD剪开

16、，展开 ABD所在部分得到一个多边形，则这个多边形的一个内 角的度数是度.8 . （2015 杭州）如图，在四边形纸片 ABCD中，AB= BC, AD= CD / A=Z C= 90°,/ B= 150° 将纸片先沿直线 BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪， 剪开后的图形打开铺平.若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD= _三、解答题 （ 共 52 分 ）9. （10分）（2014温州）如图，在所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为的三个三角形均为格点三角形 （顶点在方格顶点处 ） ,请按要求将图甲,图乙中的指定 图形分割成三个三角形

17、，使它们与标号为的三个三角形分别对应全等.（1）图甲中的格点正方形 ABCD；（2）图乙中的格点平行四边形ABCD.10. （10分）（2014珠海）为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案.方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠,方案二：如交纳 300 元会费成为该商都会员,则所有商品价格可获九折优惠.（1）以x（元）表示商品价格，y（元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式；（2）若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？11. （10分）（2015龙岩）下列网格中的六边形 ABCDE是由边长为6的正方形左上角剪去边 长为2的正

18、方形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形.（1）根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长；（2）如图甲，把六边形 ABCDEI沿 EH BG剪成三部分，请在图甲中画出将与 拼成的正方形，然后标出变动后的位置，并指出属于旋转、平移和轴对称中的 哪一种变换；（3）在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形.12. （10分）（2015甘孜州）一水果经销商购进了 A, B两种水果各10箱，分配给他的 甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表：A种水果/箱B种水果/箱甲店11元17元乙店9元13元（1）如果甲、乙两店各配货 10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱，请 你计算出经销商能盈利多少元？（2） 在甲、乙两店各配货 10箱（按整箱配送 ） ，且保证乙店盈利不小于 100 元的条件下， 请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少？13（12 分） 小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以