中考专题复习之反比例函数拓展

1、学习必备欢迎下载反比例函数【教学目标】1. 理解反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式k2. 能画出反比例函数的图象，根据图象和解析式y(k = 0)理解其性质.X3. 能用反比例函数解决某些实际问题 【重点难点】重点：反比例函数增减性的应用是本章的易错点，应用增减性解题时要注意理解 “在每个象限内这句话的含义，进一步理解函数思想和数形结合思想难点：反比例函数与一次函数、知识的综合运用是本章的难点，特别是反比例函数与一次函数知识的综合应用是中考的常见题型，复习时要注意二者的区别与联系，熟记二者的性质，应用其性质解决问题【教学内容】k1.定义：形如y( k 是常数，k 工 0)的函

2、数，叫做反比例函数.反比例函数还可以表示成y=kxx或 xy=k(k丰0)的形式【注意】(1)心 0; (2)自变量 x丰0; (3)函数 0;2.反比例函数的图象是双曲线，且关于坐标原点中心对称，关于直线y = x或直线y二-x对称.(1)当 k 0 时，图象的两个分支分别位于第一、三象限(2)当 kv0 时，图象的两个分支分别位于第二、四象限。k【注意】由于反比例函数y k = 0中，x 工 0, yz0，故双曲线与坐标轴无限接近但永不相x交.k越大，双曲线越远离原点.3. 反比例函数的性质：增减性(1)k 0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小(2)kv0 时，在每个象限内，y

3、随 x 的增大而增大学习必备欢迎下载k4. 反比例函数y k=0中比例系数 k 的几何意义x学习必备欢迎下载14如图所示：过双曲线上任一点P,作 x 轴，y 轴的垂线 PA,PB 所得的矩形 OBPA 勺面积 S=PBPAk=x y=|xy.因为y=，所以 xy=k,所以 S=k.x一 一1同时有它的演变图形：s阳A=k.所以在反比例函数图象中常作的辅助线是:h 2过图象上一点向坐标轴作垂线段5.求反比例函数解析式k利用待定系数法确定反比例函数解析式：根据两变量之间的反比例关系，设y = ，由已知x条件求出 k 的值，这个条件可以是图象上一个点的坐标，也可以是 x, y 的一对对应值，从而确定

4、函数解析式.【例题讲解】例 1 : 2011 河北，12根据图 5 中所示的程序，得到了y 与 x 的函数图象，如图 5 中，若点M 是 y 轴正半轴上任意一点， 过点 M 作 PQ / x 轴交图象于点 P、Q,连接 OP、OQ,则以下结论:21xv0 时，y=x2厶 OPQ 的面积为定值3x 0 时，y 随 x 的增大而增大4MQ=2PM5/ POQ 可以等于 90其中正确结论是（）AB.C【分析】由程序得xv0 时，y=-xx 0 时，y=.由反比例函数xk 的几何意义得OPQ勺面积恒为学习必备欢迎下载一4 2.所以正确.由图象得 x0 时，y随x的增大而减小.所以错误.可设 M（0,

5、m ,则 MQ,2m224PM=.所以正确.当/POQ=90时，_则 OM=PMy2，则x的取值范围是（）A. x：-1或0 : x :B.X：-1或x 2标轴，点 C 在2、【2011 湖北黄石,学习必备欢迎下载第 7 题图6、【2011 乐山，10】如图(6),直线y =6 X交 x 轴、y 轴于 A、B 两点,P 是反比例函数4、y (x 0)图象上位于直线下方的一点，过点x过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为点P 作 x 轴的垂线，垂足为点M , 交 AB 于点 E，7、【2012 铜仁)】如图，正方形8、【2012 临沂】y出(x 0)XN，交 AB 于点 F。则AF BE二(A)62

6、ABOC 的边长为 2,反比例函数ky的图象过点xA， 贝 U k 的值是C. 4如图，若点 M 是 x 轴正半轴上任意一点，过点M 作 PQ/ y 轴，分别交函数的图象于点 P 和 Q,连接 OP 和 OQ.则下列结论正确的是(D )A .ZPOQ 不可能等于 90 PMB .kk2C 这两个函数的图象一定关于x 轴对称D . POQ 的面积是12k1+k2 )P0 xBy DODy=- y=_-9、【2012?德州】如图，两个反比例函数：和：的图象分别是 11 和 12 .设点 P 在 11 上, PC学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载丄 x 轴，垂足为 C,交 12 于点 A ,PD 丄

7、y 轴，垂足为 D，交 12 于点 B,则三角形 PAB 的面积为(C )gA、3B、4C、一D、5210、【2012 洲门】如图，点A是反比例函数y=： (x0)的图象上任意一点，AB/x轴交反比例x函数y=-J5的图象于点B,以AB为边作？ABCD其中C D在x轴上，则 &ABCD%(D )A .2B.3C.41y=-11、【2012 六盘水】如图为反比例函数：，在第一象限的图象，点 A 为此图象上的一动点，过点A 分别作 AB 丄 x 轴和 AC 丄 y 轴，垂足分别为 B, C.则四边形 OBAC 周长的最小值为(A )A. 4 B. 3C. 2 D. 1、填空题C、D 在x轴上，若四

8、边形 ABCD 为矩形，则它的面积为 _2_E 两点，若平行四边形 AOBC 勺面积为 18，贝 U k= _6.1、 【2011 湖北孝感,115】如图，点 A 在双曲线y上,x3点 B 在双曲线y上，且 AB /x轴,x2、【2011 湖北十堰，16】如图，平行四边形 AOB(中 ,对角线交于点kE,双曲线寄巨3、【2011 乌兰察布，17】函数 yi= x ( x 0 )丫2( x 0 )的图象如图所示，则结论:x经过 A、学习必备欢迎下载两函数图象的交点A 的坐标为(3 ,3 )当 x 3y2 y1时,当 x = 1 时，BC = 8当x 逐渐增大时，是_yi随着 x 的增大而增大，y

9、2随着 x 的增大而减小其中正确结论的序号学习必备欢迎下载4、【2011 福州，13】如图， OPQ 是边长为 2 的等边三角形，若反比例函数的图象过点P,则它的解析式是25、【2011 河南，9】已知点 P(a, b)在反比例函数 y= 的图象上，若点 P 关于 y 轴对称的点xk在反比例函数y的图象上，贝 U k 的值为-2x力二丄x0,y4x 0，点P为双曲线y-xxx1上的一点，且PAx轴于点 A,PB 丄y轴于点 B,PAPB 分别交双曲线浙x 0于D、C 两x159点，则 PCD 的面积为_ 3 -=9一8 87、【2011 湖北武汉，16】如图，平行四边形 ABCD 的顶点 A

10、, B 的坐标分别是 A (-1 , 0) ,Bk(0, -2),顶点 C, D 在双曲线 y= 上，边 AD 交 y 轴于点 E,且四边形 BCDE 的面积是厶 ABEx面积的 5 倍，贝 y k=_ 12_ .8【2012?聊城】如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O,且正方形的一组对边与x 轴平（UK6、 【2011 贵州遵义,18】如图，已知双曲线OjA学习必备欢迎下载行，点 P (3a, a)是反比例函数 y= (k0)的图象上与正方形的一个交点.若图中阴影部分的面积等于 9，则这个反比例函数的解析式为 _ .学习必备欢迎下载ky=-9、【2012?衢州】如图，已知函数 y=2x

11、 和函数的图象交于 A、B 两点，过点 A 作 AE 丄 x 轴于点 AOE 的面积为 4, P 是坐标平面上的点，且以点B、0、E、P 为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的 P 点坐标是 P1 ( 0, - 4) P2 (- 4,- 4) P3 (4, 4).10、【2012 绍兴】如图，矩形 0ABC 的两条边在坐标轴上， 0A=1,0C=2 ,现将此矩形向右平移, 每次平移 1个单位，若第 1 次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标 之差的绝对值为 0.6,则第 n 次(n 1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵k11、【2012?扬州】如图，双

12、曲线 y= 经过 Rt OMN 斗边上的点 A,与直角边 MN 相交于点 B,已知 OA= 2AN OAB 的面积为 5,贝 U k 的值是_12_ .坐标之差的绝对值为14或6一5n(n 1) 5n(n 1)(用含 n 的代数式表示)学习必备欢迎下载13y=-12、【2012?兰州】如图，点 A 在双曲线：上，点 B 在双曲线 y=，上，且 AB / x 轴，C、D在 x 轴上，若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为 _ 2_学习必备欢迎下载13、【012?兰州】如图，M 为双曲线 y=，:上的一点，过点 M 作 x 轴、y 轴的垂线，分别交直 线 y= x+ m于点 D、C 两点，若直线

13、 y= x + m 与 y 轴交于点 A，与 x 轴相交于点 B,则 AD?BC的值为_ 2員足：当x0 时，y 随 x 的增大而减小若该反比例函数的图象与直线y= -X，、3k都经过点 p.7且P = J7，则实数 k=_3_三、简答题1、【四川宜宾，21】如图，一次函数的图象与反比例函数-3(x0)的图象相交于 A 点,x与 y 轴、x 轴分别相交于 B、C 两点，且 C (2, 0).当 x -1 时，一次函数值小于反比例函数值.(1)求一次函数的解析式;a3a设函数 y2=x(x0)的图象与 y1= -x(x0)的图象上取一点xxxP ( P 点的横坐标大于 2),过 P 作 PQ 丄

14、 x 轴，垂足是 Q,若四边形 BCQP 的面积等于 2,求 P 点的坐标.解：(1)Vx- 1 时，一次函数值小于反比例函数值. A点的横坐标是-1,二A(- 1, 3)设一次函数解析式为y=kx+b,因直线过AC则4|2k+b=3，解之得：i：=11，二一次函数解析式为y= -x+2 (2)vy2= (x0)的图象与y1= -x(x0)/B点是直线y=-x+2 与y轴的交点，B(0, 2)设P(n,-) ,n2Sx【2011 四川成都，25,4 分】在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数2ky (k = 0)x满学习必备欢迎下载四边形5二P(21BCQP -SBOC=2 2(2 +31-

15、)-2 2 = 2 ,学习必备欢迎下载2、【甘肃兰州，24】如图，一次函数y=kx3的图像与反比例函数y二田(x0)的图像交x与点 P, PUx轴于点 A, PB 丄y轴于点 B.一次函数的图像分别交x轴、y轴于点 C、点 D,且(1) 求点 D 的坐标；(2)求一次函数与反比例函数的表达式;(3) 根据图像写出当 x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值?函数的值.y= ( k0)的图象经过点 A(2 , m),过点 A 作 AB 丄 x 轴于点 B ,且厶 AOB 的面积为(1) 求 k 和 m 的值；kSDBP=27,OC 1CA 2(1)由一次函数y =kx 3,当 x=0 时，y

16、=3，则点 D 的坐标为(0, 3) .(2)可证DOSAPAC,OC 1得 AP=2DO=2X3=6 , 又可证四边形 OBPA 是矩AP=0B=6,所以由CA 2BD=9,由11SDBP=BP BD BP 9=27,BP=6.所以点 P 的坐标为22(6,-6 ).所以y - -36.把点xP 的坐标(6,3-6)代入y =kx - 3得-6=6k+3，得k，把点P的坐标(26, -6)代入y=巴得 m=- 36,x所以一次函数3表达式为yx 3.反比例函数表达式为y2-36由图象可知，当 x6 时一次函数的值小于反比例x3、【2011 浙江义乌】如图，在直角坐标系中,O 为坐标原点.已知

17、反比例函数学习必备欢迎下载x(2)点 C (x, y)在反比例函数 y=的图象上，求当k(3)过原点 0 的直线 I 与反比例函数 y=的图象交于 P、Q 两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值.111 1 1(1) / A(2 , m)/ 0B=2 AB=m / SAAOB=2?OB?AB=2乂 xm=2m=2.点 A 的坐标为(2,2)1k 1 k11把 A ( 2,2)代入 y=X，得2=2. k=1(2)丁当 x=1 时，y=1 ;当 x=3 时，y=3又T反比例函数 y=X1在 x0 时，y 随 x 的增大而减小，.当 1x时，y 的取值范围为3y 0)经过边xOB的中点C和A

18、E的中点D.已知等边厶OAB勺边长为 4.(1)求该双曲线所表示的函数解析式；求等边AEF的边长.K xw时函数值 y 的取值范围;学习必备欢迎下载解：（1）过点c作CG丄OA于点G,v点C是等边AOAB的边OB的中点，二OC= 2，/AOB=60 ,-OG= 1 ,CG=m,.点C的坐标是（1 ,V-7），由5二=二，得：k=；,.该双曲线所表示的函数解析式为y=；（2）过点D作DH丄AF于点H，设AH=a,贝UDH=.x点D的坐标为（4 +a,引，点D是双曲线y=迪上的点，由xy= ；，得. ： |（4 +a）=； ,x即：a2+ 4a 1 = 0,解得：ai=v-； 2,a2=好三一 2

19、（舍去）,.AD= 2AH=2呂一 4,等边AEF的边长是 2AD= 4， 8 .2【2012 泰安】如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于 代B两点，与反比例函数 丫 =卫x的图象在第二象限的交点为C, CDL x轴，垂足为D,若O号 2,OD4,AAOB勺面积为 1 . （1）求k一次函数与反比例的解析式；（2）直接写出当x：0时，kx b 0的解集.1b _ -1k =解答：解: (1)VOB=2, AOB勺面积为 1.B(- 2, 0),OA=1, A(0, - 1) , 2,g+b芯 一1学习必备欢迎下载11my = x1又O=4,ODL X轴， 二(4,y)， 将x =

20、-4代入y = X1得y=1,二(4,) /1 =22-44km = -4，二y(2)当x 0时，kx b0的解集是x：-4.Xx3、【2012?德阳】已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数x 1 时，屮y2；当 0vxv1 时，y1 1 时，y1y2;当 0vxv1 时，yvy2，点A的横坐标为 1，代入反比例函数 解析式，彳=y，解得y=6，二点A的坐标为（1，6），又点A在一次函数图象上， 1+m=6，解得m=5，二一次函数的解析式为y1=x+5 ; （2） 第一象限内点C到y轴的距离为3，点C的横坐标为 3，.y= =2，点C的坐标为（3，2 ），过点C作CD/x 轴交直线AB于D

21、，则点D的纵坐标为 2，.x+5=2，解得x= - 3，二点D的坐标为（-3，2 ），CD=3 -( - 3) =3+3=6 ，点A到CD的距离为 6 - 2=4，SzABC= S/ACD+SZBCD=-；X6X4+X6X3=12+9=214、【2012 南昌】如图，等腰梯形ABCD置在平面坐标系中，已知A（- 2，0）、B（ 6，0）、D（ 0， 3） ，反比例函数的图象经过点 C.（1）求点C的坐标和反比例函数的解析式；的图象交于A B两点.已知当联立卩二1心（舍去），I垃2二 &Vi，点B的6，- 1），点B到CD的距离为2 -( -学习必备欢迎下载（2）将等腰梯形ABCD0上平移 2

22、个单位后，问点B是否落在双曲线上？解：(1)过点C作CE丄AB于点E,V四边形ABCD是等腰梯形，二AD=BC,DO=CE,ZAOD也EC,.AO=BE=2,TB0=6 ,.DC=0E=4 ,.C(4 , 3);kk1 9设反比例函数的解析式y= (k工 0)根据题意得：3=二解得k=12 ； 反比例函数的解析式y=；(2)将等腰梯形ABCD向上平移 2 个单位后得到梯形ABCD得点B 6, 2 ),故当x=6 时，1 9y=2，即点B恰好落在双曲线上.6【课后作业】一、填空题1.【2011 浙江金华，16 ,4 分】如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B(2, 0),k/AOC

23、=60，点A在第一象限，过点A的双曲线为y=-，在x轴上取一点P,过点P作直线OA的垂线I，以直线I为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O B.(1)_ 当点O与点A重合时，点P的坐标是.(2) 设P( t, 0)当O B与双曲线有交点时，t的取值范围是 _学习必备欢迎下载【答案】(1) (4, 0); ( 2) 4Wt25 或一2 季tW 442、 【2011 山东滨州，18, 4 分】若点A(m 2)在反比例函数y的图像上，则当函数值y一x2 时，自变量x的取值范围是_.【答案】x023、 【2011 宁波市，18, 3 分】如图，正方形ABRP2 的顶点R、R在反比例函数y=x(x0)的z.图像上，顶点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2RAB，顶点Ps 在反比2 一例函数y=-(x 0)的图象上，顶点A在x轴的正半轴上，则点Ps 的坐标为【答案】C. 3+ 1,3 1)24、 【2011 湖北荆州，16, 4 分】如图，双曲线y (x - 0)经过四边形OABC勺顶点A C,ZABCx=90,OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB/x轴，将ABC沿AC翻折后得到AB C, B，点 落在OA上，则四边形OABC勺面积是_.【答案】2二、简答题学习必备欢迎下载k1、【2